高一数学人教A必修4课件第一章三角函数1.1.1任意角

1、第一章三角函数,1.1任意角和弧度制,1.1.1任意角,1.角的概念 (1)角的概念:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. (2)角的分类:按旋转方向可将角分为三类:,做一做1把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240所形成的角等于() A.120B.-120C.240D.-240 解析:顺时针方向旋转形成的角为负角, 按顺时针方向旋转240所形成的角等于-240. 答案:D,2.象限角 (1)前提: 角的顶点:与原点重合; 角的始边:与x轴的非负半轴重合. (2)结论:角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角; 角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何一个象

2、限. 做一做2120角是第()象限角. A.一B.二C.三D.四 解析:120角的终边在第二象限,120角是第二象限角. 答案:B,3.终边相同的角 终边相同的角的集合:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合S=|=+k360,kZ,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.,做一做3与-40角终边相同的角的集合是() A.|=k360-40,kZ B.|=k360+40,kZ C.|=k36040,kZ D.|=k360+80,kZ 答案:A 做一做4若角的终边在y轴的非负半轴上,则角的集合表示为. 解析:因为在0360范围内,终边在y轴的非负半轴上的角为90角,因此

3、,终边在y轴的非负半轴上的角的集合是|=k360+90,kZ. 答案:|=k360+90,kZ,做一做5若角是第二象限角,则角的集合表示为. 解析:在0360范围内,第二象限角的范围是90180,由终边相同的角的表示知,的集合表示为|k360+90k360+180,kZ. 答案:|k360+90k360+180,kZ,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)小于90的角都是锐角. () (2)90角是第一或第二象限角. () (3)第一象限角一定不是负角. () (4)第二象限角大于第一象限角. () (5)终边在第四象限的角可以表示为|k360-90

4、k360,kZ. () 答案:(1)(2)(3)(4)(5),探究一,探究三,探究四,思维辨析,探究一任意角的表示 【例1】 手表时针走过2小时,时针转过的角度为() A.60B.-60C.30D.-30 解析:由于时针是顺时针旋转,故时针转过的角度数为负数, 360=60,故时针转过的角度为-60. 答案:B,探究二,探究一,探究三,探究四,思维辨析,探究二,探究一,探究三,探究四,思维辨析,变式训练1若将钟表拨慢10分钟,则时针转过的角度为,分针转过的角度为. 答案:560,探究二,探究二象限角 【例2】 已知角的顶点与坐标原点重合,始边落在x轴的非负半轴上,作出下列各角,指出它们是第几象

5、限角,并指出在0360范围内与其终边相同的角. (1)780;(2)-75;(3)495;(4)-870. 分析:画平面直角坐标系作出相应角判断象限角 解:作出各角的终边如图所示:,探究一,探究三,探究四,思维辨析,探究二,由图可知: (1)780角是第一象限角;780=60+3602,所以在0360范围内,与780角终边相同的角是60. (2)-75角是第四象限角;-75=285-360,所以在0360范围内,与-75角终边相同的角是285.,探究一,探究三,探究四,思维辨析,探究二,(3)495角是第二象限角;495=135+360,所以在0360范围内,与495角终边相同的角是135.

6、(4)-870角是第三象限角;-870=210-3360,所以在0360范围内,与-870角终边相同的角是210.,探究一,探究三,探究四,思维辨析,探究二,探究一,探究三,探究四,思维辨析,探究二,变式训练2在0到360之间,找出与下列各角终边相同的角,并指出它们分别为第几象限角. (1)-1 154;(2)2 428. 解:(1)-1 154=-4360+286,在0到360之间,与-1 154角终边相同的角=286,-1 154角为第四象限角. (2)2 428=6360+268,在0到360之间,与2 428角终边相同的角=268,2 428角为第三象限角.,探究一,探究三,探究四,思

7、维辨析,探究二,探究一,探究三,探究四,思维辨析,探究三终边相同的角 【例3】 已知角=2 016. (1)把改写成k360+(kZ,0360)的形式,并指出它是第几象限角; (2)求,使与终边相同,且-360720.,探究二,探究一,探究三,探究四,思维辨析,分析:先求出,判断角所在的象限;用终边相同的角表示满足的不等关系,求出k和. 解:(1)由2 016除以360,得商为5,余数为216. 取k=5,=216,=5360+216. 又=216是第三象限角,为第三象限角. (2)与2 016终边相同的角为k360+2 016(kZ). 令-360k360+2 016720(kZ), 所以k

8、=-6,-5,-4. 将k的值代入k360+2 016中, 得角的值为-144,216,576.,探究二,探究一,探究三,探究四,思维辨析,探究二,探究一,探究三,探究四,思维辨析,变式训练3若将例题中“角=2 016”改为“=-315”,其他条件不变,结果如何?,探究二,探究一,探究三,探究四,思维辨析,探究四区间角的表示 【例4】 已知角的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界),试写出角的集合.,探究二,探究一,探究三,探究四,思维辨析,分析:写出满足条件的0360范围内的角结合终边相同的角表示出区间角 解:在0360范围内,终边落在阴影内的角为90135或270315. 所以终边落在阴影

9、所表示的范围内的角的集合为|90+k360135+k360,kZ|270+k360315+k360,kZ=|90+2k180135+2k180,kZ|90+(2k+1)180135+(2k+1)180,kZ=|90+n180135+n180,nZ.,探究二,探究一,探究三,探究四,思维辨析,探究二,探究一,探究三,探究四,思维辨析,变式训练4如图,已知的终边在图中阴影部分所表示的区域内(包括边界),则角的取值范围是. 解析:由题图可知当(0,360)时,45150, 当角的终边在此区域内时,的范围为k360+45k360+150,kZ. 答案:k360+45k360+150,kZ,探究二,探究

10、一,探究三,探究四,思维辨析,忽视象限角范围致误 典例若是第二象限角,试确定2, 是第几象限角. 错解:由题意得90180, 所以有1802360,45 90. 故有2为第三象限角、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角, 为第一象限角. 错因分析:致错原因是把是第二象限角的范围误认为是大于90而小于180,而应是|90+k360180+k360,kZ.,探究二,探究一,探究三,探究四,思维辨析,探究二,探究一,探究三,探究四,思维辨析,探究二,探究一,探究三,探究四,思维辨析,变式训练已知角2的终边在x轴的上方(不与x轴重合),求角的终边所在的象限. 解:根据题意知k3602k360+180,

11、kZ, k180k180+90,kZ. 当k=2n时,n360n360+90,nZ, 是第一象限角. 当k=2n+1时,n360+180n360+270,nZ,是第三象限角. 综上,知角的终边在第一或第三象限.,探究二,1 2 3 4 5,1.已知A=第一象限角,B=锐角,C=小于90的角,则A,B,C的关系是() A.B=ACB.BC=C C.ACD.A=B=C 解析:锐角大于0小于90,故CB,选项B正确. 答案:B,1 2 3 4 5,2.喜羊羊步行从家里到草原学校去上学,一般需要10分钟,则10分钟时间,钟表的分针走过的角度是() A.30B.-30C.60D.-60 解析:利用定义,分针是顺时针走的,形成的角度是负角,又周角为360,所以有 2=60,即分针走过的角度是-60. 答案:D,1 2 3 4 5,3.若-30角的始边与x轴的非负半轴重合,现将-30角的终边按逆时针方向旋转2周,则所得角是. 解析:由已知所求角