函数奇偶性、对称性与周期性有关结论

1、.函数奇偶性、对称性与周期性奇偶性、 对称性和周期性是函数的重要性质， 下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。一、几个重要的结论（一）函数yf ( x) 图象本身的对称性（自身对称）2、 f ( x)f (2ax)yf (x) 的图象关于直线xa 对称。3、 f (x)f (2ax)yf ( x) 的图象关于直线xa 对称。4、 f (ax)f (bx)yf (x) 的图象关于直线 x(ax)( bx) a b 对称。225、 f ( ax)f (ax)2byf ( x) 的图象关于点 ( a, b) 对称。6、 f ( x)f (2ax)2byf ( x) 的图象

2、关于点 (a, b) 对称。7、 f (x)f (2ax)2byf ( x) 的图象关于点 (a, b) 对称。8、 f ( ax)f (bx)2cyf (x) 的图象关于点ab(,c) 对称。2（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、函数 yf (ax) 与 yf (ax) 图象关于直线x0对称。2、函数 yf ( x) 与 yf (2ax) 图象关于直线 xa 对称3、函数 yf ( x) 与 yf (2ax) 图象关于直线xa 对称4、函数 yf (ax) 与 yf (bx) 图象关于直线(ax) (b x) 0 对称即直线 xba对称25、函数

3、 yf ( x) 与 yf (x) 图象关于 X 轴对称。6、函数 yf ( x) 与 yf (x) 图象关于 Y 轴对称。7、函数 yf ( x) 与 yf (x) 图象关于原点对称.（三）函数的周期性1、 f ( xT )f ( x)yf ( x) 的周期为 T2、 f ( xa)f (b xb)(ab)yf (x) 的周期为 Tb a3、 f ( xa)f (x)yf (x) 的周期为 T2a4、 f ( xa)1yf ( x) 的周期为 T2af ( x)5、 f ( xa)1yf ( x) 的周期为 T2af ( x)6、 f ( xa)1f ( x)yf ( x) 的周期为 T3a

4、1f ( x)7、 f (x a)1yf ( x) 的周期为 T3af (x)18、 f ( xa)1f (x)yf ( x) 的周期为 T4a1f ( x)9、 f ( x2a)f (x a)f ( x)yf ( x) 的周期为 T6a10、 yf ( x) 有两条对称轴xa 和 x b（ ab)yf ( x) 周期 T2(ba)11、 yf ( x) 有两个对称中心(a,0) 和 (b,0)yf ( x) 周期 T2(ba)12、 yf ( x) 有一条对称轴 xa 和一个对称中心(b,0)yf ( x) 周期 T4(ba)13、奇函数 yf (x) 满足 f (ax)f (ax)yf (

5、 x) 周期 T4a 。14、偶函数 yf (x) 满足 f (ax)f (ax)yf ( x) 周期 T2a 。.二、例题讲授例题 1（1）已知 yf ( x) 是定义在实数集R 上奇函数， x0时， f ( x)2 x1，求 yf (x) 的解析式。（2）已知 yf (x) 满足 f (1 x)f (1x) ， x1时， f ( x)2x1，求 yf (x) 的解析式。（3）已知奇函数yf ( x) 满足 f (1 x)f (1x) ，2x0 时， f ( x) 2 x1，求f (log 2 18)（4）已知 yf ( x) 满足 f (1 x)f (1x)0 ， x1时， f ( x)2

6、 x1 ，求 yf (x) 的解析式。例题 2（ 1）已知 f (x)ax b sin x2， f (2)1求 f ( 2)（ 2）已知偶函数 yf ( x) 定义域为 R，且恒满足 f (x2)f (2x) ，若方程 f ( x) 0在 0,4 上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间8,10 中的根（ 3）已知 f (x)2xf ( 4)f (5)f (6)，求 f ( 5)的值2 x 1例题 3（）设函数yf ( x) 的定义域为 R，若 yf ( x) 的图象关于 x1对称，则函数满足A 、 f (x)f (1 x)B、 f (x)f ( 2 x)0C、（）函数f (x1)f (1

7、x)D、f (1 x) f (1 x)yf ( x1) 与函数 yf (1x) 的图象关于关于 _ 对称（）函数 yf ( x 1) 和函数 yf (1 x) 的图象关于关于_ 对称（） 设函数 yf ( x) 的定义域为R，且满足 f ( x 1) f (1x) ，则 y f (x1) 的图.象关于 _ 对称。 yf (2x) 的图象关于 _ 对称。（）设函数 yf (x) 的定义域为 R，则下列命题中，若yf (x) 是偶函数，则yf (x2) 图象关于 y 轴对称；若 yf ( x2) 是偶函数，则 yf (x) 图象关于直线x2 对称；若f ( x2) f ( 2 x) ，则函数y f

8、 ( x) 图象关于直线x 2 对称；yf (x2) 与 yf (2x) 图象关于直线x2 对称，其中正确命题序号为_。例题12、 设 f(x) 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x=1 对称，对任意x1,x2 0,，都有2f(x 1+x 2)=f(x 1) f(x 2)，且 f(1)=a0 。（ 1）求 f( 1 ) 及 f( 1 )2 4（ 2）证明 f(x) 是周期函数1（ 3）记 an=f(2n+2n1), 求证： an=a 2 n三、自我检测1、如果函数f(x)x2bx c 对任意实数t 都有 f(2 t) f(2 t) ，那么A.f(2) f(1)f(4)B.f(1) f(2)

9、 f(4)C.f(2) f(4)f(1)D.f(4) f(2) f(1)3、 如果奇函数f(x)在区间 3 ， 7 上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间 7， 3上是A. 增函数且最小值为5B. 增函数且最大值为5C. 减函数且最小值为5D. 减函数且最大值为54、 F(x) 1 22 x1f(x) ， (x 0)是偶函数，且f(x) 不恒等于0，则 f(x)A. 是奇函数 B.是偶函数 C.可能是奇函数也可能是偶函数 D. 不是奇函数也不是偶函数5、 设 f(x)是 ( ， ) 上的奇函数， f(x 2) f(x)，当 0 x 1，f(x) x，则 f(7.5)()A.0.5B. 0.5C.1.5D. 1.56、 设 f(x) 是定义在（，+）上的函数，对一切x R 均有 f(x)+f(x+