函数的单调性与求函数的最值

1、.函数的单调性与最值复习：按照列表、描点、连线等步骤画出函数yx 2的图像 .yyx 2图 1xx 在区间 0， +x 的增大 ,图像在 y 轴的右侧部分是上升的，当)上取值时，随着相应的 y 值也随着增大，如果取x1, x2 0，+)，得到 y1f ( x1 ) , y f (x2 ) ,那么当x1 x2 时，有 y1 y2 .这时就说函数 y = f ( x)x2在 0,+)上是增函数 .图像在 y 轴的左侧部分是下降的，当x 在区间 0， +)上取值时，随着x 的增大 ,相应的 y 值反而随着减小，如果取x1, x2 0，+)，得到 y1f ( x1 ) , yf ( x2 ) ,那么当

2、 x1 x2 时，有 y1 y2 。这时就说函数y = f ( x)x2 在 0,+)上是减函数 .1函数的单调性(1) 单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数f( x)的定义域为 I .如果对于定义域I 内某个区间 D 上的 任意两个自变量的值 x1， x2定义当 x1212)，当 x1 212)，那么就 x 时，都有 f( x) f(x x时，都有 f(x ) f(x那么就说函数f(x)在区间 D 上是增函数说函数 f (x )在区间 D 上是减函数图象描述在单调区间上增函数的图象是上升的.在单调区间上减函数的图象是下降的(2) 单调区间的定义若函数f(x)在区间D 上是 增函数或减函数

3、，那么称函数f(x)在这一区间上具有( 严格的 ) 单调性，区间D叫做 f ( x) 的单调区间注意：（ 1）函数的单调性也叫函数的增减性；（ 2）注意区间上所取两点x1,x 2 的任意性；（ 3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。（ 4） 若函数f ( x) 在其定义内的两个区间A 、 B 上都是单调增（减）函数，一般不能认简单地1认为 f ( x) 在区间 A U B 上是增（减）函数.例如f (x)在区间 (,0) 上是减函数，在区x间 (0,) 上也是减函数，但不能说它在定义域(,0) U (0,) 上是减函数 .（3）用定义法判断函数的单调性：定义域取值；任取 x1，

4、x2 D ，且 x1x 2 ；作差； 作差 f(x1) f(x2)；变形； 通常是因式分解和配方；定符号；即判断差f(x1 ) f(x2 )的正负下结论指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性例 1 证明函数 f ( x)1)上是减函数 .在 (0,+x证明：设 x1 , x2 是 (0,+)上的任意两个实数，且x1 0,又由 x1 0 ,于是 f (x1 ) f ( x2 ) 0,即 f (x1 ) f ( x2 ) f ( x)1)上是减函数 .在 (0,+x.练习：讨论函数f ( x)1x2 在 1,0 的单调性 .在 1,0 上任取 x1 ,x2 且 x1x2则 f (x1 )1 x

5、12, f (x2 )1 x2 2从而 f (x1)f (x2)1x121 x22=(1x12)(1x22 ) =x22x12(x2 x1 )(x2 x1)1 x121 x221 x121 x221 x121 x22 x1 x2 x2x10另外，恒有1x121x220 1x1x2 0则 x1+x20则 f ( x1 ) f ( x2 )0f ( x1 ) f (x2 ) 在 1， 0上 f(x)为增函数2. 基本函数的单调性例：讨论函数f(x)x22ax3 在(-2,2)内的单调性 .解： f(x)x22ax3(x-a)23a2 ，对称轴 xa若 a2,则 f(x)x22ax3在 (-2,2)

6、内是增函数；若则2232a2f(x)xax在(-2,a),a,2内是增函数内是减函数 在若a 2,则f(x)x2ax3 在(-2,2)内是减函数.23. 判断函数的单调性的常见结论设任意x1 ， x2 a， b ，且 x1 x2，那么fx2fx10 ? f(x)在 a， b 上是增函数；f x2 f x1 0 ? f(x)在 a， b 上是减函数设任意x1 ， x2 a， b ，那么fx2fx10 ? f(x)在 a， b 上是增函数；x2x1fx2fx10 ? f(x)在 a， b 上是减函数x2x1. (x1 x2) f(x1) f(x2) 0? f(x)在 a， b上是增函数；(x1 x

7、2) f(x1) f(x2) 0? f(x)在 a， b上是减函数【梳理总结】（ 1）函数 yf ( x) 与 yf (x) 的单调性相反；（ 2）当函数 yf ( x) 恒为正或恒有负时， y1f ( x) 的单调性相反；与函数 yf (x)（ 3）函数 yf ( x) 与函数 yf ( x) C （ C 为常数）的单调性相同；（ 4）当 C0（ C 为常数） 时， yf (x) 与 yC f ( x) 的单调性相同； 当 C 0（ C为常数）时， yf ( x) 与 y Cf ( x) 的单调性相反；（ 5）函数 f ( x) 、 g( x) 都是增（减）函数，则f ( x) g (x)

8、仍是增（减）函数；（ 6）若 f (x)0, g(x) 0 且 f (x) 与 g(x) 都是增（减）函数，则f (x) g(x) 也是增（减）函数；若f ( x) 0, g( x)0 且 f ( x) 与 g( x) 都是增（减）函数，则f ( x) g(x) 也是减（增）函数；（ 7）设 f ( x)0 ，若 f (x) 在定义域上是增函数，则nf ( x) 、 kf (x)(k0) 、都是增函数 .例：求函数yx2 x 6的单调区间 .4. 关于分段函数的单调性(1) 若函数 fgx , xa,bg xa, b 上是增函数 ,h x 在区间xx , x,在区间hc, dc, d 上是增函

9、数 , 则 f x在区间a, b U c, d 上不一定是增函数 , 若使得 f x 在区间a,b U c, d 上一定是增函数, 需补充条件 :g (b)h(c)(2) 若函数 fgx , xa,bg xa, b 上是减函数 ,h x 在区间xx , x,在区间hc, d.c, d 上是减函数 , 则 f x在区间 a, b Uc, d 上不一定是减函数, 若使得 fx 在区间a,b U c, d 上一定是减函数, 需补充条件 :g (b) h(c)xfx2f x1例：已知函数 fx a( x 0)0成立，若对任意 x1，x2，都有x2x1(a3) x 4a( x0)则实数 a 的取值范围是

10、 ()1B (0,1)1D (0,3)A (0, C ,1)445函数的最值前提条件.结论设函数 y f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足对于 任意 xI ，都有 f(x) M ；对于 任意 x I ，都有 f(x) M ； 存在 x0 I ，使得 f(x0) M 存在 x0 I ，使得 f(x0)M .M 为最大值，记作ymaxM 为最小值，记作ymin例： f(x) x22x (x 2,4) 的单调增区间为_ ； f(x) max _.6. 利用函数的单调性求最值例题： 已知函数f(x)对于任意x， y R，总有f(x) f(y) f(x y)，且当x 0 时， f(x) 0， f(

11、1) 23.(1) 求证： f(x)在 R 上是减函数；(2) 求 f(x)在 3,3 上的最大值和最小值(1) 证明 : 令 xy0 , 则 f (0)0 ; 再令 yx , 则应有 f (x)f ( x) , 从而在 R 上任取x1x2 , 则 f ( x1 )f (x2 )f ( x1 )f ( x2 )f ( x1x2 ) .Q x1 x2 , x1x20.又Q x 0 时 , f ( x)0 , 从而 f (x1x2 ) 0 , 即 f ( x1) f ( x2 ) ,由定义可知函数f ( x) 在 R 上的减函数 .(2)Q 函数 f(x) 是 R 上的减函数 ,f ( x) 在区

12、间 3,3上也是减函数 . 从而可知在区间3,3 上, f (3) 最大 , f(3) 最小 .Q f (3) f (2)f (1) f (1)f (1) f (1) 3 f (1) 3 (2) 2, f ( 3)f (3) 2.3即 f (x) 在 3,3上的最大值为2, 最小值为 2.练习：已知定义在区间（0， +）上的函数f(x)满足 f( x ) f(x) f(y).，且当 x 1 时， f(x)0.y（ 1）求 f(1)的值；（ 2）判断 f(x)的单调性；（ 3）若 f(3)=-1, 解不等式 f(|x|) -2.（1）f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0

13、。（2）当0 y 1 ，所以 f(x) - f(y) = f(x/y) 9 ， x9 或 x-97. 导数与函数的单调性（1）导数的几何意义：函数 yf (x) 在点 x0 处的导数的几何意义就是曲线y f (x) 在点 ( x0 , f ( x) 处的切线的斜率，也就是说，曲线yf ( x) 在点 P( x0 ,f ( x) 处的切线的斜率是f (x0 ) ，切线方程为y y0 f ( x)( xx0 ).（2）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数 y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y / 0，那么函数 y=f(x) 在这个区间内为增函数；如果在这个区间内y /0，那么函数

14、y=f(x)在这个区间内为减函数。（ 3）几种常见函数的导数 C 0 ； ( x n ) nx n 1 ； (ex ) ex ； (ln x)1（ 4）导数的运算法则x (uv)u v. (uv) uvuv. (u ) u vuv(v 0) .vv28. 求可导函数的单调区间的一般步骤和方法：确定函数f ( x) 的定义域；计算导数f ( x) ，令 f ( x)0 ，解此不等式，求出递增区间；.令 f ( x) 0 ； (x1 x2 ) f(x1) f(x2)0； x1 x2 f x1 f x2 0. x1 x2其中能推出函数y f(x)为增函数的命题为_.( 填序号 )11. 函数 yx2

15、2x3 的递减区间是答案： ( , 3)提示 :借助复合函数的单调性加以判断 .12. 已知函数 y f(x)在 R 上是减函数， A(0， 2) 、B(3,2)在其图象上，则不等式2f( x)2的解集为 _.综合练习：1.已知函数f(x)是 R 上的增函数，A(0 ， 1) 、 B(3 ， 1)是其图像上的两点，那么不等式|f(x 1)| 1 的解集的补集是（）A ( 1，2)B (1，4)C(， 1) 4，）D (， 1)2，）2. 已知函数 f(x)为 R 上的减函数，则满足f1f(a)，则实数 a 的取值范围是 (3. 已知函数 f(x)4x x2， x0.A (， 1) (2， )

16、B ( 1,2)C ( 2,1)D (， 2) (1， )解析： f(x)x2 4x (x 2)2 4， x 0，由 f(x)的图象可知f(x) 在( ， )上是单调递增4x x2 (x 2) 2 4， x f(a)得 2 a2 a，即 a2 a 20，解得 2a1.故选 C.4.已知 f (x) 在实数集上是减函数，若ab0 ，则下列正确的是（）A f (a)f (b) f ( a)f (b)B f ( a)f (b)f (a)f (b)C f (a)f (b) f ( a)f (b)D f (a)f (b)f (a)f (b)答案： D 提示 : Q a b0, ab,ba 且 f ( x

17、) 在实数集上是减函数，从而知.f ( a)f ( b), f (b)f ( a) , 从而选 D.5. f(x)是定义在 (0， +)上的增函数，且 f(x ) f(x) f(y).y(1) 求 f(1) 的值；(2) 若 f(2) 1，解不等式 f(x+3) f(1) 2.x【解】 (1) 令 y x0 ，从而得 f(1)= f (x)f (x)0 ;(2) f (2)4f (4)f (2)，f (4)2 f (2)2 f ( )2因为 f(x)是定义在 (0 ， +)上的增函数，x30x30所以原不等式 f(x+3) ( 1) f(4)1010xxxf ( x23x)f (4)x23x4解得 4 x 1 从而原不等式的解集为(4,1).6. 函数 f(x)对任意的 a、b R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1, 并且当 x 0 时， f(x)1.（ 1）求证： f(x)是 R 上的增