函数的周期性及其应用解题方法

1、.函数的周期性及其应用解题方法方法提炼抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出，常见的有以下几种情形：(1)若函数满足 f(x T) f(x)，由函数周期性的定义可知T 是函数的一个周期；(2)若满足 f(x a) f(x) ，则 f(x2a) f( x a) a f(x a) f(x)，所以 2a 是函数的一个周期；(3)若满足 f(x a) 1/ f(x)，则 f(x 2a)f(x a) a 1/ f(x a) f(x)，所以 2a 是函数的一个周期；(4)若函数满足 f(x a) 1/ f(x)，同理可得 2a是函数的一个周期；(5)如果 T 是函数 y f(x)的周期，则 kT(k Z

2、且 k0)也是 y f(x)的周期，即 f( x kT) f(x)；若已知区间 m，n( m n)的图象， 则可画出区间 m kT，n kT( k Z 且 k0)上的图象没有等价变形而致误【典例】 函数 f(x)的定义域 D x|x0 ，且满足对于任意x1， x2 D，有 f( x1x2) f(x1)f(x2)(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性，并证明；(3)如果 f(4) 1，f(3x 1)f(2x 6)3，且 f(x)在 (0， ) 上是增函数， 求 x 的取值范围错解： (1)令 x1 x2 1，有 f(1 1) f(1) f(1) ，解得 f(1) 0.(2) f(x

3、)为偶函数，证明如下：令 x1 x2 1，有 f( 1) ( 1) f( 1) f( 1)，解得 f( 1) 0.令 x1 1， x2 x，有 f( x) f( 1) f(x)，f( x) f(x)f(x)为偶函数(3)f(44) f(4) f(4) 2，f(164) f(16) f(4) 3，由 f(3x 1) f(2x 6)3，得 f(3 x1)(2 x 6) f(64)又f(x)在 (0， )上是增函数，(3x 1)(2x 6)64.7/3 x5.分析： (1)从 f(1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x1 x2 1.(2)判断 f(x)的奇偶性， 就是研究 f(x) ，f( x) 的

4、关系，从而想到赋值x1 1，x2 x.即 f( x) f( 1) f(x) (3)就是要出现 f( M) f(N)的形式，再结合单调性转化为M N 或 M N 的形式求解正解： (1)令 x1 x2 1，有 f(11) f(1) f(1) ，解得 f(1) 0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令 x1 x2 1，有 f( 1) ( 1) f( 1)f( 1)，解得 f( 1) 0.令 x1 1， x2 x，有 f( x) f( 1) f(x)，f( x) f(x)f(x)为偶函数(3)f(44) f(4) f(4) 2，f(164) f(16) f(4) 3.由 f(3x 1) f(2x 6

5、)3，变形为 f(3x 1)(2x 6) f(64) (*)f(x)为偶函数， f(x) f(x) f(|x|)不等式 (*) 等价于 f|(3 x 1)(2x 6)| f(64)又f(x)在 (0， )上是增函数，|(3x 1)(2x 6)|64，且 (3x 1)(2x 6)0.解得 7/3 x 1/3 或 1/3 x 3 或 3 x5.x 的取值范围是.答题指导：等价转化要做到规范，应注意以下几点：(1) 要有明确的语言表示如“M”等价于 “N”、“M”变形为 “N”(2) 要写明转化的条件如本例中：f(x)为偶函数，不等式(*) 等价于 f|(3 x 1)(2x6)| f(64)(3) 转化的结果要等价如本例：由于f|(3 x 1)(2 x