高二数学 09椭圆及其标准方程培优教案

1、椭圆及其标准方程本讲主要内容 1掌握椭圆的定义和根据椭圆的定义推求椭圆标准方程的方法.2掌握椭圆的标准方程.3掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程.学习指导 1本讲的重点、难点.重点：椭圆的定义及其有关概念、椭圆的标准方程.难点：分清椭圆两种标准方程的不同形式与椭圆的关系.2学好这部分内容的关键.关键是掌握椭圆的定义、有关概念、标准方程与椭圆图形的对应关系.3学好椭圆的标准方程时,要注意些什么？(1)把椭圆的位置特征与标准方程的形式统一起来,椭圆的位置由其中心的位置和焦点的位置确定.即：如果椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,那么这个位置是标准位置,此时由于长轴也在x轴上,半长轴的平方a2是方程中含

2、项的分母,所以方程为；如果椭圆的中心在原点,焦点在y轴上,那么这个位置也是标准位置,此时由于长轴在y轴上,半长轴的平方a2是方程中含项的分母,所以方程为.(2)求椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面,“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置,在中心是原点的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以判断方程的形式；“定量”则是指确定a、b的具体数值,常用待定系数法.注意：若已知条件给出了椭圆的焦点在x轴或在y轴上,则椭圆的标准方程仅取一种形式,若已知条件给出了椭圆的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,则椭圆的标准方程应取两种形式.例题精讲例1：求以圆x+y-2x-8=0的圆心为右焦点,此圆与y轴的

3、交点为顶点的椭圆的方程.分析由题意应先求出圆心的坐标从而确定焦点的位置,以便你确定所求的椭圆的标准方程的形式,同时借助此圆与y轴的交点坐标,求出椭圆的方程.解 将圆x+y-2x-8=0的方程整理 得(x-1)+y=9, 圆心坐标为(1,0),与y轴交点的坐标为(0,2). 由题意所求椭圆的标准方程为+=1,且c=1,b=2, a=b+c=9, 所求椭圆方程为+=1.解题后的点拨求椭圆方程时首先应由已知条件确定焦点的位置,从而确定所求的标准方程为哪种形式,然后再确定a、b值.例2已知椭圆的焦点在x轴上,长轴长2a是短轴长2b的3倍,且过点P(3,2),求椭圆的标准方程.分析由题意设椭圆的标准方程

4、为,运用待定系数法,借助题中的两个条件求出a、b的值,从而求出其标准方程.解 设椭圆的标准方程为+=1(ab0),则有 把代入,得,.解得b=5, a=45.从而所求椭圆的方程为.解题后的点拨这里运用的待定系数法,它经历了确定方程的结构形式,列出a、b的两个方程和求解三个步骤,求解时,不把式作去分母处理,而用换元法把看作一个整体,这种方法在今后解题时要注意运用.例3在ABC中,BC=24,AC、AB的两条中线之和为39,求ABC的重心轨迹方程.分析由题意应先建立适应的坐标系,以BC所在的直线为x轴,BC的中垂线为y轴,由题意所求点的轨迹为椭圆且焦点在x轴上.解 以BC所在直线为x轴,BC的中垂

5、线为y轴建立直角坐标系,M为重心,则39=26,由椭圆定义可知点M的轨迹为以B、C为焦点的椭圆且2a=26, c=12,b=a-c=169-144=25.故所求的椭圆方程为1(y0).解题后的点拨在解析几何里,求符合条件的点的轨迹方程,要建立适当的坐标系.本题应注意用定义解题,求出方程,要根据题意检查方程的曲线上的点是否符合题意,要把不符合题意的点去掉.例4一条线段AB的长等于2a,两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动,点M在AB上且AM：MB=1:2,求点M的轨迹方程,并判断轨迹是什么？分析本例与上例不同之处在于,点M的轨迹不能由题设直接确定是什么曲线,故用求曲线方程的一般方法先求曲线的方程,

6、再确定轨迹.解 设点M的坐标为(x,y),A的坐标为(,0),B的坐标为(0、y1).,由线段的定比分点坐标公式可得：又,即,将 代入得,整理得,5.所求的点M的轨迹方程是,轨迹是椭圆.解题后的点拨本题有两个关键性的条件,由,可求出x1,y1所满足的方程,由AM:MB=1:2,借助定比分点公式例出x与x1,y与y1之间的关系,代入上述方程,从而求出点M的轨迹方程,这种间接求轨迹方程的方法在这们解题时经常运用,大家要注意这方面的练习.基础性训练题一选择题:1动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离的和是8,则动点P的轨迹方程为( )A椭圆B直线F1F2C线段F1F2D不能确定2若椭圆

7、上有一点P到左焦点F1的距离为1,F2是右焦点,那么值为( )A3：1B4：1C5：1D6：13一动点到两定点(0,-4),(0,4)的距离的和是12,则动点的轨迹方程是( )ABCD4当关于x、y的方程所表示的曲线为椭圆时,方程所表示的圆的圆心在( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限5设椭圆的两焦点为F1、F2,P为椭圆上一点,且,那么的面积是( )A9B12C18D6椭圆的焦点为F1和F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么是的( )(98年高考试题)A4倍B5倍C7倍D3倍二解答题:7求焦点在x轴上,两焦点关于原点对称,焦距为8,且过点(0,3)的椭圆的方程8求与椭

8、圆有相同焦点,并经过点的椭圆的方程9点P(-3,0)是圆内一定点,动点M和已知圆相内切且过点P,求圆心M的轨迹方程10过x轴上一定点A(1,0),向椭圆作弦,求该中点的轨迹方程基础性训练题点拨与解答一选择题:1答案：C解：,又, 动点P的轨迹为线段F1F2,故选C.2答案：C解 ,故选C3答案：B解由题意设所求椭圆方程为, 即,所求方程为故选B4答案：D解为椭圆方程, 且, 且, 又为圆的方程. 圆心在第四象限 故选D5答案：A解 设, 则, 由此解得mn=18 故故选A6答案：C解设F1为左焦点,F1(-3,0),F2(3,0) 设P(x1,y1),线段PF1的中点的横坐标为O,则,x1=3

9、 把x1=3代入椭圆方程, P(3,),则即故选C二解答题:7解：由题意设椭圆的标准方程为,(ab0) 椭圆过点(0,3), ,即, 又焦距为8,即2c=8,c=4, 所求的椭圆的方程为8解：已知椭圆a=4,b=2, , 设所求的椭圆的方程为() 由解得或 不合,应舍去 ,这时, 所求椭圆的方程为9解：已知圆的方程为, 圆心为,半径为8,动点M过P点,故(动圆的半径),又动圆M与已知圆相内切, , , 点M在椭圆上,且, , c=3, 所求方程为10解：设Q(x0,y0)是椭圆上的任一点,P(x,y)是弦AQ的中点, 则 Q在椭圆上, , 故所求弦中点的轨迹方程为提高性训练题一填空:1正方形相

10、邻的两个顶点为F1(-3,0),F2(3,0),以F1、F2为焦点,且过正方形中心的椭圆的方程为_2求过点M(4,),N(,3)的椭圆的标准方程_3方程表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是_(1994年高考试题)4在ABC中,如果A、C的坐标分别是(-1,0),(1,0),则该点B的轨迹方程为_5过椭圆的左焦点F1作直线交椭圆于A、B两点,F2是其右焦点,则ABF2的周长等于_6椭圆上一点P到两焦点的距离之积为m,则当m取最大值时,点P的坐标是_二解答题:7已知两圆和,求与这两圆都相切的圆的圆心的轨迹8P是椭圆上的一点,F1、F2是焦点,若,求PF1F2的面积9直线l与椭圆交于A、B两

11、点,并且线段AB的中点的坐标为(1,1),求直线l的方程10如图在面积为1的PMN中,建立坐标系,求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程(93年高考试题)提高性训练题点拨与解答一填空:1答案：解：由题意所求椭圆为,(ab0) 由题意,c=3, , 所求方程为2答案：.解：由题意所求椭圆方程为 或 (ab0) 将点,分别代入、, 由得,不合题意,舍 由得, 所求方程为3答案：0k1.解：将方程化为椭圆的标准方程, 焦点在y轴上, 有, 0kb0), a=2,且c=1 , 所求方程为()5答案：12.解：由椭圆定义, , ABF2的周长6答案：(0,3),(0,-3).解：椭圆两焦点的坐标为(4,0

12、),(-4,0), 设P点到其中一焦点距离为x, 则 m的最大值是25, x=5,10-x=5 即P点应为椭圆在y轴的交点,P(3,0)或P(-3,0)二解答题:7解：设动圆的圆心为P(x,y),半径为r,由已知可判断出两圆是内含关系, , , , 整理得, 所求的圆的圆心的轨迹方程为8解：由得a=5,b=4,c=3, 由椭圆的定义得, 平方得=100 又由余弦定理得cos30, 即62= 由得=64(2-). S= =16(2-).9解由已知,设直线l的方程为y-1=k(x-1),代入椭圆方程4x2+9y2=36中, 得4x2+9k(x-1)+12=36, 整理得(9k2+4)x2-18(k

13、2-k)x+9k2-18k-27=0. 故当 设A(x1,y1) B(x2,y2), 则x1+x2=. 又线段AB的中点为(1,1),所以 解得k=. 可以验证k=符合式条件, 于是所求直线l的方程为 y-1=(x-1)即4x+9y-13=0.10解如图建立直角坐标系,以MN所在直线为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴,设所求椭圆方程为. M(-C,0),N(C,0),P(xo,yo). tan,由题设知 , ,解得 在=2c,MN上的高为,S=,即P(,).,=,a=,从而b2=a2-C2=3,故所求椭圆方程为.研究探讨题解析几何是高中数学的重要内容之一,也是高考的重点内容之一,通过对这部分内容的考查,不仅能检查学生掌握解析几何知识的情况,还能有效地检查学生符合应用数学知识分析和解决问题的能力,例如1995年上海高考中的一道解析几何题,它即考查了椭圆的知识,又考查了函数的概念,面积的知识及符合应用知识与推理计算能力,下面我们就一起