现代控制理论考题

1、一. 状态空间模型和模型变换1.1 已知SISO系统的传递函数为（1）给出系统的一个状态空间实现，写出状态空间模型的完整表达式。（2）求出系统特征值，比较系统的特征值和极点是否一致，为什么？所得的状态空间实现是否是最小实现？解：(1)G（s）=将其输入到MATLAB 工作空间：代码 num=1,2; den=1,12,45,58,24; TFG=tf(num,den); SG=ss(TFG)运行结果a = x1 x2 x3 x4 x1 -12 -5.625 -1.813 -0.75 x2 8 0 0 0 x3 0 4 0 0 x4 0 0 1 0 b = u1 x1 0.25 x2 0 x3

2、0 x4 0 c = x1 x2 x3 x4 y1 0 0 0.125 0.25 d = u1 y1 0 Continuous-time model.根据运行结果，得到系统的一个状态空间实现，状态空间模型的完整表达式为：(2)在MATLAB 工作空间中，求系统特征值的代码为A=-12,-5.625,-1.813,-0.75;8,0,0,0;0,4,0,0;0,0,1,0; V=eig(A)运行结果V = -6.0019 -3.9964 -1.0335 -0.9681故系统的特征值为由SISO系统的传递函数知系统的极点为p1=p2=-1，p3=-4，p4=-6。由上可知系统的特征值和极点是一致的

3、。因为系统矩阵的特征值方程和系统传递函数的特征方程是等价的，特征值也是特征方程D(s)=0的根。在经典控制理论中，系统传递函数的特征方程D(s)=0解出的根具有负实部,系统就是稳定的；在现代控制理论中，特征值具有负实部系统也是稳定的。故系统的特征值和极点是一致的。在MATLAB 工作空间中，验证所得的状态空间实现是否是最小实现的代码为：A=-12,-5.625,-1.813,-0.75;8,0,0,0;0,4,0,0;0,0,1,0; B=0.25;0;0;0; C=0,0,0.125,0.25; D=0; G=ss(A,B,C,D); Gm=minreal(G)运行结果a = x1 x2 x

4、3 x4 x1 -12 -5.625 -1.813 -0.75 x2 8 0 0 0 x3 0 4 0 0 x4 0 0 1 0 b = u1 x1 0.25 x2 0 x3 0 x4 0 c = x1 x2 x3 x4 y1 0 0 0.125 0.25 d = u1 y1 0 Continuous-time model.该系统的传递函数没有零极点对消，并且由运行结果可知所得的状态空间实现是最小实现。1.2已知SISO系统的状态空间表达式为（1）计算系统在等价变换下的状态空间方程，其中。比较变换前后的系统特征值是否一致，为什么？（2）求系统的传递函数。解：（1）计算系统在等价变换下的状态空间

5、方程，其中。将其输入到MATLAB 工作空间：代码 A=0 1 0;3 0 2;-12 -7 -6; B=2 1 7; C=1 1 1; G=ss(A,B,C,0); P=2 1 1;1 0 1;3 2 -1; G1=ss2ss(G,P)运行结果a = x1 x2 x3 x1 -5 1 0 x2 -6 -8.882e-016 0 x3 12 -3 -1 b = u1 x1 12 x2 9 x3 1 c = x1 x2 x3 y1 2 -1.5 -0.5 d = u1 y1 0 Continuous-time model.故系统在等价变换=Px下的状态空间方程为：比较变换前后的系统特征值是否一致

6、求变换前系统特征值的代码为： A=0,1,0;3,0,2;-12,-7,-6; V=eig(A)运行结果V = -1.0000 -2.0000 -3.0000故变换前的系统特征值为求变换后系统特征值的代码为： A=-5,1,0;-6,-8.882e-016,0;12,-3,-1; V=eig(A)运行结果V = -1.0000 -2.0000 -3.0000变换后系统的特征值为变换前后的系统特征值是一致的。因为同一系统，经非奇异变换后，得： =PA+PBu Y=C其特征方程为： =0而 = = =0故系统的非奇异变换，其特征值是不变的。（2） 将其输入到MATLAB 工作空间;代码 A=0,1

7、,0;3,0,2;-12,-7,-6;%系统状态参数 B=2;1;7; C=1,1,1; D=0; SG=ss(A,B,C,D);%构建状态方程 TFG=tf(SG);%由状态方程得到传递函数 TFG运行结果Transfer function: 10 s2 + 8 s - 39-s3 + 6 s2 + 11 s + 6故系统的传递函数为：二. 状态方程的解2.1 已知SISO系统的状态方程为 （1）求系统的状态转移矩阵。（2）当，时，绘制系统的状态响应及输出响应曲线。此系统是否是BIBO稳定的系统，为什么？是否可以根据这里的零状态响应断定系统的BIBO稳定性？（3）当，时，绘制系统的状态响应及

8、输出响应曲线。此系统是否是Lyapunov意义下稳定的系统，为什么？是否可以根据此零输入响应断定系统的Lyapunov意义下的稳定性？解：(1)将其输入到MATLAB 工作空间：代码 A=0,1;-5,-6; syms t; phet=expm(A*t)运行结果phet = 5/(4*exp(t) - 1/(4*exp(5*t), 1/(4*exp(t) - 1/(4*exp(5*t) 5/(4*exp(5*t) - 5/(4*exp(t), 5/(4*exp(5*t) - 1/(4*exp(t)故系统的状态转移矩阵为：(2) 当，时，绘制系统的状态响应及输出响应曲线。代码 A=0,1;-5,

9、-6; B=0;1; C=1,1; D=0; SG=ss(A,B,C,D); t=0:0.02;10; y,t,x=step(SG); plot(t,x,t,y,:r)运行结果：系统的状态响应及输出响应曲线如上图所示。 此系统是BIBO稳定的系统，因为该系统初始不储能，在有界信号的激励下,输出响应(零状态响应)也是有界的，即x(t)M, y(t) A=0,1;-5,-6; B=0;1; C=1,1; D=0; SG=ss(A,B,C,D); x0=1;2; y,t,x=initial(SG,x0)； plot(t,x,t,y,:r)运行结果：系统的状态响应及输出响应曲线如上图所示。此系统是Ly

10、apunov意义下稳定的系统。因为：将其输入到MATLAB 工作空间，代码为： A=0,1;-5,-6; Q=eye(size(A,1); P=lyap(A,Q); P_eig=eig(P); if min(P_eig)0 disp(The system is Lypunov stable.)else disp(The system is not Lypunov stable.)end运行结果：The system is Lypunov stable.故由运行结果可知此系统是Lyapunov意义下稳定的系统。可以根据此零输入响应断定系统的Lyapunov意义下的稳定性。三. 能控性和能观性分析

11、3.1根据系统矩阵A和输入矩阵B，判断系统的能控性：， 解：将其输入到MATLAB 工作空间：代码 A=3,5,-6;3,0,1;1,-1,-2; B=1,2;0,1;-1,1; Uc=ctrb(A,B); Rc=rank(Uc)运行结果Rc = 3rank（Uc）=3，故系统是能控的。3.2根据系统矩阵A和输出矩阵C，判断系统的能观性：， 解：将其输入到MATLAB 工作空间：代码 A=-9,2,7;0,-3,1;1,0,-2; C=0,-2,2; Uo=obsv(A,C); Ro=rank(Uo)运行结果Ro = 3rank（Uo)=3,故系统是能观的。3.3已知系统状态空间描述如下（1）

12、构造变换矩阵将其变换成能控标准形；（2）构造变换矩阵将其变换成能观标准形。解：（1）先判别系统的能控性：代码 A=1,0,2;3,1,5;2,-1,-3; B=1;0;-2; Uc=ctrb(A,B); Rc=rank(Uc)运行结果：Rc = 3rank（Uc）=3，所以系统是能控的。再计算能控标准型代码 A=1,0,2;3,1,5;2,-1,-3; B=1;0;-2; C=1,0,1; D=0; n=length(A); Uc=ctrb(A,B); U=inv(Uc); p1=U(n,:); for i=1:n T(i,:)=p1*A(i-1);end Ac=T*A*inv(T) Bc=T

13、*B Cc=C*inv(T)运行结果：Ac = -0.0000 1.0000 0 0.0000 -0.0000 1.0000 -8.0000 4.0000 -1.0000Bc = 0 -0.00001.0000Cc = -1.0000 4.0000 -1.0000故系统的能控标准型为：（2） 先判别系统的能观性代码 Uo=obsv(A,C); Ro=rank(Uo)运行结果：Ro = 3rank（Uo）=3，故系统是能观的。再计算能观标准型代码 A=1,0,2;3,1,5;2,-1,-3; B=1;0;-2; C=1,0,1; D=0; n=length(A); Uc=ctrb(A,B); U

14、=inv(Uc); p1=U(n,:); for i=1:n T(i,:)=p1*A(i-1);end Ac=T*A*inv(T); Bc=T*B; Cc=C*inv(T); Ao=(Ac) Bo=(Cc) Co=(Bc)运行结果：Ao = -0.0000 0.0000 -8.0000 1.0000 -0.0000 4.0000 0 1.0000 -1.0000Bo = -1.0000 4.0000 -1.0000Co = 0 -0.0000 1.0000故系统的能观标准型为：四. 稳定性分析4.1系统状态空间描述如下（1） 利用李雅普诺夫第一方法判断其稳定性；（2）利用李雅普诺夫第二方法判断

15、其稳定性。两种稳定性判定方法的结果是否一致，为什么？解：（1）将其输入到MATLAB 工作空间：代码 A=-2,0,-1;1,0,0;-9,1,2; B=-1;0;3; C=0,-2,-1; D=0; z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,1); n=length(A); for i=1:n if real(p(i)0 disp(The system is Lypunov1 stable.) endend运行结果：The system is Lypunov1 stable.The system is Lypunov1 stable.由运行结果可知：用李雅普诺夫第一方法判断，该系统是稳定的。（

16、2）将其输入到MATLAB 工作空间：代码 A=-2,0,-1;1,0,0;-9,1,2; B=-1;0;3; C=0,-2,-1; D=0; z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,1); n=length(A); Q=eye(3,3); P=lyap(A,Q); for i=1:n det(P(1:i,1:i); if(det(P(1:i,1:i) A=0,1,0;0,0,1;-6,-4,-1; B=1;-1;2; Uc=ctrb(A,B); m=rank(Uc)返回m = 3可见系统是完全能控的，该系统极点可以任意配置。 P=-2,-3,-4; K=acker(A,B,P); A1=A-

17、B*K; KK = 30 22 0 A1A1 = -30 -21 0 30 22 1 -66 -48 -1由运行结果可知，状态反馈增益阵为，配置后的系统A 阵为A1，即相应的状态反馈控制律为：5.2系统状态空间描述如下试判断是否能设计全维状态观测器，如能，请设计状态观测器，并将状态观测器的极点配置为，给出状态观测器表达式。解：将其输入到MATLAB 工作空间：代码 A=0,1,0;0,0,1;-4,-3,-2; B=1;3;-6; C=1,0,0; P=-2,-4,-5; K=acker(A,B,P); A1=A-B*K; K A1返回K = 1.7405 -1.6260 -2.0229A1 = -1.7405 2.6260 2.0229 -5.2214 4.8779 7.0687 6.4427 -12.7557 -14.1374K 为配置增益参数，A1 为配置后的系统A 阵代码 A=0,1,0;0,0,1;-4,-3,-2; B=