第6章-向量空间及向量的正交性.ppt

1、,第三章、矩阵的秩与线性方程组,一、n 维向量的定义及运算,二、向量空间,第一节 向量空间,第二节 向量的正交性,第六章 向量空间及向量的正交性,第1节、向量空间,一、向量空间及其维数和基,二、向量在基下的坐标,例 1,设V是一些 n 维实向量的组成的非空集合，如果 V 关于向量的加法与数乘封闭(线性运算封闭)，即,(1) a, b V, 有 a+b V.,(2) a V, k R, 有 ka V.,则称 V 是一个实向量空间.,一、向量空间及其维数和基,定义1,全体 n 维向量的集合(x1, x2, , xn)T| xi R, i=1, 2, , n 是一个向量空间，记为 Rn.,特别的,n

2、 = 1 时全体实数 R 是一个向量空间;,n = 3 时全体三维向量 (x1, x2, x3)T |xi R, i= 1, 2, 3 是一个向量空间，记为R3.,n = 2 时全体平面中的向量 (x1, x2 )T | xi R, i=1, 2 是一个向量空间，记为R2.,注：向量空间中必含有零向量。,例 3,例 2,而,W = (a1, a2, , an)T|,是一向量空间.,不是一向量空间, 因为它关于加法与数乘均不封闭，也不含零向量.,仅含一个 n 维零向量 0 = (0, 0, , 0)T 的集合 0 构成一个向量空间，称为零空间. 除零空间之外的所有向量空间均称为非零空间。,设 V

3、 是一个向量空间，W V, W . 如果 W 关于向量的加法与数乘也封闭，则称 W 是 V 的子空间.,定义2,若W V，并且V W, 则称两个向量空间相等，记为W=V.,例 5,n个分量,都是 R n 的子空间.,及,例 6,设 a V, 则 spana = ka | k R 为 V 的子空间，称它为由a生成的子空间，a 称为这子空间的生成元.,是 V 的由a1, a2, , as 生成的子空间.,更一般地，设 a1, a2, , as V.,上一页,例 4,V 本身和 0 都是 V 的子空间，称它们为 V 的平凡子空间.,例 7,上一页,证明：mn阶齐次线性方程组Ax=0的解集S组成一个向

4、量空 间，称S为 齐次方程组Ax=0的解空间.,证明：设u,v为Ax=0的解集S中的任意两个向量，满足Au=0,Av=0. 设k为任一实数。,那么A(u+v)=Au+Av=0. 并且A(ku)=kAu=0。 因此u+vS, kuS. 从而S为一个向量空间。,称向量组 V 的极大无关组为向量空间 V 的一组基底(基)，而V 的秩 称为向量空间 V 的维数，记为 dim(V).,定义3,规定：零空间的维数为0, 它没有基. 向量组的任何一个极大无关组都是一组基，存在而不唯一。,例 9,例 8,设 Rn 为全体 n 维向量构成的向量空间,证明 n 维向量组 e1= ( 1, 0, 0, , 0 )T

5、, e2= ( 0, 1, 0, , 0 )T, , en= ( 0, 0, 0, , 1 )T 是 Rn 的基, 且 dim(Rn) =n.,由矩阵判别法知 e1, e2, , en 线性无关. 设 a = (a1, a2, , an )T为任一 n 维向量, 显然有,a = a1 e1+ a2 e2+ + anen .,所以 a 可由 e1, e2, , en 线性表出, 即 e1, e2, , en 是 Rn 的基,从而dim(Rn )= n.,证,设 V 为一向量空间，且 dim V = r, 而 a1, a2, , ar 为 V 中 r 个线性无关的向量，则 a1, a2, , ar

6、 必为向量空间 V 的一组基.,上一页,例 10,证明向量组,a1 = (1, 2, 1)T, a2 = (3, 0, 1)T, a3 = (2, 3, 5)T,为空间R3 的一组基.,由于 dim R3 = 3, 故只要证明 a1, a2 , a3 线性无关即可. 由于,因此 a1, a2 , a3 线性无关，从而 a1, a2 , a3 可构成空间 R3 的一组基。,证,上一页,例 11,从而R3=spana1, a2 , a3 。,定理1,二、向量在基下的坐标,设 a1, a2, , am 是向量空间 V 的一个基, bV, b 可由 a1, a2, , am 线性表示:,b = b1

7、a1 + b2 a2 + + bm am ,则组合系数构成的向量 (b1, b2, , bm )T 称为向量 b 在基 a1, a2, , am 下的坐标向量. 而bi 称为坐标。,( b1, b2, , bmR ),定义4,注：b 在基 a1, a2, , am 下的坐标向量是唯一的.,b = c1 a1 + c2 a2 + + cm am ,那么可得,(b1 c1) a1 + (b2 c2) a2 + + (bm cm) am = 0,由于a1, a 2, , a m 线性无关, 故,b1 c1 = b2 c2 = bm cm= 0,即 bi = ci ( i = 1, 2, , m).,

8、事实上, 若还有另一坐标向量 (c1, c2, , cm )T, 即,例 12,已知 e1= ( 1, 0, 0, , 0 )T, e2= ( 0, 1, 0, , 0 )T, , en= ( 0, 0, 0, , 1 )T 是 Rn 的基. 而对 Rn 中任一向量 b , 有,b = ( b1, b2, , bn )T = b1 e1+ b2 e2+ + bnen ,所以 b 在基 e1, e2, , en 下的坐标向量就是其自身.,故 e1, e2, , en 称为空间 Rn 的标准基.,上一页,例 13,设 a1 = ( 1, 1, 2 )T, a2 = ( 1,3, 0 )T , a3

9、 = ( 1, 0, 1 )T, 证明 a1, a2 , a3 是 R3 的一个基, 并求 b = ( 0, 1, 3)T 在这个基下的坐标向量.,dim R3 =3, 而,所以 a1, a2 , a3 线性无关, 从而是 R3 的一个基.,解,令 b = x1 a1 + x2 a2 + x3 a3,因此 b 在基 a1, a2 , a3 下的坐标向量为 (2, 1, 1 )T.,即 ( 0, 1, 3) T= x1 (1, 1, 2)T + x2 (1, 3, 0)T+ x3 (1, 0, 1)T,则,x1 + x2 + x3 = 0,x1 + 3x2 = 1,2x1 + 0 x2 + x3

10、 = 3,x1 = 2,x2 = 1,x3 = 1.,上一页,设向量空间 V 的维数为 n, 则 V 中任意 n 个线性无关的向量都是 V 的基, 对于不同的基,同一个向量的坐标向量一般是不同的.下面我们来看看同一个向量在两个不同基下的坐标之间有什么关系.,设 a1, a2 , , an 及 b1, b 2 , , b n 是向量空间V 的两个基. 那么由基的定义, 向量 bi (i = 1, 2, , n ) 可由 a1, a2 , , an 唯一线性表出. 设,矩阵 C 称为由基 a1, a2 , , an 到基 b1, b 2 , , bn 的过渡矩阵, 它是可逆的.,令,即,(b1,

11、b 2 , , b n) = (a1, a2 , , an ) C,新基,旧基,过渡矩阵,基变换公式,上一页,定理2,设n 维向量空间V中的旧基a1, a2 , , an到新基b1, b2 , , bn的过渡矩阵为C。 V中的向量v 在旧基与新基下的坐标向量分别为 x, y, 则有 x=Cy, y=C-1x,坐标变换公式,例 14,设 R3 中一组基为 a1= (3, 1, 2)T, a2= ( 1, 1, 1)T, a3 = (2, 3, 1)T, 求向量 a = (1, 0, 0)T 在基 a1 , a2 , a3 下的坐标向量.,设 a = ( 1, 0, 0) T在基 a1, a2 ,

12、 a3下的坐标为 (y1, y2 , y3)T, 在基 e1, e2, e3 下的坐标为 (x1, x2, x3)T = (1, 0, 0) T, 则由于,(a1, a2 , a3) = (e1, e2, e3 ),因此由基 e1, e2, e3 (旧基)到基 a1, a2 , a3 (新基)的过渡矩阵为,解,从而,上一页,命题 1,关于过渡矩阵,下面两个结论是经常用到的:,设由基 a1, a2 , , an 到基 b1, b2 , , bn 的过渡矩阵为 C, 则由基 b1, b2 , , bn 到基 a1, a2 , , an 的过渡矩阵为C1.,基 a1, a2 , , an,C,基 b

13、1, b2 , , bn,C1,命题 2,设由基 a1, a2 , , an 到基 b1, b2 , , bn 的过渡矩阵为C1, 则由基 b1, b2 , , bn 到基 c1, c2 , , cn 的过渡矩阵为C2, 则由基 a1, a2 , , an 到 c1, c2 , , cn 的过渡矩阵为C1 C2 .,基 a1, a2 , , an,C1,基b1, b2 , , bn,基 c1, c2 , , cn,C2,C1 C2,上一页,本节作业： 习题6-1：1(1,2,3),3, 5,6,7,第2节、向量的正交性,一、向量的内积,二、正交基与施密特正交化,一、向量的内积,定义1,两个n元

14、实向量 的内积定义为：,非负数 叫做向量 a的长度(范数)，记为|a|, 即,当|a|=1时, a 称为单位向量，对于非零向量a, 称a/|a|为a 的单位化向量。,向量内积具有如下性质：,显然，一个向量组 为标准正交向量组的充要条件为：,定义2,由两两正交的非零向量组成的向量组称为正交向量组，由单位向量组成的正交向量组称为标准正交向量组。 向量空间V的一组基如果为正交向量组，则称为正交基，如果为标准正交向量组则称为标准正交基。,例如， 为向量空间Rn的标准正交向基。,二、正交基与施密特正交化,定理1,正交向量组必线性无关。,施密特正交化,例 1,则方程组得基础解系为：,求线性方程x1+x2+x3+x4=0的解空间S的一组标准正交基。,解：线性方程可写为：x1= x2 x3 x4。,因此x2，x3，x4可看作自由未知量，对其赋值,对其进行Schimidt正交化:,再进行单位化：,则q1, q2, q3为原方程组的一组标准正交基。,对于n阶方阵A , 如果,即 , 则A称为正交阵.,性质 1,正交阵具有如下性质： 若A是正交阵，则 与 均为正交阵； 若A,B 为同阶正交阵，则AB 也是正交阵； 正交阵的行列式为1或-1； 对n 阶方阵A为正交阵的充要条件为：A 的列向量组为标准正交向量组。,证 只证明（4）. 设矩阵的列分块为 ，则,例 2