第14章 格与布尔代数.ppt

1、离 散 数 学,电子科技大学,计算机科学与工程学院 示 范 性 软 件 学 院,2020年9月18日星期五,2020/9/18,第15章 格与布尔代数,2020/9/18,15.1 本章学习要求,2020/9/18,偏序格,比较右边两个哈斯图的不同？,2020/9/18,定义15.2.1,设是一个偏序集，如果对任意a, bL，a, b都有最大下界和最小上界存在，则称是格，简称L是格。若L为有限集，则称格为有限格。 暂且把由偏序关系定义的格称为偏序格,2020/9/18,保交与保联,在格中，任取a, bG，则a, b的最大下界和最小上界都是惟一存在的，且均属于L。 用a*b表示a, b的最大下界

2、，称为a与b的保交，用ab表示a, b的最小上界，称为a与b的保联，即 a*b = GLBa, b，ab = LUBa, b 也可用和、和、和分别表示保交和保联,2020/9/18,例15.2.1,（1）考虑偏序集，其中Z+是正整数，D是一个整除关系，问此偏序集是否是一个格？ （2）设A是一个集合，P(A)是A的幂集，是集合上的包含关系，问此偏序集是否是一个格？ （3）考虑偏序集，其中D是一个整除关系，Sn是n的所有因子的集合，问此偏序集是否是一个格？ （4）所有的全序集都是格？,2020/9/18,例15.2.1（续）,分析 判断一个偏序集是否是格，要对L的所有2元素子集看它是否都有最大下界

3、和最小上界 解 （1）对a, bZ，有 a*b = GLBa, b = GCDa, bZ GCD表示a, b的最大公因子。 ab = LUBa, b = LCMa, bZ LCM表示a, b的最小公倍数。 所以，是一个格。,2020/9/18,例15.2.1 解（续）,（2）对S1，S2P(S)，有 S1*S2 = GLBS1, S2 = S1S2P(S) S1S2 = LUBS1, S2 = S1S2P(S) 所以，是一个格。 （3）由(1)可知：一定是一个格。 举例如下： 当n = 6和n = 24时，有和是格。 此时S6 = 1, 2, 3, 6， S24 = 1, 2, 3, 4, 6

4、, 8, 12, 24，,2020/9/18,例15.2.1 解（续）,对a, bS6(或S24)，有 a*b = GLBa, b = GCDa, bS6(或S24) ab = LUBa, b = LCMa, bS6(或S24) 对应的Hasse图如图 (a)和图 (b)所示。,2020/9/18,例15.2.1 解（续）,（4）因为在全序集中，对任意a, bL，都有a b或b a成立。 若a b成立，则a, b有最大下界为a，最小上界为b； 若b a成立，则a, b有最大下界为b，最小上界为a； 故是一个格。,2020/9/18,例15.2.2,判断哈斯图如下图所示的几个偏序集是否是格。,2

5、020/9/18,例15.2.2（续）,2020/9/18,例15.2.2（续）,分析 图 (h)中2元素子集g, h不存在最小上界，图 (i)中2元素子集e, f不存在最小上界，图 (j)中2元素子集e, f不存在最小上界，图 (k)中2元素子集a, b不存在最大下界，图 (l)中2元素子集d, e不存在最大下界，因此它们都不是格。 解 图 (a)至(g)中的偏序集都是格，图 (h)至(l)中的偏序集都不是格。,2020/9/18,定义15.2.2,设是具有两个二元运算的代数系统，如果运算和满足交换律、结合律和吸收律，则称为格。 把由代数系统定义的格称为代数格。,2020/9/18,例15.

6、2.3,设A是一个集合，P(A)是A的幂集，和分别是集合的交和并运算，试证明代数系统是一个格。 证明 由集合的运算性质知，交和并运算都满足交换律、结合律和吸收律，因此由定义15.2.2知，是一个格。,2020/9/18,定理15.2.1,偏序格与代数格是等价的。 证明 先证偏序格是代数格。 设是一个格，*和分别是L上的保交和保联。对任意a, bL，由最小上界和最大下界的惟一性知， a*b = b*a，ab = ba 即*和都满足交换律。,2020/9/18,定理15.2.1 证明（续）,对任意a, b, cL，因为(a*b)*c a*b b，(a*b)*c c，所以 (a*b)*c b*c 又

7、因为(a*b)*c a*b a，于是有 (a*b)*c a*(b*c) 同样有，a*(b*c) (a*b)*c。故 (a*b)*c = a*(b*c) 即*满足结合律。 同理可证，满足结合律。,2020/9/18,定理15.2.1 证明（续）,对任意a, bL，因为a a，a ab，所以 a a*(ab) 显然a*(ab) a，故 a*(ab) = a 同理可证，a (a*b) = a。 故*与满足吸收律。 综上，是一个格。,2020/9/18,定理15.2.1证明（续）,再证一个代数格是一个偏序格。 设代数系统一个格，在L上定义一种关系“ ”如下： 对任意a, bL，有 a b ab = a

8、(1) 分下面3步证明。 （1）证明 是偏序关系。 对任意aL，由吸收律有 aa = a(a(aa) = a 故a a，即关系 是自反的。,2020/9/18,定理15.2.1证明（续）,对任意a, bL，若a b，b a，有： ab = a，ab = b 所以a = b，即关系 是反对称的。 对任意a, b, cL，若a b，b c，有 ab = a, bc = b 由结合律知 ac = (ab)c = a(bc) = ab = a 所以a c，即关系 是传递的。 故 是偏序关系，即是偏序集。,2020/9/18,定理15.2.1 证明（续）,（2）证明：对任意a, bL，有 ab = a

9、ab = b 事实上，若有ab = a，则由吸收律 ab = (ab)b = b 反之，若ab = b，再由吸收律 ab = a(ab) = a 因此，a b ab = a ab = b。,2020/9/18,定理15.2.1证明（续）,（3）证明：对任意a, bL，a, b存在最大下界和最小上界。 由吸收律 a(ab) = a a ab b(ab) = b b ab 因此，ab是a, b的一个上界。 设cL是a, b的任意一个上界，即a c，b c，于是有 ac = c，bc = c,2020/9/18,定理15.2.1证明（续）,由结合律知 (ab)c = a(bc) = ac = c 故

10、有ab c，即ab是a, b的最小上界。 同理，ab是a, b的最大下界。 故是一个格。且有 a*b = ab， ab = ab,注意：偏序格与代数格等价，今后就不再区分偏序格与代数格了，而把它们统称为格。,2020/9/18,自然运算与自然偏序,任何偏序格都存在两个二元运算保交(*)和保联()，称之为格的自然运算； 代数格都可以得到一个偏序关系 ，称之为格的自然偏序。,2020/9/18,对偶格,对于集合L的任何偏序关系“ ”，其逆关系“”也是集合L上的偏序关系； 对L的任意子集T，T在偏序集中的最大下界和最小上界分别是中的最小上界和最大下界。 因此偏序集是格当且仅当是格，我们称此两个格为对

11、偶格； 格的保联运算与保交运算分别是对偶格的保交运算和保联运算。,2020/9/18,对偶原理,对于格的任何命题，将保联运算与保交运算分别换成对偶格的保交运算和保联运算，将命题中的“ ”换成对偶格中的“”，得到的一个关于对偶格中的命题，称这个命题为对偶命题。 容易证明，关于格的任何真命题，其对应的对偶命题在对偶格中也是真命题，把这个原理称为对偶原理。,2020/9/18,性质15.2.1,设是格，“”是“ ”的逆关系。则对任意a, b, c, dL，有 （1）自反性：a a；aa （2）反对称性：a b且b aa = b ab且ba a = b （3）传递性：ab且bc a c； ab且bc

12、ac （4）a*b a；aba a*b b；abb,2020/9/18,性质15.2.1（续）,（5）c a且c b c a*b； c a且c b c ab （6）交换律：a*b = b*a；ab = ba。 （7）结合律：(a*b)*c = a* (b*c)； (ab) c = a (bc) （8）吸收律：a* (ab) = a； a (a*b) = a （9）幂等律：a*a = a；aa = a （10）a b a*b = a ab = b,2020/9/18,性质15.2.1（续）,（11）a b且c da*c b*d； a b且c dac bd （12）保序性：a b a*c b*c；

13、 a b ac bc （13）分配不等式： a (b*c) (ab) * (ac)； a* (bc)(a*b) (a*c) （14）模不等式： a c a (b*c) (ab) *c,2020/9/18,性质15.2.1 证明,性质(1)、(2)、(3) (4)、(5)直接可得。 性质(6)、(7)、(8)由定理15.2.1的直接得到。 性质(9)由性质(8)得到：a*a = a*(a(a*a) = a，aa = a (a*(aa) = a。 性质(10)由最大下界和最小上界的定义直接得到。 性质(11)：因a*c a，a*c c，由假设a b，c d，利用传递性得a*c b，a*c d，由性

14、质(5)得a*c b*d；同理可证，ac bd。 性质(12)是性质(11)中c = d的特殊情况。,2020/9/18,性质15.2.1 证明（续）,性质(13)：因a*b a，ac a，所以 (ab) (ac) a 由于ab b，ac c，由性质11得 (ab) (ac) bc 故(ab) (ac) a (bc)，即 a(bc)(ab)(ac),2020/9/18,性质15.2.1 证明（续）,性质(14)： 必要性：若a c，则ac = c，由性质13得 a (bc) (ab)c 充分性：若a (bc) (ab) c，因 a a(bc)，(ab)c c 由传递性得a c。,2020/9/

15、18,定义15.2.3,设代数系统是一个格，S L，若S满足： （1）S； （2）运算和对子集S都是封闭的； 则称是的子格，简称S是L的子格。,2020/9/18,例15.2.4,在正整数集合Z+中规定、为：对任意a, bP， ab = a, b，其中a, b表示a, b的最小公倍数 ab = (a, b)，其中(a, b)表示a, b的最大公因数 则, 是Z+上的二元运算，且满足交换律、结合律、吸收律和等幂律，于是是一个格。S = 3k | kZ+Z+，试证明是的子格。,2020/9/18,例15.2.4 证明,显然S。因为对任意3m, 3nS，都有 3m3n = 3m, 3n = 3m,

16、nS， 3m3n = (3m, 3n) = 3(m, n)S 所以，是的子格。,2020/9/18,子格,定义15.2.4 设是一个格，S L，若S满足： （1）S； （2）对任意a, bS， 的保交和保联运算都有 ab = GLBa, bS， ab = LUBa, bS， 则称是的一个子格，简称S是L的子格。,2020/9/18,例15.2.5,在如下图 (a)所示的偏序格中，考虑如下子集：B1 = a, b, g, h，B2 = a, b, c, d，B3 = a, b, c, h ，问B1，B2，B3中那些是的子格？,2020/9/18,例15.2.5（续）,分析 显然B1，B2，B3都

17、是L的非空子集，B1是L的子格；B2的2元素子集b, c的最小上界e不在B2中，因此B2不是L的子格；B3的2元素子集b, c的最小上界e不在B3中，因此B3不是L的子格。 注意，偏序集的哈斯图如上图 (b)所示，因此是格。即存在子集关于偏序能构成格，但不是子格，主要原因是它们的保交或保联运算不一样。 解 B1是L的子格，B2, B3都不是L的子格。,2020/9/18,例15.2.5,设是一个格，aL，令S = x|xL, x a，则S是L的子格。 证明 因为a a，所以aS，即S是非空子集。 对任意x, yS，由x a，y a，可知 xy = GLBx, y a，即xy = GLBx, y

18、S xy = LUBx, y a，即xy = LUBx, yS 故S是L的子格。,2020/9/18,定义15.2.5,设和是两个格，f是L到S的映射。如果对任意x, yL，都有 f(xy) = f(x)* f(y)，f(xy) = f(x) f(y) 则称f为从格到格的格同态映射，简称格同态。 如果f是格同态，当f分别是单射、满射和双射时，f分别称为单一格同态、满格同态和格同构。,2020/9/18,定理15.2.3 (保序定理),设和是两个格，对应的偏序关系为 1、 2，则有： （1）如f：L1L2是格同态，则对任意a, bL1， a 1bf(a) 2f(b)； （2）如f：L1L2是格同

19、构，则对任意a, bL1， a 1b f(a) 2f(b)。 证明 （1）对任意a, bL1，若a 1b，则有 a*1b = a，由同态式知： f(a)*2f(b) = f(a*1b) = f(a) 所以f(a) 2f(b)。,2020/9/18,定理15.2.3（续）,（2）“”：若f是格同构，则f是格同态。由(1)知：对任意a, bL1， a 1b f(a) 2f(b)。 “”：对任意a, bL1，有 f(a) 2 f(b) f(a)*2f(b) = f(a) 于是，由同态式知 f(a*1b) = f(a)*2f(b) = f(a) 因f是单射，故有 a*1b = a 所以，a 1b。,2

20、020/9/18,例15.2.6,设是格，其中L = a, b, c, d, e，它的Hasse图如右图所示。也是一个格。作映射f：LP(L)，使得对任意xL，有 f(x) = yyL，y x 试证明：f是保序映射，但不是格同态。,2020/9/18,例15.2.6（续）,分析 要证明f是保序映射，必须验证：对任意x, yL，xy f(x) f(y)。而证明f不是格同态，只需要找到一对x, yL，使得 f(xy)f(x)f(y) 。 证明 容易验证f是保序映射。 对于b, dL，有bd = a，f(bd) = f(a) = L，而 f(b)f(d) = b, ed, e = b, d, e 所

21、以，f(bd)f(b)f(d)，即f不是格同态。,格同构,具有一、二、三个元素的格分别同构于一、二、三个元素的链。四个元素的格必同构于下图中a和b之一，五个元素的格必同构于下图中c、d、e、f和g之一。,2020/9/18,定义15.2.6,设是一个格，如果对任意a, b, cL，都有 a(bc) = (ab) (ac)， a(bc) = (ab) (ac)， 即运算满足分配律，则称是一个分配格。,2020/9/18,例15.2.7,（1）设A为任意一个集合，格是否是分配格？ （2）设P为命题公式集合，与分别是命题公式的合取与析取运算，格是否是分配格？ 解 （1）因集合的交、并运算满足分配律，

22、所以，格是一个分配格。 （2）因命题公式的析取、合取运算满足分配律，所以，格是分配格。,2020/9/18,定理15.2.4,所有链都是分配格。 证明 设是链，因此是格，任取a, b, cL，只有以下两种情况： （1）a是三者中最大的，即b a，c a； （2）a不是三者中最大的，即a b或a c。 在情况(1)中，bc a，故a (bc) = bc。显然，ab = b，ac = c。所以 a (bc) = bc = (ab) (ac)。,2020/9/18,定理15.2.4（续）,在情况(2)中，a bc，而ab = a或ac = a，从而(ab) (ac) = a，所以 (ab) (ac)

23、 = a = a (bc) 所以是分配格。,2020/9/18,例15.2.8,右图所示的两个格都不是分配格。 分析 由于链是分配格，因此在同一条链上的元素都满足分配等式，最有可能不满足分配等式的元素不在同一条链上。选取b, c, d来验证即可。,2020/9/18,例15.2.8（续）,解 取图中b, c, d三个元素验证。在图 (a)中， b (cd) = ba = b，而 (bc) (bd) = ee = e。 在图 (b)中， b (cd) = ba = b，而 (bc) (bd) = ed = d。 因此，在图 (a)和(b)中都有， b (cd)(bc) (bd) 故它们都不是分配

24、格。,2020/9/18,定理15.2.5,一个格是分配格的充分必要条件是该格中没有任何子格与图15.2.7（例15.2.8）中的两个五元素格中的任何一个同构。,2020/9/18,性质15.2.2,（1）四个元素以下的格都是分配格； （2）五个元素的格仅有两个格是非分配格(图15.2.8(a)和(b)，其余三个格(右图 (a), (b)和(c)都是分配格。,2020/9/18,定理15.2.6,设是分配格，对于任何a, x, yL，如果ax = ay且ax = ay，则x = y。 证明 x = x (ax)(吸收律) = x (ay)(已知ax = ay) = (xa) (xy)(分配律)

25、 = (ay) (xy)(已知ax = ay) = y (ax)(交换律，分配律) = y (ay)(已知ax = ay) = y(吸收律),2020/9/18,定义15.2.7,设是格，如果对任意a, b, cL，有 a b a (bc) = b (ac) 或(模律) a b a (bc) = b (ac) 则称为模格，也称为戴德金格,2020/9/18,定理15.2.7,分配格是模格。 证明 设是分配格，对任意a, b, cL，如果a b，那么ab = b，由分配律得 a (bc) = (ab)(ac) = b(ac) 故是模格。,2020/9/18,性质13.2.3,（1)每一个链格都是

26、模格； （2）四个元素以下的格都是模格； （3）五个元素的格仅有一个格不是模格(图15.2.7(b)，其余四个格(图15.2.7(a), 图15.2.8(a), (b)和(c)都是模格。,2020/9/18,定义15.2.8,设是一个格，若存在元素aL，使得对任意xL，都有： a x(或x a)， 则称a为格的全下界(或全上界)，分别记为0(或1)，具有全上界和全下界的格称为有界格。 显然，对任意xL，有 1x = x1 = x(幺元)，1x = x1 = 1(零元) 0 x = x0 = 0(零元)，0 x = x0 = x(幺元),例,如下三个都是有界格。,2020/9/18,有限格与有界

27、格,若是有限格，设L = a1, a2, , an，由于运算“”和“”满足结合律，所以有 (a1a2)an) = a1a2an (a1a2)an) = a1a2an 此时， a1a2an和a1a2an分别是格L的全下界和全上界，即有 a1a2an = 0 a1a2an = 1 所以，有限格一定是有界格。,2020/9/18,定理15.2.8,在格中，全下界和全上界分别是集合L的最小元和最大元，由于最大元和最小元的惟一性，有下面的定理： 定理15.2.8 设是一个格，若格的全上界和全下界存在，则必惟一。,2020/9/18,定义15.2.9,设为有界格，1和0分别为它的全上界和全下界，aL。如果

28、存在bL，使得 ab = 0，ab = 1， 则称b为a的补元，记为a。若有界格中的所有元素都存在补元，则称为有补格。,2020/9/18,例15.2.9,如下图有界格，求其所有元素的补元(如果有的话)。,2020/9/18,例15.2.9（续）,解 对于图a 0 = 1，1 = 0， a,b互补，b,c互补 a，e互补。d无补元。 对于图b 0 = 1，1 = 0， a = b，a = d， b = a，b = c， c = b，c = d， d = a，d = c 则图a不是有补格，图b是有补格。,2020/9/18,定理15.2.9,在有界分配格(既是有界格又是分配格，简称为有界分配格)

29、中，如元素aL有补元存在，则此元素的补元必惟一。 证明 设a有两个补元b和c，由补元的定义知 ab = 0 = ac，ab = 1 = ac 由定理15.2.6知，b = c。 推论15.2.1 在有补分配格(既是有补格又是分配格，简称为有补分配格)中，每个元素都存在惟一的补元。,2020/9/18,定理15.2.10,设是有补分配格，“ ”是该格的自然偏序，则对任意a, bL，都有 （1）(a) = a；(对合律) （2）(ab ) = a b ， (ab) = ab； (De Morgan律) （3）a b b a； （4）a b ab = 0 ab = 1。,2020/9/18,定理15

30、.2.10（续）,证明 （1）因a是a的补元，反过来，a也是a的补元，由推论15.2.1得，(a) = a。 （2）因为 (ab) (ab) = (ab) a) (ab) b)(分配律) = (aa)b) (a (bb)(交换律，结合律) = (0b) (a0) = 00 = 0,2020/9/18,定理15.2.10（续）,(ab) (ab) = (a (ab) * (b (ab)(分配律) = (aa) b) * (a (bb)(交换律，结合律) = (1b) (a1) = 11 = 1 所以， ab是ab的补元，由补元的惟一性得，(ab) = ab。 同理可证，(ab) = ab。,20

31、20/9/18,定理15.2.10（续）,（3）“”，由a b，可得ab = a，则有 (ab) = a 由De Morgan律(即(2)，有 ab = a ，即是 b a “”，上述过程可逆，故成立。 （4）“”由a b，根据(3)，有 b a则 ab aa = 0，即是,2020/9/18,定理15.2.10（续）,ab 0， 又0是全下界，有 0 ab 则根据偏序关系“ ”的反对称性，有 ab = 0， 对上式使用De Morgan律，自然有 ab = 1,2020/9/18,定理15.2.10（续）,“”如果ab = 1，由De Morgan律，有 ab = 0，则有 a(ab) =

32、a0 = a 对上式的左边使用分配律，可得 a(ab) = (aa) (ab) = 1 (ab) = ab 即是 ab = a，所以有 b a，由(3)可得 a b。,2020/9/18,定义15.3.1,称有补分配格为布尔格。 在有补分配格中每个元都有补元而且补元惟一，可以将求元素的补元作为一种一元运算，则此布尔格可记为，此时，称为布尔代数。因此有： 定义15.3.2 一个布尔格称为布尔代数。若一个布尔代数的元素个数是有限的，则称此布尔代数为有限布尔代数，否则称为无限布尔代数。,2020/9/18,布尔代数,布尔代数是有补分配格，有补分配格必须满足它是格、有全上界和全下界、分配律成立、每个元

33、素都有补元存在。显然，全上界1和全下界0可以用下面的同一律来描述： 同一律： 在L中存在两个元素0和1，使得对任意aL，有 a1 = a，a0 = a。,2020/9/18,布尔代数,补元的存在可以用下面的互补律来描述。 互补律：对任意aL，存在aL，使得 aa = 0，aa = 1。 格可以用交换律、结合律、吸收律来描述。 因此，一个有补分配格就必须满足交换律、结合律、吸收律、分配律、同一律、互补律。 另外，可以证明，由交换律、分配律、同一律、互补律可以得到结合律、吸收律。所以布尔代数有下面的等价定义：,2020/9/18,定义15.2.3,设是代数系统，其中、是B中的二元运算，如果对任意a, b, cB，满足 （1）交换律：ab = ba，ab = ba； （2）分配律：a (bc) = (ab) (ac)， a