高中数学 2.3.1平面微量的基本定理教学设计 新人教A版必修

1、231平面向量的基本定理教学目标1通过探究活动，能推导并理解平面向量基本定理2掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达3了解向量的夹角与垂直的概念，并能应用于平面向量的正交分解中，会把向量正交分解，会用坐标表示向量教学重点平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示教学难点平面向量基本定理的运用教学过程一、新课导入复习：1数乘定义：一般地，规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a,其长度和方向规定如下：(1)|a|_；(

2、2)当0时，a与a_；当0时，a与a_；当0时，a_2运算律：(1)(a)_；(2)()a_；(3)(ab)_；(4)(1a2b)_3向量a（a0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使_思路1：在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2我们知道飞机在起飞时若沿仰角的方向起飞的速度为v，可分解为沿水平方向的速度vcos和沿竖直方向的速度

3、vsin从这两个实例可以看出，把一个向量分解到两个不同的方向，特别是作正交分解，即在两个互相垂直的方向上进行分解，是解决问题的一种十分重要的手段如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，那么a与e1、e2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底，是否会给我们带来更方便的研究呢?思路2：前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义，如果将平面内向量的始点放在一起，那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就

4、引进了平面向量基本定理教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成，在黑板上给出图象进行演示和讲解如果条件允许，用多媒体教学，通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解，对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？二、新课导学【探究1】平面向量基本定理给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量3e12e2、e12e2平面内的任一向量是否都可以用形如1e12e2的向量表示呢?如图1，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系如图，在平面内任取一点O，作=e1，=e2，=a过点C作平行于直线OB的直线

5、，与直线OA；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N由向量的线性运算性质可知，存在实数1、2，使得=1e1，=2e2由于，所以a=1e1+2e2也就是说，任一向量a都可以表示成1e1+2e2的形式由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来当e1、e2确定后，任意一个向量都可以由这两个向量量化，这为我们研究问题带来极大的方便由此可得：平面向量基本定理：新知1：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e1+2e2我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底特别

6、提醒：基底不唯一，关键是不共线；由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；基底给定时，分解形式唯一【探究2】向量的夹角不共线的向量有不同的方向，它们的位置可利用夹角来描述，因此须清楚下面两个问题：平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？新知2：如图，已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则AOB=(0180)叫做向量a与b的夹角特别地：（1）当0时，a与b同向；当180时，a与b反向因此，两非零向量的夹角在区间0，180内（2）如果a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作ab特别提醒：（1

7、）由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量1a1和2a2，使a1a12a2（2）在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解如上，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形（3）在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便例1如图4，ABCD的两条对角线相交于点M，且a，b，试用a、b表示、解：在ABCD中，=+=a+b，=a-b，又平行四边形的两条对角线互相平分，=(a+b)=ab，=(ab)=ab，=ab，ab点评：结合向量加法和减法的平行四边形法

8、则和三角形法则，将两个向量的和或差表示出来，这是解决这类几何题的关键变式训练：如图，平行四边形ABCD中，a,b,H、M是AD、DC之中点，F使BFBC,以a、b为基底分解向量与.解析：由H、M、F所在位置有：ba,ab.例2已知非零向量e1, e2不共线，欲使k e1 e2与e1k e2共线，试确定实数k的值.解：k e1 e2与e1k e2，存在l，使k e1 e2l (e1k e2)，则 (kl) e1(lk1) e2,由于e1与e2不共线，k1.变式训练：是平面内不共线两向量，已知，若三点共线，则的值是（）A2BCD解析：考查共线向量的定义和平面向量基本定理的运用，又ABD三点共线，则

9、即，故选例3如图，O是三角形ABC内一点，PQBC，且t,a,b,c,求与.分析：由平面几何知识可得APQABC,且对应边的比为t,t,转化向量的关系为：t,t,又由于已知未知向量均以原点O为起点，所以把有关向量都用以原点O为起点的向量来表示，是解决问题的途径所在.解：PQBC，且t,有APQABC,且对应边比为t(),即t,转化为向量的关系有：t,t,又由于：,t()at(ba)(1t)atb.t()t(ca)a(1t)atc.三、总结提升1平面向量的基本定理2向量的夹角四、课后作业1已知向量e1，e2是平面a内所有向量的一组基底，且ae1e2，b3e12e2，c2e13e2，若clamb,(其中l，mR)，试求l，m的值.答案：l，m2已知向量e1e2不共线，（1）若e1e2，2e18e2，3e13e2，求证：ABD三点共线；（2）若向量e1e2与e1e2共线，求实数的值答案：13e1与e2是两个不共线的向量，有2e1ke2，e13e2，2e1e2，若A、B、D三点共线，求k的值.8