高中数学 第二章 解析几何初步 2.1 直线与直线的方程 2.1.4 两条直线的交点学案 北师大版必修

1、1.4两条直线的交点1.学会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.(重点)2.理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系.(难点)基础初探教材整理两条直线的交点阅读教材P72“练习”以下至P73“例13”以上部分，完成下列问题.已知两条不重合的直线l1：A1xB1yC10；l2：A2xB2yC20.1.若点P(x0，y0)是l1与l2的交点，则.2.若两直线方程组成的方程组有唯一解则两条直线相交，交点坐标为(x0，y0).因此求两条直线的交点，就是求这两条直线方程的公共解.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两条直线不相交就平行.()(2)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的

2、二元一次方程组的解.()(3)两直线平行，则由两直线方程组成的方程组无解.()(4)若两直线重合，则由两直线方程组成的方程组有无数组解.()【答案】(1)(2)(3)(4)小组合作型两直线的交点问题直线ax2y80，x3y40和5x2y60相交于一点，求a的值.【精彩点拨】解答本题可先解出两已知直线的交点坐标，然后代入ax2y80，求出a的值.【自主解答】解方程组得直线x3y40和5x2y60的交点坐标为(2,2)，代入直线方程ax2y80，得2a480，a6.解答本题充分利用了直线相交与联立直线方程所得方程组之间的关系，以及直线上的点的坐标与直线的方程之间的关系，掌握并理解这些关系是解此类问

3、题的基础.再练一题1.两条直线2x3yk0和xky120的交点在直线yx上，那么k的值是()A.4 B.3C.3或4 D.4【解析】法一：由两条直线相交，得k，联立得即两直线的交点为.又该交点在直线yx上，所以，解得k3或k4，故选C.法二：联立得依题意，点(k，k)在直线xky120上，所以kk2120，解得k3或4.【答案】C过两条直线交点的直线方程 求过直线l1：3x2y70与l2：xy10的交点，且平行于直线5xy30的直线方程. 【导学号：】【精彩点拨】方法一：求出两直线3x2y70和xy10的交点坐标，由平行关系得到l的斜率，利用点斜式方程求解.方法二：利用过相交直线交点的直线系方

4、程设出所求出方程，利用平行关系求解.【自主解答】法一：由得又所求直线与直线5xy30平行，所以斜率k5，由点斜式得y25(x1)，即5xy30.法二：设所求直线方程为3x2y7(xy1)0，即(3)x(2)y70.直线与5xy30平行，(3)5(2)，解得，所求直线为3x2y7(xy1)0，即5xy30.1.本题的方法一是基本方法，求解交点坐标和斜率是解题关键.2.经过两直线交点的直线系方程：与直线AxByC0平行的直线系方程为AxByC0(CC)；与直线AxByC0垂直的直线系方程为BxAyC0；过两直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为1(A1xB1yC

5、1)2(A2xB2yC2)0(1，2为参数).当11，20时，方程即为l1；当10，21时，方程即为l2.再练一题2.求经过两直线l1：3x4y20和l2：2xy20的交点且过坐标原点的直线l的方程.【解】法一：由方程组解得即l1与l2的交点坐标为(2,2).直线过坐标原点，所以其斜率k1，直线方程为yx，一般式为xy0.法二：l2不过原点，可设l的方程为3x4y2(2xy2)0(R)，即(32)x(4)y220，将原点坐标(0,0)代入上式解得1，l的方程为5x5y0，即xy0.探究共研型两直线交点的综合应用探究1已知点P(1,0)，Q(1,0)，直线y2xb与线段PQ相交，试确定b的取值范

6、围.【提示】点P，Q所在直线的方程为y0，由得交点，由11，得2b2.探究2尝试用两种方法证明：不论m取什么实数，直线(2m1)x(m3)y(m11)0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标.【提示】法一：对于方程(2m1)x(m3)y(m11)0，令m0，得x3y110；令m1，得x4y100，解方程组得两直线的交点为(2，3).将点(2，3)代入已知直线方程左边，得(2m1)2(m3)(3)(m11)4m23m9m110.这表明不论m为什么实数，所给直线均经过定点(2，3).法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2xy1)m(x3y11)0.由于m取值的任意性，有解得x2，y3.所以所给的直

7、线不论m取什么实数，都经过一个定点(2，3).已知三条直线l1：4xy40，l2：mxy0及l3：2x3my40，求m的值，使l1，l2，l3三条直线不能围成三角形. 【导学号：】【精彩点拨】要使三条直线不能围成三角形，必须使它们交于一点存在两条直线平行.【自主解答】(1)若l1，l2，l3三条直线交于一点.显然m4，若m4，则l1l2.由，得l1，l2的交点坐标为.代入l3的方程得3m40，解得m1或m，当m1或m时，l1，l2，l3交于一点.(2)若l1l2，则m4，若l1l3，则m，若l2l3，则m.(3)综上知：m1或m或m4或m.将几何条件转化为代数问题是解决本题的关键，在分类讨论时

8、，不能遗漏.再练一题3.平行四边形的两邻边所在直线的方程是xy10和3xy40，对角线的交点是O(3,3)，求另外两边的方程.【解】建立如图所示的直角坐标系， 根据得顶点为A.因为O是对角线AC的中点，且O为(3,3)，所以顶点C的坐标为.由xy10知，kAB1，所以kCD1，由点斜式得直线CD的方程为y，即xy130.因为kAD3，所以kBC3，由点斜式得直线BC的方程为y3，即3xy160.1.直线2xy7与直线3x2y70的交点坐标是()A.(3，1)B.(1,3)C.(3，1)D.(3,1)【解析】联立两直线的方程，得解得即交点为(3，1)，故选A.【答案】A2.直线ax2y80,4x

9、3y10和2xy10相交于一点，则a的值为()A.1B.1C.2D.2【解析】首先联立解得交点坐标为(4，2)，代入方程ax2y80得a1.【答案】B3.当a取不同实数时，直线(2a)x(a1)y3a0恒过一个定点，这个定点的坐标为_.【解析】直线方程可写成a(xy3)2xy0，则该直线系必过直线xy30与直线2xy0的交点，即(1，2).【答案】(1，2)4.斜率为2，且与直线2xy40的交点在y轴上的直线方程为_. 【导学号：】【解析】直线2xy40与y轴的交点为(0,4).又直线的斜率为2，所求直线方程为y42(x0)，即2xy40.【答案】2xy405.已知直线l1：x2y40，l2：xy20，设其交点为P.(1)求交点P的坐标；(2)设直线l3：3x4y50，分别求过点P且与直线l3平行及垂直的直线方程.【解】(1)直线l1：x2y40与直线l2：xy20的交点为