高中数学 第二章 函数 2.4.1 函数的零点学案 新人教B版必修

1、2.4.1函数的零点学习目标1.理解函数零点的概念.2.会求一次函数、二次函数的零点.3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系.知识链接考查下列一元二次方程与对应的二次函数：(1)方程x22x30与函数yx22x3；(2)方程x22x10与函数yx22x1；(3)方程x22x30与函数yx22x3.请列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标.答案方程x22x30x22x10x22x30函数yx22x3yx22x1yx22x3函数的图象方程的实数根x11，x23x1x21无实数根函数的图象与x轴的交点(1,0)，(3,0)(1,0)无交点预习导引1.函数

2、的零点(1)定义：一般地，如果函数yf(x)在实数处的值等于零，即f()0，则叫做这个函数的零点.(2)性质当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号.两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号.2.二次函数零点与二次方程实根个数的关系判别式yax2bxc(a0)ax2bxc0(a0)0两个零点：x两不等实根：x0一个二重零点：x两相等实根：x0无零点无实根要点一求函数的零点例1求下列函数的零点：(1)f(x)x22x3；(2)f(x)x41.解(1)f(x)x22x3(x3)(x1)，方程x22x30的两根分别是3和1.故函数的零点是3,1.(2)f(x)x41(x21)(x

3、1)(x1)，方程x410的实数根是1和1.函数的零点为1.规律方法函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)0，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.跟踪演练1求函数y(ax1)(x2)的零点.解(1)当a0时，令y0得x2；(2)当a0时，令y0得，x或x2.当a时，函数的零点为2；当a时，函数的零点为，2.综上所述：(1)当a0或时，零点为2；(2)当a0且a时，零点为，2.要点二函数零点个数的判断例2若函数f(x)ax2x1仅有一个零点，求实数a的取值范围. 解若a0，则f(x)x1为

4、一次函数，易知函数仅有一个零点；若a0，则函数f(x)为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax2x10仅有一个实数根(也可说成有两个相等的实数根)，故判别式14a0，a.综上，当a0或a时，函数仅有一个零点.规律方法判断或求形如函数yax2bxc的零点时，首先对a分a0和a0两种情况讨论，然后对a0的情况，利用判别式法判别相应一元二次方程根的情况，即可判断函数零点的情况.跟踪演练2判断下列函数的零点个数：(1)f(x)x27x12；(2)f(x)x2.解(1)由f(x)0即x27x120，得4941210，方程x27x120有两个不等的实数根.函数f(x)有两个零点.(2)方法一由x20得x2

5、，令h(x)x2(x0)，g(x)，在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象知两图象只有一个交点，故函数有一个零点.方法二令f(x)0得x20即x310(x0)，x1，即方程只有一个根.函数有一个零点.要点三函数零点性质的应用例3已知关于x的二次方程ax22(a1)xa10有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的取值范围.解令f(x)ax22(a1)xa1，依题意知，函数f(x)有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.f(x)的大致图象如图所示：则a应满足或即或解得0a5，a的取值范围为(0,5).规律方法解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间

6、端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解.当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论.跟踪演练3已知关于x的二次方程x22mx2m10.若方程有两根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围.解由已知抛物线f(x)x22mx2m1的图象与x轴的交点分别在区间(1,0)和(1,2)内，画出示意图，得m，故m的取值范围是(，).1.函数yx24的图象与x轴的交点坐标及其函数的零点分别是()A.(0，2)；2 B.(2,0)；2C.(0，2)；2 D.(2,0)；2答案B解析令x240，得x2，故交点坐标为(2,0)，所以函数的零点为2.2.若函数f(x)在定义域R上的图象

7、是连续的，图象穿过区间(0,4)，且方程f(x)0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)f(4)的值()A.大于0 B.小于0C.等于0 D.无法判断答案B解析由题意可知，函数在零点左边和右边的函数值是异号的，所以f(0)f(4)0.3.如果二次函数yx2mxm3有两个不同的零点，则m的取值范围是()A.(2,6)B.2,6C.(，2)(6，)D.2,6答案C解析由题意，得m24(m3)0，即m24m120，m6或m2.4.函数f(x)x的零点个数为()A.0 B.1 C.2 D.无数个答案C解析f(x)，得x12，x22，即函数有2个零点.5.若函数f(x)x2axb的零点是2和4，则a_，b_.答案28解析2，4是函数f(x)的零点，f(2)0，f(4)0，即解得1.函数是否有零点是针对相应方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点.反映在图象上就是函数图象与x轴无交点，如函数y1或yx21就没有零点.2.判断函数的