八年级数学暑假作业第12天最短路径问题新人教版

1、第12天 最短路径问题典例在线如图，草原上两个居民点A、B在河流l的同旁，一汽车从A出发到B，途中需要到河边加水汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？在图上画出该点【参考答案】作A关于l的对称点A，连AB交l于C点，则C为所求的点 如图所示：汽车在C点加水，可使行驶的路程最短【试题解析】作A关于直线l的对称点A；连接AB交直线l于点C，则点C即为所求点汽车在C点加水，可使行驶的路程最短【解题必备】1解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，利用平移把“折”转“直”，利用平面展开图把“折”转“直”2理论依据：两点之间线段最短，垂线段最短，点关于线对称，线段的平移，立体图形展开图3最短路径

2、常见问题解决方法：（1）运用轴对称解决距离最短问题：利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离基本思路是运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同注意：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质，利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问（2）利用平移确定最短路径选址：通过平移，除去固定部分的长，使其余几段的和正好为两定点之间的距离选

3、址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上当两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，当两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题（3）利用展开图求立体图形表面上小虫爬行的最短路线问题：通过展开立体图形的表面或侧面，化立体为平面，化曲线或折线为直线，利用两点之间线段最短解决问题（4）长方体问题：将右侧面展开与下底面在同

4、一平面内，求得其路程；将前表面展开与上表面在同一平面内，求得其路程；将上表面展开与左侧面在同一平面内，求得其路程然后进行比较大小，即可得到最短路程（5）在圆锥中，可将其侧面展开求出最短路程试题推荐1已知直线l同旁的两点A、B，在l上求一点P，使PAPB最小，则求P点的作法正确的为A作A关于l的对称点A，连接AB交与PBAB的延长线与l交于PC作A关于l的对称点A，连接AA交与PD以上都不对2如图，正ABC的边长为2，过点B的直线lAB，且ABC与ABC关于直线l对称，D为直线l上一动点，则AD+CD的最小值是A4B3C2D2+3如图，AOB=30，AOB内有一定点P，且OP=10在OA上有一点

5、Q，OB上有一点R若PQR周长最小，则最小周长是A10B15C20D304如图，在锐角ABC中，AB=6，BAC=60，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是A3BCD65知MON=40，P为MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当PAB的周长取最小值时，求APB的度数参考答案1A【解析】首先找出其中一点关于直线的对称点，然后连接对称点和另一个点与直线的交点就是点P的位置2C【解析】连接CC，连接AC交l于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，如图所示ABC与ABC为正三角形，且ABC与ABC关于直线l对称，四边形CBAC为边长为2的菱形

6、，且BAC=60，AD+CD=AD+CD=AC=2AB=2 OA是PE的垂直平分线，EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分线，FR=RP，PQR的周长为EFOE=OF=OP=10，且EOF=EOP+POF=2+2（30）=60，EOF是正三角形，EF=10，即在OP=10的条件下，PQR的最小周长为10故选A4B【解析】在AC上取一点E，使得AE=AB，过E作ENAB于N，交AD于M，连接BM，BE，BE交AD于O，则BM+MN最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），AD平分CAB，AE=AB，EO=OB，ADBE，AD是BE的垂直平分线（三线合一），E和B关于直线AD对称，EM=BM，即BM+MN=EM+MN=EN，ENAB，ENA=90，CAB=60，AEN=30，AE=AB=6，AN=AE=3，EN=，即B