空间向量作业

1、3.1空间向量作业一、选择题1.下列命题是真命题的是()(A)分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是不共面向量(B)若|a|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反(C)若向量，满足|，且与同向，则 (D)若两个非零向量与满足，则解析：空间任意两个向量都是共面向量，故A假；若|a|b|，则a与b的模相等，方向不确定，故B假；两个向量不能比较大小，故C假；，故D真2.在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；已知空间的三个向量a，b，c，则对于空

2、间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc.其中正确命题的个数是()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析：a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故不正确；据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为pxaybzc，故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.3 下列各组向量中不平行的是（ ）A B C D 解： D 而零向量与任何向量都平行4 已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（ ）A B C D 解： A 关于某轴对称，则某坐标不变，

3、其余全部改变5 若向量，且与的夹角余弦为，则等于（ ）A B C 或 D 或解：C 6 空间四边形中，则的值是（ ）A B C D D解：7.已知向量a=（8,）, b=（,1,2）,其中0,若ab,则的值为（）.(A)8 (B)4 (C)2 (D)0解析：ab且x0存在实数0使ab(8，x)(x，2).故选B.8.顶点分别为（1,-1,2）,（5,-6,2）,（1,3,-1）则边上的高等于（ ）.(A)5 (B) (C)4 (D)2解析：设，又(0,4，3)则(0,4，3)(4，5,0)，(4,45，3)，由0，得，(4，)，|5.故选A.9已知空间四点A(4,1,3)，B(2,3,1)，C

4、(3,7，5)，D(x，1,3)共面，则x的值为()A4 B1 C10D11解析(2,2，2)，(1,6，8)，(x4，2,0)，A、B、C、D共面，、共面，存在、，使，即(x4，2,0)(2，26，28)，.10以下四个命题中正确的是()A空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B若a，b，c为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量CABC为直角三角形的充要条件是0D任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底解析使用排除法因为空间中的任何一个向量都可用其它三个不共面的向量来表示，故A不正确；ABC为直角三角形并不一定是0，可能是0，也可能是0，C不正确；空间向量基底是由三个不共面的

5、向量组成的，D不正确，故选B.11长方体ABCDA1B1C1D1中，若3i，2j，5k，则()AijkB.ijkC3i2j5k D3i2j5k答案C12给出下列命题：若a，b，c可以作为空间的一个基底，d与c共线，d0，则a，b，d也可作为空间的基底；已知向量ab，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；A，B，M，N是空间四点，若，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；已知向量组a，b，c是空间的一个基底，若mac，则a，b，m也是空间的一个基底其中正确命题的个数是()A1B2C3D4解析根据基底的概念，空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个

6、基底显然正确，中由、共面且过相同点B，故A、B、M、N共面下面证明正确假设d与a、b共面，则存在实数，使dab，d与c共线，c0，存在实数k，使dkc，d0，k0，从而cab，c与a、b共面与条件矛盾d与a，b不共面同理可证也是正确的答案D13已知向量a，b，c是空间的一个基底，pab，qab，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是()Aa BbCc D无法确定 解析apq，a与p、q共面，bpq，b与p、q共面，不存在、，使cpq，c与p、q不共面，故c，p，q可作为空间的一个基底，故选C.14给出下列两个命题：如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；

7、O，A，B，C为空间四点，且向量， ，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面其中正确的命题是()A仅 B仅C D都不正确 解析对空间任意向量c，都有c与a、b共面，则必有a与b共线，错；、不能构成空间的基底，、必共面，故存在实数，使，O、A、B、C四点共面，正确答案B15已知i、j、k是空间直角坐标系Oxyz的坐标向量，并且ijk，则B点的坐标为()A(1,1，1) B(i，j，k)C(1，1，1) D不确定 解析向量的坐标与B点的坐标不同答案D16设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG3GG1，若xyz，则(x，y，z)为()A. B.C. D. 解析

8、连AG1交BC于E，则E为BC中点，()(2)，(2)，33()，OGOG1，()()，故选A. 答案A17如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有()Aa与b共线 Ba与b同向 Ca与b反向 Da与b共面 解析由定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，B，C都是A的一种情况空间中任两个向量都是共面的，故D错答案A18对于空间的四个向量a，b，c，d最多能构成的基底个数是()A1 B2 C3 D4 解析最多的情况是a，b，c，d中任两个不共线，任三个不共面，从中任选三个都可做一组基底，共4个答案D19在平行六面体ABCDABCD中，与向量相等的向量(不含)的个数是()A1个B

9、2个C3个D4个 解析利用向量相等的定义求解答案C20对空间任一点O和不共线三点A、B、C，能得到P、A、B、C四点共面的是()A. B.C. D以上皆错 解析解法一：1，选B.解法二：，3，()()，P、A、B、C共面答案B21如图所示，空间四边形OABC中，a，b，c, 点M在OA上，且2，N为BC中点，则等于()A.abc B abcC.a bc D.abc 解析()(bc)aabc.应选B. 答案B22.列命题：当R，且a1a2an0时，a1a2an0；当1，2，nR，且12n0时，1a2ana0；当1，2，nR，且12n0时，a1，a2，an是n个向量，且a1a2，an0，则1a12

10、a2nan0.其中真命题有()A0个B1个C2个D3个 解析由于a1a2an(a1a2an)00，故命题为真命题由于1a2ana(12n)a0a0，故命题也为真命题命题为假命题，例如当n2时，取11，21，a1a(a0)，a2a，则1a12a2a(1)(a)2a0，但此时有120，a1a20，命题不成立答案C二、填空题（每小题7分，共4小题，共28分）1 . 已知向量若则实数_，_ 解： 2已知3 a -2=(-2,0,4),=(-2,1,2), a=2,| |=4,则,=_.解析：(3 a -2)=(-2,0,4)(-2，1，2)=12，即3 a-2=12.由a=2,得=-3.又|=3,|

11、|=4,=-.3已知A(1，0，0),B(0，-1，1)，+与的夹角为120,则的值为 .解析：+=(1,0,0)+ (0,-1,1)=(1,- ,),+与的夹角,(1,)(0,1,1)=(), 2=,=.4 已知a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值为_ 解析：ba(1t,2t1,0)，|ba|，当t时，|ba|取得最小值为.5已知a，b，c不共面，且m3a2bc，nx(ab)y(bc)2(ca)，若mn，则xy_.答案4解析a、b、c不共面，mn，.6已知向量p在基底a，b，c下的坐标为(2,1，1)，则p在基底ab，ab，c下的坐标为_，在基底2a，b，c下的坐标为_

12、答案(，1)(1,1,1)解析由条件p2abc.设p在基底ab，ab，c下的坐标为(x，y，z)，则px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc，a、b、c不共面，.即p在基底ab，ab，c下的坐标为(，1)，同理可求p在基底2a，b，c下的坐标为(1,1,1)7.2010商丘高二检测)在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_.答案abc8三棱锥PABC中，ABC为直角，PB平面ABC，ABBCPB1，M为PC的中点，N为AC中点，以，为基底，则的坐标为_答案(，0，)解析()()，即9已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则_.答案a2解析|cos，

13、aacos60a2.10已知在空间四边形OABC中，OABC，OBAC，则_.答案0解析()()|2|20.11如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且PMMC21，N为PD中点，则满足xyz的实数x_，y_，z_. 解析在PD上取一点F，使PFFD21，连结MF，则()xyz. 答案12在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，若x2y3z，则xyz_.解析在进行空间向量的线性表示时，一定要与所求一致，才不至于犯错如图所示，有(1).又x2y3z，x2y3z(1)，有解得xyz1.答案三、解答题1如图，在正方体ABCDABCD中，

14、点E是上底面ABCD的中心，求下列各式中的x、y、z的值：(1)xyz.(2)xy z.解析(1)又xyzx1，y1，z1.(2)()，又xyz.x，y，z1.2已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PAAD1.选取恰当的基底求向量、的坐标解析如图所示，因为PAADAB1，且PA平面ABCD，ADAB，所以可设e1，e2，e3.以e1，e2，e3为基底则()e2e3(e3e1e2)e1e3，e2，(0,1,0)3如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，N在AC上，且ANNC21，求证：与、共面解析，()()()().与，共面4已知i、j、

15、k是不共面向量，ai2jk，bi3j2k，c3i7j，证明这三个向量共面解析设abc，则i2jk(3)i(37)j2k，i，j，k不共面，故存在实数，使abc，故a，b，c共面5已知三个向量a，b，c不共面，并且pabc，q2a3b5c，r7a18b22c，向量p，q，r是否共面？解析假设存在实数，使pqr，则abc(27)a(318)b(522)c，a，b，c不共面，即存在实数，使pqr，故p、q、r共面6.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD2，AB1，BMPD于点M.(1)求证：AMPD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值【答案】(1)证明

16、：PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.ABAD，ADPAA，AD平面PAD，PA平面PAD，AB平面PAD.PD平面PAD，ABPD，BMPD，ABBMB，AB平面ABM，BM平面ABM，PD平面ABM.AM平面ABM，AMPD. (2)如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，M(0，1,1)(1,2,0)，(0,1,1)，(1,0,0)设平面ACM的一个法向量为n(x，y，z)，由n，n可得令z1，得x2，y1.n(2，1,1)设直线CD与平面ACM所成的角为，则sincos

17、直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为7如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900.(1）求证：PCBC； (2）求点A到平面PBC的距离.【答案】（）因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC.由BCD=900，得CDBC，又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC平面PCD.因为PC平面PCD，故PCBC.(）如图所示，建立空间直角坐标系Cxvz，则设面PCD的法向量为，由得，所以. 从而故点A到平面PBC的距离等于.8如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PBC底面ABCD，且PBPC(1)求证：ABCP；(2)求点B到平面PAD的距离；(3)设面PAD与面PBC的交线为l，求二面角AlB的大小【答案】