高二数学平面向量与解析几何的综合 人教版

1、专题复习二高二数学平面向量与解析几何的综合本周教学重、难点：1. 重点： 平面向量的基本知识，圆锥曲线的基本知识。2. 难点：平面向量与解析几何的内在联系和知识综合，向量作为解决问题的一种工具的应用意识。【典型例题】例1 如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，求双曲线的离心率.解：如图，以AB的垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则轴，因为双曲线经过点C、D且以AB为焦点，由对称性知C、D关于轴对称设A（）C（）B（），为梯形的高 设双曲线为 则 由C、E在双曲线上 由（1）：（3）将（3）代入（2）： 例2 如图，已知梯形AB

2、CD中，点E满足，双曲线过C、D、E三点且以A、B为焦点，当时，求离心率的取值范围。解：以AB的垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则轴。因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性，知C、D关于轴对称。依题意，记A（）、C（）、E（），其中为双曲线的半焦距，是梯形的高。由，即得设双曲线的方程为，则离心率由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线的方程，得由（1）式，得 （3）将（3）式代入（2）式，整理，得故，依题设，得解得所以，双曲线的离心率的取值范围为例3 在以O为原点的直角坐标系中，点A（）为的直角顶点，已知，且点B的纵坐标大于零，（1）求的坐标；（2）

3、求圆关于直线OB对称的圆的方程。（3）是否存在实数，使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由，若存在，求的取值范围。解：（1）设，则由，即，得或 因为所以，得，故 （2）由，得B（10，5），于是直线OB方程：由条件可知圆的标准方程为：得圆心（），半径为设圆心（）关于直线OB的对称点为（）则得，故所求圆的方程为（3）设P（），Q（）为抛物线上关于直线OB对称的两点，则 得即、为方程的两个相异实根，于是由，得故当时，抛物线上总有关于直线OB对称的两点。（3）方法二：设P（）Q（），PQ的中点M（） （1） （2）（1）（2）： 代入得 直线PQ的方程为 例4 已知常数，经过原点

4、O以为方向向量的直线与经过定点A（）以方向向量的直线相交于点P，其中，试问：是否存在两个定点E、F使为定值，若存在，求出E、F的坐标，不存在，说明理由。（2003天津）解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值。 因此，直线OP和AB的方程分别为和消去参数，得点P（）的坐标满足方程，整理，得 因为，所以得（1）当时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；（2）当时，方程表示椭圆，焦点E和F为合乎题意的两个定点；（3）当时，方程也表示椭圆，焦点E和F（）为合乎题意的两个定点。例5 给定抛物线C：，F是C的焦点，过点F的直线与C相交

5、于A、B两点，（1）设的斜率为1，求与夹角的大小，（2）设若求在轴上截距的变化范围解：（1）C的焦点F（1，0），直线的斜率为1，所以的方程为，将代入方程，并整理，得，设A（）、B（）则有所以与夹角的大小为（2）设A（）B（）由题设，得即，由（2）得 ， （3） 联立（1）、（3）解得依题意有 B（）或B（）又F（1，0），得直线方程为或当时，在轴上的截距为或由，可知在4，9上是递减的 ，直线在轴上截距的变化范围为例6 抛物线C的方程为过抛物线C上一点P（）（）作斜率为的两条直线分别交抛物线C于A（）B（）两点（P、A、B三点互不相同）且满足（且）（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程（2）设直

6、线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在轴上（3）当时，若点P的坐标为（），求为钝角时点A的纵坐标的取值范围解：（1）由抛物线C的方程得，焦点坐标为（），准线方程为（2）证明：设直线PA的方程为，直线PB的方程为点P（）和点A（）的坐标是方程组的解将（2）式代入（1）式得于是，故（3）又点P（）和点B（）的坐标是方程组的解将（5）式代入（4）式得，于是，故由已知得，则（6）设点M的坐标为（），由。则将（3）式和（6）式代入上式得即，所以，线段PM的中点在轴上。（3）解：因为点P（）在抛物线上，所以，抛物线方程为由（3）式知，代入得将代入（6）式得，代入得因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交

7、点A、B的坐标为于是，因为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有即，求得的取值范围为或又点A的纵坐标满足，故当时，；当时，所以，为钝角时点A的纵坐标的取值范围为例7 已知椭圆和点M（）、N（），直线过点M且与椭圆相交于A、B两点。试问：可以为钝角吗？如果你认为可以，请求出当为钝角时，直线的斜率的取值范围；如要你认为不能，请加以证明。解：不可能为钝角，证明如下：如图所示，设A（），B（），直线的方程为由得。由根与系数的关系，又，若为钝角，则，由根。由即，即即即 ， 不存在，故不可能为钝角。【模拟试题】（答题时间：60分钟）1. 已知椭圆，定点A（0，3），过点A的直线自上而下依次交椭圆于M、N两个

8、不同点，且，求实数的取值范围。2. 设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的淮线上，且BC/轴，证明：直线AC经过原点。3. 如图，设点A、B为抛物线上原点以外的两个动点，已知，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。4. 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（）若C满足，其中，且，求点C的轨迹方程。5. 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（）（）的准线与轴相交于点A，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。（1）求椭圆的方程；（2）设，过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明；（3）若，求直线PQ的方程。参考答案1. 解：因为，且A、M、N三点共线，所以，且，设M点的坐标为，则，得N点坐标为因为N点在椭圆上，所以即所以 由解得2. 证明：设A（）、B（）（），则C点坐标为（）、因为A、F、B三点共线，所以，即化简得由， 得所以即A、O、C三点共线，直线AC经过原点3. 解：设、，则、， 即（1）又 即（2） A、M、B三点共线 即化简得 将两式代入式，化简整理，得 A、B是异于原点的点 故点M的轨迹方程是（），它表示以（）为圆心，以半径的圆（除去原点