不等式的经典公式和经典例题讲解

1、.不等式的证明规律及重要公式总结1、 a2b22ab , ab ( ab )2 （可直接用）a2b2c2abbc ca22、a 2b2abab2(a,bR)（要会 明）重2211ab要公3、 a3b3c33abc ( abc0 即可）式( abc) 3 ； (a, b, c4、 ab c33 abc ， abcR)35、 | a | | b | | ab | | a | | b | ， (a, b, c R)证明方法方法一：作差比 法：已知： abc1 ，求 ： a 2b 2c 21 。31 (3a 23b 23c 21)1的代换1 3a 23b23c2(abc) 2 ：左右 =1( a b)

2、233(b c) 2( c a) 2 03方法二：作上比 法， a、 b、 cR，且 ab c ，求 ： a 2a b 2b c 2cab c bc a ca b ： 左a2 ab 2b c 2caa b aa c b b c bb a cc a c c b( a ) a b ( b) b c ( c ) c a右ab c b c a c a bbca当 ab0 时a1, ab0( a )a b1bb当 0ab 是 a0,b0 ，且 a+b=1，求 ： a 4b41 (a1 )2(b1) 2258ab2 由公式：A2B 2ABA2B 2( AB )2 得：2222a 4b4( a 2b 2 )

3、 2( a b )2 21a 4b 41222168.A2B 2A B)2A2B2 ( A B) 2证由(222 左1 ( a1)(b1) 21 a ba b 21 (11 ) 2（ *）2ab2ab2ab ab( ab) 211424ab (*)1 (14)22522方法四：放缩法：log n( n1)log (n 1)( n 2)( n 1) n1， log n(n 1)0 只要证： logn1) log( n2)1即可(n(n 1)左 1(log nn1 log n(n12 ) ) 2 1 log22n (n 2)2( n 1)1(n 22n1)21(n 1)221 (log n 1lo

4、g ( n 1)22方法五：分析法：设a121， b2R ，求证：(a1 b1 )(a2b2 )a1 a2b1 b2 (自证 )， a ，b方法六：归纳猜想、数学归纳法：设a0, b0 ，求证： ( ab ) na nbn（自证）22高考数学百大经典例题不等式性质概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结不等式一不等式的性质 ：1同向不等式可以相加； 异向不等式可以相减 ：若 ab, cd ，则 acbd（若 ab, cd ，则 acbd ），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除； 异向不等式可以相除，但不能相乘：若ab0, cd0 ，则

5、 acbd （若 ab0,0cd ，.则 a b ）；c d3左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若 a b0 ，则 a nbn 或n an b ；4若 ab0 ， ab ，则 11 ；若 ab 0 ， ab ，则 11 。如abab（1）对于实数 a, b, c 中，给出下列命题： 若 ab, 则 ac 2bc 2 ； 若 ac 2bc 2 , 则 ab ； 若 ab 0, 则 a 2abb 2 ； 若ab 0,则 11 ；b 0, 则 ba ；ab 若 a 若 ab 0,则 ab ；ab 若 ca b 0, 则aab； 若 ab, 1 1 ，则 a 0, b 0 。ccba b其中正确

6、的命题是 _（答：）；（2）已知1xy1，1xy3 ，则 3xy 的取值范围是 _（答： 1 3xy7 ）；（3）已知 abc ，且 abc0, 则 c 的取值范围是 _a（答：2,1 ）2二不等式大小比较的常用方法：1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2作商（常用于分数指数幂的代数式） ；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函数的单调性；7寻找中间量或放缩法；8图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如（1）设 a0且 a1, t0，比较 1log a t和log at1 的大小22（答：当 a1 时， 1loga tlog at 1（ t1时取

7、等号） ；当0a 1时，1 log a t loga t1 （ t221时取等号）；221（2）设 a2 ， pa， q2 a24 a 2 ，试比较 p, q 的大小（答： pq ）；a 2（3）比较 1+log x3 与2log x2( x 0且 x1) 的大小（答：当 0x1 或 x4 时，1+ log x 3 2log x2；当 1 x4 时，1+ log x 3 33.2log x 2 ；当 x4 时， 1+ log x 3 2log x 2 ）3三利用重要不等式求函数最值 时，你是否注意到： “一正二定三相等，和定积最大，积定和最小 ”这 17 字方针。 如（ 1）下列命题中正确的是

8、A、 yx1 的最小值是 2x2x、3的最小值是 2B yx224C、 y23x(x0)的最大值是 243xD、 y23x4 ( x0) 的最小值是 243x（答： C）；（ 2）若 x2 y1，则 2x4y 的最小值是 _（答： 22 ）；（ 3）正数 x, y 满足 x2 y1，则 11 的最小值为 _xy（答：3 22 ）；4. 常用不等式 有：（1） a2b2abab21(根据目标不等式左右221的运算结构选用 ) ；（2）a、b、cR，222ab（当且仅当ababbcab ccca时，取等号）；（ 3）若 ab0, m0，则 bbm （糖水的浓度问题） 。如aam如果正数 a 、 b

9、 满足 abab3 ，则 ab 的取值范围是 _（答： 9,）五证明不等式的方法 ：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、 配方、通分等手段变形判断符号或与1 的大小，然后作出结论。 ).常用的放缩技巧有： 1111111n n 1 n(n 1) n2n(n 1) n 1 nk 1k111kk1k1k2kk1k如（ 1）已知 abc ，求证： a 2bb 2cc 2 aab 2bc 2ca2；(2)已知 a, b, cR，求证： a2 b2b2 c2c2 a 2abc( abc) ；（3）已知 a,b, x, yR ，且 11 , xy ，求证：xyy；ab

10、xab(4)若a、 b、 c是不 全 相 等 的 正 数 ， 求 证 ：lg a blg bclg calg alg blg c ；222（5）已知 a,b,cR ，求证： a2 b2b2c2c2 a2abc( abc) ；.(6)若 n N *，求证： ( n 1)2 1(n1)n2 1 n ；(7)已知 | a |b | ，求证： | a | b | a |b | ；| ab | ab |11L12。（8）求证： 132n222六简单的一元高次不等式的解法 ：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正 ；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上， 从最

11、大根的右上方依次通过每一点画曲线； 并注意 奇穿过偶弹回；（ 3）根据曲线显现 f ( x) 的符号变化规律，写出不等式的解集。 如（1）解不等式 (x 1)(x 2) 2 0 。（答： x | x1或 x2 ）；（2）不等式 ( x2) x22x 30 的解集是 _（答： x | x3或 x1 ）；（3）设函数 f (x) 、g(x) 的定义域都是 R，且 f ( x) 0 的解集为 x |1 x2 ，g( x) 0 的解集为，则不等式 f ( x)gg ( x)0 的解集为 _（答： (,1) U 2,) ）；（4）要使满足关于 x 的不等式2x 29xa 0（解集非空） 的每一个 x 的

12、值至少满足不等式 x24x 30和 x26x80 中的一个，则实数 a 的取值范围是_.（答： 7,81) ）8七分式不等式的解法 ：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式， 并使每一个因式中最高次项的系数为正 ，最后用标根法求解。 解分式不等式时，一般不能去分母， 但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如（1）解不等式5 x12x3x2（答： ( 1,1)U (2,3) ）；（ 2 ） 关于 x 的不等式 axb0 的解集为 (1,) ，则关于 x 的不 等式axbx0 的解集为 _2（答： (, 1)(2,) ）.八绝对值不等式的解法 ：1分段讨论法（ 最后结

13、果应取各段的并集 ）：如解不等式 | 23x |2 | x1 |42（答： xR ）；（ 2）利用绝对值的定义；（ 3）数形结合； 如解不等式 | x | x1| 3（答： (, 1) U (2,) ）（ 4）两边平方： 如若不等式 | 3x 2 | 2xa |对 xR恒成立，则实数 a 的取值范围为 _。.（答： 4 ）3九含参不等式的解法 ：求解的通法是“定 域 前提，函数增减性 基 ，分 是关 ”注意解完之后要写上： “ 上，原不等式的解集是” 。 注意：按参数 ， 最后 按参数取 分 明其解集； 但若按未知数 ， 最后 求并集 . 如（1）若 loga21 ， a 的取 范 是 _32

14、 ）；（答： a1 或0 a3（2）解不等式 ax 2x(aR)ax 11 或（答：a0 ， x | x0 ；a0 ，x 0； ，1 x | xaa 0 x |x 0或 x0 ）a提醒：（ 1）解不等式是求不等式的解集，最后 必有集合的形式表示； （ 2）不等式解集的端点 往往是不等式 方程的根或不等式有意 范 的端点 。如关于 x 的不等式 axb 0 的解集 ( ,1) ， 不等式x20的解集 axb_（答：（ 1,2）十一含 不等式的性 ：a、b 同号或有 0| ab | | a | b| a | b | | ab | ；a、b 异号或有 0| ab | | a | b | a | b

15、| | ab | .如 f (x) x2x13 ， 数 a 足 | x a| 1 ，求 ： | f ( x)f (a) |2(| a | 1)十二不等式的恒成立 , 能成立 , 恰成立等 ：不等式恒成立 的常 理方式？（常 用函数方程思想和“分离 量法” 化 最 ，也可抓住所 不等式的 构特征，利用数形 合法）1). 恒成立 若不等式 f xA 在区 D 上恒成立 , 等价于在区 D 上 fx minA若不等式 f xB 在区 D 上恒成立 , 等价于在区 D 上 fx maxB如（ 1） 数 x, y 足 x2( y 1)21 ，当 x y c 0 ， c 的取 范 是_（答：2 1,）；（2）不等式 x4x3 a 一切 数 x 恒成立，求 数 a 的取 范 _m( x2（答： a1 ）；（3）若不等式 2x11) 足 m 2 的所有 m 都成立， x 的取 范 _711 ）；（答：（, 3( 1) n 122（4）若不等式 ( 1) n a2 于任意正整数 n 恒成立， 数 a 的取n 范 是 _.（答： 2,3) ）；（5）若不等式 x222mx2m 1 0 对 0x1 的所有实数 x 都成立，求 m 的取值范围 .（答： m1 ）2).