全国通用版版高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用第讲函数与方程优选学案

1、第11讲函数与方程考纲要求考情分析命题趋势结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数.2017全国卷，122017江苏卷，142016山东卷，152016浙江卷，2函数的零点及其应用问题是热点，经常考查函数零点存在的区间、零点个数的判断和利用函数的零点个数求参数的范围等内容，难度不大分值：58分1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)，我们把使_f(x)0_成立的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)三个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与_x轴_有交点函数yf(x)有_零点_.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y

2、f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_f(a)f(b)0)的零点000)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数_两个_一个_零个3二分法(1)二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且_f(a)f(b)0_的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_一分为二_，使区间的两个端点逐步逼近_零点_，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间a，b，验证_f(a)f(b)0_，给定精确度.第二步，求区间(a，b)的中点x1.第三步，计算f(x1)：若_f(x1)0_，则x1就是函数的

3、零点；若_f(a)f(x1)0_，则令bx1(此时零点x0(a，x1)；若_f(x1)f(b)0_，则令ax1(此时零点x0(x1，b)第四步，判断是否达到精确度，即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)否则重复第二、第三、第四步4有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数f(x)x21的零点是(1,0)和(1,0)()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续

4、不断)，则一定有f(a)f(b)0.( )(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()(4)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0.(3)正确当b24ac0时，二次函数图象与x轴无交点，从而二次函数没有零点(4)正确由已知条件，数形结合得f(x)与x轴在区间a，b上有且仅有一个交点，故正确2若函数f(x)axb有一个零点是2，那么函数g(x)bx2ax的零点是(C)A0,2B0，C0，D2，解析2ab0，g(x)2ax2axax(2x1)零点为0和.3函数f(x)2xx32在区间(0,1)内的零点个数是(B)A0B1C2D3解析函数f(x)2xx32显然是一个

5、单调递增且是连续的函数，同时f(0)f(1)(1)110.由函数零点存在性定理可知，函数在(0,1)内必存在唯一一个零点故选B4根据表格中的数据，可以判定方程exx20的一个根所在的区间为(C)x10123ex0.3712.727.3920.09x212345A(1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)解析设函数f(x)exx2，从表中可以看出f(1)f(2)0，因此方程exx20的一个根所在的区间为(1,2)5用二分法求函数yf(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)f(4)0，给定精确度0.01，取区间(2,4)的中点x13，计算得f(2)f(x1)0，则此时零点x0_(2,3)

6、_(填区间)解析由f(2)f(3)0，可知x0(2,3)一函数零点所在区间的判断判断函数零点所在区间的方法(1)当能直接求出零点时，就直接求出进行判断(2)当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断(3)当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断【例1】 (1)函数f(x)1xlog2x的零点所在区间是(C)ABC(1,2)D(2,3)(2)若ab0，f1log210，f(1)100，f(2)12log2210，由f(1)f(2)0知C项正确(2)易知f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca)(cb)又ab0，f(b)0，又该函数是二次函数，且开口向上，可知两根分别

7、在(a，b)和(b，c)内二函数零点个数的判断函数零点个数的判断方法(1)解方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点【例2】 (1)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且x0,1时，f(x)x，则方程f(x)log3|x|

8、的零点个数是(C)A2B3C4D多于4(2)(2018江苏镇江月考)方程exln x1(其中e为自然对数的底数)解的个数为_1_.解析(1)由f(x2)f(x)，知函数f(x)是周期为2的周期函数，且是偶函数，在同一坐标系中画出ylog3|x|和yf(x)，x3,3的图象，如图所示，由图可知零点个数为4.(2)把方程化为ln xx，分别画出函数yln x和yx的图象(图略)，两个函数图象只有一个交点，所以方程只有一解三函数零点的应用函数零点应用问题的常见类型及解题策略(1)已知函数零点求参数根据函数零点或方程的根求解参数应分三步：判断函数的单调性；利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；解

9、不等式，即得参数的取值范围(2)已知函数零点个数求参数解答此类问题常利用数形结合法(3)借助函数零点比较大小要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)，f(b)与0的大小【例3】 (1)若函数f(x)3ax12a在区间(1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是(B)AB(，1)CD(，1)(2)已知函数f(x)则函数F(x)f(x)a2a1(aR)总有零点时，a的取值范围是(A)A(，0)(1，)B1,2)C1,0(1,2D0,1解析(1)要使函数在(1,1)上存在一个零点，则有f(1)f(1)0，即(5a1)(a1)0，解得a或a1，解得a1.故选A1函数f(x)ln(x1)的一

10、个零点所在的区间是(B)A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析因为f(1)ln 220，所以f(x)在(1,2)上必存在零点故选B2函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为(B)A1B2C3D4解析在同一坐标系中作出yx与y|log0.5x|的图象(图略)，由图可得零点的个数为2.3已知函数f(x)2xx，g(x)log3xx，h(x)x的零点依次为a，b，c，则(A)AabcBcbaCcabDbac解析在同一坐标系中分别画出函数y2x，ylog3x，y的图象，如图，观察它们与直线yx的交点可知ab0，且a1)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是_.解析当a1时，作出

11、函数y|ax1|的图象如图(1)，此时y2a2，只有一个交点，不成立当0a1时，函数y|ax1|的图象如图(2)此时02a2，要使两个函数的图象有两个公共点，则有02a1，即0a，所以a的取值范围是.错因分析：涉及方程根的有关问题时不能熟练应用函数图象来解决问题【例1】 已知函数f(x)则关于x的方程f(x)2bf(x)c0有5个不同实数根的充要条件是()Ab0Bb2，且c0Cb2，t20，c0.由t2btt(tb)0，得t1b2，b0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_(3，)_.解析f(x)的图象如图所示若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个

12、不同的根，只需4mm23或m0，所以m3.课时达标第11讲解密考纲本考点考查函数与方程的关系、函数的零点在近几年的高考卷中选择题、填空题、解答题都出现过选择题、填空题通常排在中间位置，解答题往往与其他知识综合考查，题目难度中等一、选择题1函数f(x)x32x1的零点所在的大致区间是(A)A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析f(0)10，则f(0)f(1)20，且函数f(x)x32x1的图象是连续曲线，所以f(x)在区间(0,1)内有零点2用二分法找函数f(x)2x3x7在区间0,4上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为(B)A(0,1)B(0,2)C(2,3)D

13、(2,4)解析因为f(0)200760，又已知f(2)22670，所以f(0)f(2)2，即a4.故选B5已知函数f(x)e|x|x|，若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(B)A(0,1)B(1，)C(1,0)D(，1)解析因为f(x)e|x|x|e|x|x|f(x)，故f(x)是偶函数当x0时，f(x)exx是增函数，故f(x)f(0)1，由偶函数图象关于y轴对称，知f(x)在(，0)上是减函数，所以f(x)的值域为1，)，作出函数yf(x)与yk的图象，如图所示，由图可知，实数k的取值范围是(1，)故选B6(2017全国卷)已知函数f(x)x22xa(ex1ex

14、1)有唯一零点，则a(C)ABCD1解析由f(x)x22xa(ex1ex1)，得f(2x)(2x)22(2x)ae2x1e(2x)1x24x442xa(e1xex1)x22xa(ex1ex1)，所以f(2x)f(x)，即x1为f(x)图象的对称轴由题意，f(x)有唯一零点，所以f(x)的零点只能为x1，即f(1)1221a(e11e11)0，解得a.故选C二、填空题7若二次函数f(x)x22ax4在(1，)内有两个零点，则实数a的取值范围为_.解析依据二次函数的图象有即解得2a0时，f(x)2 019xlog2 019x，则在R上，函数f(x)零点的个数为_3_.解析函数f(x)为R上的奇函数

15、，因此f(0)0，当x0时，f(x)2 019xlog2 019x在区间内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，)内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一解，从而函数f(x)在R上的零点的个数为3.9已知函数f(x)有3个不同的零点，则实数a的取值范围是_.解析依题意，要使函数f(x)有三个不同的零点，则当x0时，方程2xa0，即2xa必有一个根，此时00时，方程x23axa0有两个不等的实根，即方程x23axa0有两个不等的正实根，于是有解得a，因此，满足题意的实数a需满足即0，f(2)0.又f(2)22(m1)21，m0恒成立，即对于任意bR，b24ab4a0恒成立，所以有(4a)24(4a)0a2a0，解得0a1，因此实数a的取值范围是(0,1)12已知yf(x)是定义域为R的奇