第二章 整数问题.ppt

1、第二章 整数问题,主要内容: 一、数的整除 二、余数问题 三、奇数与偶数 四、约数与倍数 五、质数与合数,第一节 数的整数,对于整数a与b（b0），若存在整数q，使等式a=bq成立，则称b整除a，或a能被b整除. 这时称a是b的倍数，b是a的约数，并记作 整数的整除性质： 1.如果整数a、b都能被整数c整除，那么（ab）与（a-b）也能被c整除. 2.几个整数相乘，如果其中有一个因数能被某一个整数整除，那么它们的积也能被这个数整除. 3.如果一个整数能被两个互质数中的每一个整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除.反过来，如果一个整数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质的数

2、整除.,数的整除特征： 1.末位数字是偶数的整数能被2整除；末位数字是0或5的整数能被5整除；末两位数是4（或25）的倍数的整数能被4（或25）整除；末三位数是8（或125）的倍数的整数能被8（或125）整除. 2.各位数字之和能被3（或9）整除的整数，能被3（或9整除）. 3.若一个整数的奇数位数字的和与偶数位数字的和的差能被11整除，则这个数能被11整除.,问题2.1.1四位数57A1能被9整除，求A. 分析：四位数57A1的各位数字的和应是9的倍数. 解：57A1=A13. 四位数57A1能被9整除， A13应是9的倍数， 0A9，13A+1322. 故 A13=18，A=18-13=5

3、.,问题2.1.2 六位数a8919b能被33整除，求a与b. 分析：此六位数应同时是3与11的倍数. 解：33=311.a8919b能被33整除， a8919b同时是3与11的倍数. 故a+8+9+1+9+b=27+a+b应是3的倍数， 且（a+9+9）-（8+1+b）=9+a-b应是11的倍数. a-b=2.故a-b是偶数. a+b与 a-b同为奇数或同为偶数，a+b为偶数. 27+a+b是3的倍数，a+b是3的倍数. a0，ab0. ab=2，a+b18.故ab=6或 12.又a-b=2， a=4，b=2或a=7，b=5.,问题21.3 在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别

4、能被3、4、5整除，且使这个数值尽可能小.求这个六位数. 分析：根据一个整数分别被3、4、5整除的特征，通过分析推理，探求应补上的三个数字. 解：设所求的六位数为568abc. 568abc能被5整除， c=0或 5. 568abc能被4整除， c=0. 要使568abc的数值尽可能地小，则二位数 bc=20. 568abc能被3整除， 5+6+8+a+b+c=21+a是3的倍数. 要使568abc尽可能地小，故a=0. 所以，所求的六位数为568020.,问题2.1.4 从0、3、5、7四个数字中任选三个，排成能同时被2、3、5整除的三位数.这样的三位数共有几个？ 分析：能同时被2、3、5整

5、除的自然数，其个位数字应为0，各位数字之和应是3的倍数. 解：因为所求的三位数能同时被2、5整除，所以这个三位数的个位数字为0. 因为所求的三位数能被3整除，所以这个三位数的各位数字之和应是3的倍数. 故所求的三位数为570或750，共2个.,问题2.1.5 有72名学生，共交课间餐费a527b分，每人交了多少元？ 分析：先求a和b代表的数字. 解：显然a527b为72的倍数. 因为72=89，所以a527b应同为8和9的倍数. 因为a527b为8的倍数，所以27b为8的倍数，故b=2. 因为a527b为9的倍数，所以a+5+2+7+b=16+a为9的倍数，故a=2. 因此，a527b=252

6、72. 2527272=351（分）. 答：每人交了3.51元.,思考题,1.用1、2、3、4、5、6、7、8、9（每个数字用一次）组成三个能被9整除的、和尽可能大的三位数，这三个三位数分别是多少？ 2.小红买了7支铅笔、5支圆珠笔、8本笔记本和12块橡皮，总共用去4元5角.已知铅笔8分一支，圆珠笔3角6分一支.问售货员同志的帐有没有算错？ 3.六位数1803a6能被12整除，求数字a是多少.3.已知一个六位数6a6a6a能被11整除，求这样的六位数有几个？ 4.有一个四位数3AA1，它能被9整除，请问数字A代表几？,第二节 余数问题,两个整数在作除法运算时，被除数和除数之间的关系不全是整除的

7、关系. 如果a是整数，b是一个自然数，那么一定有两个整数q和r，使得 a=bq+r（0rb）. 当r=0时，则称a被b整除. 当r0时，r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商，r/b叫做a除以b的尾数. 如果a、b两个整数除以自然数m后所得的余数相同，就称a、b对于模m同余.记作ab（mod m）.,同余有下面的一些性质：设a、bZ，mN. 1.如果 ab（mod m），则m（a-b）. 2. aa（mod，m）. 3.如果ab（mod m），则ba（mod m）. 4.如果 ab（mod m），bc（mod m），则 ac（mod m）. 5.如果ab（mod m）， cd（mod

8、m）， 则acbd（mod m）,acbd（mod m）. 6.如果 ab（mod m）， cd（mod m）， 则 acbd（mod m）. 7.如果ab（mod m），则anbn（mod m）. 根据余数相同，可以对整数分类.例如一个整数a被3除时，余数只能有0、1、2这三种可能，因此所有整数可以分为3k、 3k+1、3k+2（ k为整数）这三种类型.,问题2.2.1 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数. 分析：用被除数减去余数.然后将其差分解质因数. 解：310-37=273. 273=3713. 考虑到所求的两位数（除数）要比37（余数）大，而313=39，713=91，因

9、此所求的两位数为39或91.,问题2.2.2填空 41（ ）=（ ）5 分析：被除数减去余数的差能被商整除。即415=36=136=218=312=49=66.又知除数必须大于余数5.因此除数可能是36,18,12,9,6. 问题2.2.3一个大于1的自然数去除300,243, 205时得到相同的余数,则这个自然数是多少? 分析：由同余的性质知,300-243=57=319 243-205=38=219,因为这两个差的公约数为19,且191,因此所自然数为19.,问题2.2.3求,被4除的余数.,分析：利用同余的性质.,问题2.2.4 今天是星期日，再过 天是星期几？再过 天又是星期几？,分析

10、：就是求 、 分别被7除的余数.,因此，如果今天是星期日，那么再过 天是星期日，再过 天是星期一.,第三节 奇数与偶数,奇、偶数有下面一些重要性质： 1.奇数奇数=偶数,奇数偶数=奇数,偶数偶数=偶数. 2.两个奇数之积为奇数;一个偶数与一个整数之积为偶数. 3.偶数的平方能被4整除,奇数的平方被4除余1. 4.相邻两个整数之积必为偶数,其和必为奇数. 5.奇数个奇数的和(或差)为奇数;偶数个奇数的和(或差)为偶数.任意多个偶数的和(或差)总是偶数. 6.如果若干个整数的积是偶数，那么乘数中至少有一个是偶数；如果若干个整数的积是奇数，那么所有的乘数都是奇数.,问题2.3.1若m、n为整数，则m

11、+n与m-n必同为偶数或同为奇数.为什么? 分析：分m、n为奇数或偶数的情况进行讨论. 解：若m、n同为奇数（或同为偶数）， 则mn与m-n同为偶数. 若m、n中一个为奇数，另一个为偶数， 则m+n与m-n同为奇数. 因此，mn与m-n同为偶数或同为奇数.,问题2.3.2老师组织一群学生做互相握手的游戏.当游戏结束后，大家把自己握手的次数告诉老师，经统计发现，握过奇数次手的学生人数是偶数. 为什么？ 分析：由于两个人每握一次手，每人都记握了一次手，那么两个人握手次数的和是2.因此，这一群学生握手的总次数是偶数. 解：由于两个人每握一次手，每人都记握了一次手，因此这一群学生握手的总次数是偶数.

12、从而握手的次数是奇数的学生握手的总次数也应是偶数.即握过奇数次手的学生人数是偶数.,问题2.3.3某班同学参加学校的数学竞赛，共30道试题.评分标准是：答对一题给3分，答错倒扣1分，不答给1分.请你说明：该班同学得分总和一定是偶数. 分析：每个学生的得分数都是偶数，是解答此题的关键所在. 解：对每个学生来说，30道题都答对可得90分，是个偶数.如答错一题，就相差4分，不管答错几题，4的倍数都是偶数，90减去偶数还是偶数.同样，如不答一题，就相差2分，不管不答几题，2的倍数都是偶数，偶数减去偶数还是偶数.因此，每个学生的得分数都是偶数.而偶数的和仍是偶数，故全班同学得分数的总和一定是偶数.,问题

13、2.3.4两个质数之和是999，求这两个质数之积. 分析：这两个质数中必有一个为奇数，一个为偶数. 解：因为两个质数之和为奇数999，所以其中必有一个为奇数，一个为偶数.而偶数质数只有2，因此，奇数质数为997. 2997=1994. 故所求两个质数之积为1994.,问题20.5 100个自然数的和是10000，在这些数里奇数的个数比偶数多，那么偶数最多会有多少个？ 分析：先求奇数最少有多少个. 解：因为100个自然数的总和是偶数，所以奇数的个数必须是偶数.又这些数里，奇数的个数比偶数多，故奇数的个数大于或等于52，即最少是52，因此偶数最多是48个.,思考题: 1.是否存在整数.m、n,使得

14、(m+n)(m-n)=1994. 2.游艺室里的座位是9行9列，坐满了学生.现在做一项游戏，当铃声响后，每个同学都要与自己前后或左右相邻的某个同学交换座位一次.问这项游戏实现得了吗？说明道理. 3.有29人参加乒乓球单打比赛，若每人都要比赛3场，可能吗？为什么？,第四节 约数与倍数,几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数. 几个自然数的公倍数有无限多个，所以不存在最大公倍数，除零外，其中最小的只有一个，这个数就叫做这几个数的最小公倍数.自然数a和b的最小公倍数记作，b. 几个自然数公有的约数，叫做这几个数的公约数. 几个自然数的公约数中，最大的一个叫做这几个数的最大公约数.自然数a和b的最

15、大公约数记作(，b). 如果两个自然数的最大公约数是1，那么就称这两个数互质.,问题2.4.1 甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公约数是4，求乙数.,分析：法一因甲、乙两数的最大公约数是4,甲数46,设乙数4x,则x与6互质. 因甲、乙两数的最小公倍数是168，所以 是整数。 故x是42的约数.又x与6互质,所以x1或x7. 当x1时,乙数414,不合题意,舍去. 当x7时,乙数4728,符合题意.,法二因1684=24乙数,所以乙数=,问题2.4.2 有两个容器，一个容量为27升，一个容量为15升，怎样利用它们从一桶油中倒出6升油来？,分析：（27，15）3. 215273，

16、 321527，6415227.,所以，向小容器里倒4次油，每倒满后就向大容器里倒，大容器注满了就往桶里倒.当大容器第二次倒满时，小容器里剩下的就是6升油,问题2.4.3 一块长方形的纸，长75厘米，宽60厘米，要把这张纸裁成面积相等的小正方形的纸而无剩余，且使边长最长，问可裁成几张？,分析：要使这些面积相等的小正方形纸的边长最长，就是要求75与60的最大公约数.,解:因（75，60）15. （7515）（6015）5420. 故,可裁成20张.,问题2.4.4甲、乙、丙三个班的学生人数分别是54、48、72.现要在各班分别组织体育锻炼小组，但各小组的人数要相同.问锻炼小组的人数最多是多少？这

17、时甲、乙、丙三班共有多少个小组？,分析：先求54、48、72的最大公约数. （54，48，72）6. （544872）629. 故,锻炼小组的人数最多是6，这时甲、乙、丙三班共有29个小组.,问题2.4.5 工人加工零件，第一批毛坯1788个，第二批毛坯1680个，第三批毛坯2098个.现平均分给工人，分别剩7个、3个、5个.问加工的工人最多有多少？,问题2.4.6有320个苹果、240个桔子、200个梨，用这些果品最多可分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、梨各有多少个？,分析： （320，240，200）=40. 32040=8， 24040=6， 20040=5. 故,用这些果

18、品最多可分成40份.在每份礼物中，有8个苹果、6个桔子、5个梨.,问题2.4.7排练团体操时，要求队伍变成10行、15行、18行、24行时，队形都能成为长方形，问最少需要多少人参加团体操的排练？,分析：由于队形要成为长方形，因此，人数必须是行数的倍数.求最少的人数就是求各行数的最小公倍数.,10，15，18，24 360. 答：最少需要360人参加团体操的排练,问题2.4.8 一筐苹果（在100个以内），按每份3个分多1个，每份5个分多3个，每份7个分多2个.问这筐苹果有多少个？ 分析：这个问题实质是：100以内的一个数除 以3余l，除以5余3，除以7余2，问这个数是多少？若将所求的数加上2，

19、所得的数应是3与5的公倍数.3，515. 3与5的公倍数：15，30，45，60，75，90. 故原数可能是：13，28，43，58，73，88.其中除以7余2的只有58.,问题2.4.9从运动场一端到另一端全长96米，每隔4米插一面红旗，现在要改成每隔6米插一面红旗.问有多少面红旗不必拔出来？ 分析：由于4和6的最小公倍数是12，所以从第一面红旗开始，每隔12米的那一面红旗就不必拔出来，第一面红旗也不必拔出来. 4，612. 961219. 即共有9面红旗不必拔出来.,问题2.4.10 一些三位数能同时被2、5、7整除，这样的三位数按由小到大的顺序排成一行，中间的一个数是多少？ 分析： 2，

20、5，770.这样的三位数有 702，703，7014. 它们中间的一个数是870560. 问题2.4.11 一个四位数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，被7除余6，被8除余7，被9除余8，被10除余9，求这样的四位数.,第五节 质数与合数,全体自然数可以按照约数的个数进行分类: 1.仅有1和它本身两个约数的自然数，称为质数（或素数）. 2.除了1和它本身以外，还有其它约数的自然数，称为合数. 3. 1只有一个约数，就是它本身.1既不是质数也不是合数、称为单位1. 全体自然数分成了三类：数1；全体质数；全体合数.,问题2.5.1 24有多少个约数？这些约数的和是多少？,

21、分析：,3的约数：l，3共2个. 根据乘法原理，24的约数个数为： （31）（11）428.,这8个约数为：l、2、4、8、3、6、12、24.它们的和为：,1248361224 （1248）3（1248） （1248）（13）15460.,问题2.5.2 将下面八个数分成两组，使这两组数各自的乘积相等. 14，33，35，30，75，39，143，169.,分析: 把八个数分成两组后，应使每组数的乘积所含的质因数一样.,八个数分解质因数： 1427，33311. 3557，30235. ， 39313， 1431113， . ， ， 169，33，35，30与39，143，75，14 或169，33，75，14与39，143，35，30,问题2.5.3 一个数是5个2、3个3、2个5、1个7的连乘积，这个数的两位数的约数中，最大的是几？,分析：设这个数为N，则 N .两位数中的最大数为99，其它数依次为98，97，.那么可以从两位数中最大的数开始找.,解：N . 99 ，不是N的约数. 98 ，不是N的约数. 97是质数，不是N的约数. 96 ，是N的约数. 所以，所求最大的两位数的约数是96.,