第七章 生活中的轴对称

1、第七章 生活中的轴对称【知识要点】一、轴对称 1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 2、轴对称：对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。3、性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分。（2）对应线段相等，对应角相等。二、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。三、线段的垂直平分线（简称中垂线）：定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。四、等腰三角形 1

2、、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），（3）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。3、等腰三角形的判定：（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等五、等边三角形：1、等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形。2、等边三角形的性质：（1）具有等腰三角形的所有性质。（2）等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60。3、等边三

3、角形的判定（1）三边都相等的三角形是等边三角形。（2）：三个角都相等的三角形是等边三角形（3）：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。六、轴对称图形的性质（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。（4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。注意：上面的（2）与（4）是互逆的两个命题，（2）可以看成是轴对称图形的性质定理，（4）则是判定定理。2、图案的设计常常利用对称、倒置、旋转、重复等手段和形式，由

4、于轴对称现象在实际生活中普遍存在，并有广泛的应用和丰富的文化价值，因此，利用轴对称设计图案是常用的和重要的方法。3、镜面反射原理光线在镜面的反射过程中，反射角等于入射角，如图所示，可得12。七、镜面对称的性质（1）任何一个平面图形在镜子中的像与它是可以完全重合的。因此，一个轴对称图形在镜中的像仍是轴对称图形。（2）若一个平面图形正对镜面，则其左（右）侧在镜中的像是其像的右（左）侧。若一个平面图形垂直镜面放置，则靠近镜面的部分，其像也靠近于镜面。根据这两条性质，我们可获得关于数字0，1，3，8这四个字在镜中之像的结论。（3）根据纸条垂直于镜面放置，则纸上写的0，1，3，8这四个字在镜中的像和原来

5、的数字完全一样。（4）如果纸条正对镜面，则纸条上写的0，8，1这三个数字在镜子中的像和原来的数字完全一样。【典型例题】例1. （1）如图，正三角形正四边形正五边形正六边形正八边形都是轴对称图形，数一数它们的对称轴的条数，填入下表：图形编号对称轴条数（2）观察后分析，正多边形对称轴的条数与边数n有什么关系?（3）根据你的分析结果回答：正九边形、正十二边形有几条对称轴?解：（1）图形编号对称轴条数34568（2）正多边形对称轴的条数与边数n相等。（3）由（2）知，正九边形有九条对称轴，正十二边形有十二条对称轴。例2. 下列图形是由两个字母A和H构成的（把A和H看作是轴对称图形）A H A H A

6、H A H A H A H（1）请仔细观察其中的变化规律，回答以下两个问题：第100个字母是什么?图形中的字母A在2006个字母中一共出现多少次?（2）从左往右在图案中取多少个字母能构成一次轴对称?解：（1）第100个字母是H。图形中的字母A在2006个字母中一共出现1003次。（2）从左往右在图案中取奇数个字母能构成一次轴对称。例3. 如图，已知CD垂直平分线段AB，AB平分CAD，求证： CBAD分析：欲证线段平行，往往先证有关角相等，如BBAD，再结合角平分线的性质，又可实现角的转换，只须证BCAB，而此式只需用垂直平分线性质即可得证。证明：CD垂直平分线段ABCACBCABCBAAB平

7、分CADCABDAB DABCBACBAD（内错角相等，两直线平行）例4. 如图，已知ABAC，DBDC，P是AD上一点，求证： ABPACP分析：本题欲证ABPACP，注意到ABPABCPBC， ACPACBPCB，不妨先探讨ABC与ACB， PBC与PCB的关系。证明：连接BC，ABAC（已知）ACBABC点A、D都在线段BC的垂直平分线上，而两点确定一条直线AD就是线段BC的垂直平分线PCPBPBCPCBABCPBCACBPCBABPACP说明：（1）在有线段相等的条件下证明角的相等，常可用恒等变形的方法转化为另外一个角的相等问题来证。（2）本题可以用三角形全等来证。例5. 如图，在AB

8、C中，C90，DE是边AB上的垂直平分线，交BC于点D，垂足为E，如果1：21：2，求B的度数。解：DE是边AB上的垂直平分线ADDBDABDBA CAB+CBA90，1：21：2CBA9022.5例6. 现有一排数字。它是一数在镜子中的像，试问原数是什么？分析：这与镜子的放置方式有关。解：如果把镜子放在原数的正前方或左、右侧面时，原数是，如果把镜子放在原数的上方或下方时，原数是例7. 由“”所组成的两位数，已知它的两个数字之和为10，它在水中的倒影也是一个两位数，且这个两位数字之和为13，求原来的两位数。解：由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数所组成的两位数之和为10，只有19、

9、28、37、46四对，然后将这8个数字在水中的倒影写出来，就是，然后组成的两位数的两个数字之和为13，那么只有5813，所以原来的数为28或82。【同步练习】一、选择题1、下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）A. 线段AB B. 钝角AOB C. 直角ABC D. 等边ABC2、我们知道等腰三角形是一个轴对称图形，下列关于它的对称轴的说法正确的是（ ）A. 是顶角的平分线 B. 是底边上的高C. 是底边上的中线 D. 是底边的垂直平分线3、如图，ABC中，ABAC，BAC108，AD、AE是ABC的三等分线，则图中成轴对称的三角形有（ ）A. 2 个 B. 3 个 C. 4个 D. 6个4

10、、下列说法：（1）关于某条直线对称的两个图形的对称点一定位于该直线的两旁；（2）关于某条直线对称的两个图形，其任何一对对应点的连线的垂直平分线就是它们的对称轴；（3）如果平面上两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；（4）如果平面上两个图形完全相同，那么这两个图形必定关于某条直线对称，其中说法正确的是（ ）A. （1）（2） B. （3）（2） C. （2）（4） D. （1）（3）5、小明站在镜子前，他在镜子中的像只举起了右手，则小明实际上举手的情况是（ ）A. 举起了左手 B. 举起了右手C. 左手与右手都举了 D. 两只手都没举6、在平面镜里看到背后墙

11、上，电子钟表示如图所示，这时的时间是（ ）A. 21:05 B. 21:15 C. 20:15 D. 20:057、将写有“K”的纸条垂直于镜面放置，则在镜中所成的像有（ ）A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种8、在由两个字母UV，BE，CD，TT，HI，XK组成的6组字母图中，能由某条直线翻转后重合的共有（ ）A. 5组 B. 4组 C. 3组 D. 2组二、填空题1、如图，直线MN是线段AB的对称轴，点C在MN外，CA与MN相交于点D，如果CACB4厘米，那么BCD的周长等于（ ）厘米。2、如图，AD是ABC的对称轴，DAC30，DC4厘米，则ABC是（ ）三角形，ABC的周长（

12、 ）3、如图，已知AOB40，OM平分AOB，MAOA于A，MBOB于点B，则MAB的度数为（ ）4、在图中，分别作出点P关于OA，OB对称的点P，P，交OA于M，交OB于N，若PP5厘米，则PMN的周长为（ ）5、如果把镜子中的像和物体的对应点用线段连起来，那么这些线段被镜面（ ）6、小明站在镜子对面，他的球衣号码在镜子里是，那么小明球衣的号码是（ ）7、如图，在桌面上竖直放置两块镜面相对的平面镜，在两镜之间放置一个小皮球，那么在两镜中共可以得到多少个小皮球的像（ ）8、一同学下午面对一镜子，发现镜子中正挂在墙上的钟的分针和时针分别指向正北和正西方向，则准确时间为（ ）9、一辆摩托车的号码在

13、平面镜中的像是2185，则该辆车号是（ ）。三、开放题1、一个等腰三角形的两个内角之比是2：1，求这个等腰三角形的顶角的度数。2、已知，在直角三角形ABC中，C90，AD平分BAC交BC于点D，如果BC32，且BD:CD9:7，求点D到AB的距离。3、如图，在ABC中，ABAC，DE垂直平分AB交AC于点E，已知BCE的周长为8，且ACBC2，求AB，BC的长。【试题答案】一、选择题1、C 2、D 3、D 4、B 5、A6、A 7、C 8、A二、填空题1、4 2、等边，24cm 3、20 4、5厘米 5、垂直平分6、315 7、无数个 8、下午3：00 9、2815三、开放题1、36或902、

14、143、AB5，BC3【模拟试题】（答题时间：45分钟）一、填空题1、如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫（ ），这条直线叫做（ ）2、对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么这两个图形成（ ），这条直线是（ ）3、轴对称是指（ ）个图形的位置关系，轴对称图形是指（ ）个具有特殊形状的图形。4、轴对称图形的对称轴是一条（ ）线。5、正方形是轴对称图形吗？答：（ ），它共有（ ）条对称轴。6、两条直角边相等的直角三角形是轴对称图形吗？答：（ ），它有（ ）条对称轴。7、角是轴对称图形，（ ）线是它的对称轴8、线段是轴对称图形，它的对称轴是（

15、）9、等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（ ）10、三边相等的三角形是（ ）三角形，也叫（ ）三角形。11、角平分线上任意一点到角两边的距离（ ）12、线段垂直平分线上的点到（ ）距离相等。13、等腰三角形顶角的（ ）与底边上的（ ）、（ ）重合，它们都是等腰三角形的（ ），也称（ ）14、等腰三角形的一个内角为40，则它的一个底角为（ ）15、有一条对称轴的三角形是（ ）三角形，有三条对称轴的三角形是（ ）三角形。16、一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，则它的顶角是（ ），底角是（ ）。二、选择题1、长方形是轴对称图形，它的对称轴有（ ）A. 1条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4条2

16、、轴对称图形的对称轴数（ ）A. 只有1条 B. 2条 C. 3条 D. 至少1条3、圆是轴对称图形，它的对称轴有（ ）A. 1条 B. 2条 C. 4条 D. 无数条4、下列图形中：（1）等腰三角形（2）直角三角形（3）线段（4）角（5）等腰直角三角形，其中轴对称图形有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个5、等腰三角形的底边长是8厘米，腰长是5厘米，那么这个等腰三角形的周长是（ ）A. 21厘米 B. 18厘米 C. 18厘米或21厘米 D. 13厘米或26厘米6、等腰三角形的一个内角为150，则它的底角为（ ）A. 30 B. 15 C. 30或15 D. 507、等腰三角形的一个底角为40，则它的底角为（ ）A. 40 B. 70 C. 120 D. 40或708、下列说法错误的是（ ）A. 等腰三角形底边上的高是它的对称轴B. 等腰三角形底边上的中线是它的对称轴C. 等腰三角形顶角的平分线是它的对称轴D. 等腰三角形一个角的平分线是它的对称轴三、两个大小不同的圆可以组成以下五种图形，请找出每个图形的对称轴，并说一说它们的对称轴有什么共同