高中数学必修一人教教学课件131单调性与最大小值1

1、1.3函数的基本性质 1.3.1单调性与最大(小)值 第1课时函数的单调性,【知识提炼】 1.增函数与减函数的相关概念,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),2.函数的单调性及单调区间,增函数或减函数,单调性,区间D,【即时小测】 1.思考下列问题: (1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗? 提示:并不是所有函数在定义域上都是单调的,如函数f(x)=1,xR在定义域上就不是单调的.,(2)增、减函数定义中的“任意x1,x2D”可否改为“存在x1,x2D”? 提示:不能改,如函数f(x)= x2中,虽然f(-1)f(2),但该函数在定义域上不是单调函数. (3)函数f(x)在实数集R上是

2、增函数,则f(1)f(4)成立吗? 提示:成立.由于函数在R上是增函数,且14,故f(1)f(4).,2.函数y=-x2的单调递减区间为() A.(-,0 B.(0,+) C.(-,+) D.不存在 【解析】选B.画出函数y=-x2的图象,由图象 可知函数y=-x2的单调递减区间为(0,+).,3.若y=(2k-1)x+b是R上的减函数,则有() A.kB.k- C.kD.k- 【解析】选C.若y=(2k-1)x+b是R上的减函数,则必有2k-10,所以k,4.若函数f(x)在R上是增函数,且f(a)f(b),则a与b的大小关系是. 【解析】因为f(x)在R上是增函数,所以当f(a)f(b)时

3、,有ab. 答案:ab,5.如图所示为函数y=f(x),x-4,7的图象,则函数f(x)的单调递增区间是.,【解析】结合单调递增函数的概念及单调区间的概念可知,此函数的单调递增区间是-4,-2,4,7. 答案:-4,-2,4,7,【知识探究】 知识点 函数的单调性与单调区间 观察图形,回答下列问题:,问题1:上面四个图象从左到右的变化趋势分别是什么?它们的变化趋势是否相同? 问题2:能否说f(x)= 在定义域(-,0)(0,+)上是减函数?,【总结提升】 1.对增函数、减函数概念的三点说明 (1)单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在定义域不同区间内可以有不同的单调性,即单调性是函数的一

4、个“局部”性质.,(2)定义中的x1和x2有如下三个特征: 任意性:即“任意取x1和x2”中“任意”二字不能去掉,证明时不能以特殊代替一般; 有大小之分; 属于同一个单调区间. (3)函数单调性给出了自变量与函数值之间的互化关系:比如f(x)在定义域I上是减函数,若x1,x2I,则f(x1)f(x2)x1x2.,2.对函数单调区间的三点说明 (1)单调区间必须是函数定义域的子集. (2)若函数f(x)在其定义域内的两个区间A,B上都是增(减)函数,一 般不能简单认为f(x)在AB上是增(减)函数.如f(x)= 在(-,0) 上是减函数,在(0,+)上也是减函数,但不能说它在定义域(-,0) (

5、0,+)上是减函数. (3)函数的单调区间,在书写时,只要在端点处有定义,用开区间或闭区间都可以,但若在端点处无定义,必须用开区间表示.,3.常见函数的单调区间 (1)y=ax+b,a0时,单调增区间为(-,+);a0时,单调减区间为(-,0)和(0,+);a0时,单调减区间为(-,m,单调增区间为m,+);a0时,单调增区间为(-,m,单调减区间为m,+).,【题型探究】 类型一求函数的单调区间问题 【典例】1.函数f(x)= +2的单调递减区间是. 2.画出函数y=-x2+2|x|+3的图象,并指出函数的单调区间.,【解题探究】1.典例1中f(x)的定义域是什么? 提示:f(x)的定义域是

6、(-,0)(0,+). 2.典例2中如何处理|x|? 提示:按照绝对值的定义去掉绝对值符号,化简函数解析式.,【解析】1.函数f(x)= +2的图象可由反比 例函数y= 的图象向上平移2个单位得到, 作出图象如图,结合图象可知单调递减区间 是(-,0),(0,+). 答案:(-,0),(0,+),2.y=-x2+2|x|+3 函数图象如图所示. 函数在(-,-1,0,1上是增函数, 函数在-1,0,1,+)上是减函数. 所以函数的单调增区间是(-,-1和0,1, 单调减区间是-1,0和1,+).,【延伸探究】(变换条件)将典例2函数变为“y=|x2-2x-3|”,则其单调区间是什么?,【解析】

7、y=|x2-2x-3|的图象如图所示, 由图象可得其单调递增区间是-1,1,3,+);递减区间是 (-,-1,1,3.,【方法技巧】求函数单调区间的两种方法 (1)图象法: 作出函数的图象; 把函数图象向x轴作正投影; 上升图象对应增区间,下降图象对应减区间.,(2)单调性定义法: 作差,因式分解; 判断各因式符号; 如果各因式符号确定,则函数在整个定义域上具有单调性,如果有一个因式符号不确定,则需确定分界点以确定单调区间.,【补偿训练】求函数f(x)=|x+1|-|2x-4|的单调递减区间. 【解析】f(x)=|x+1|-|2x-4|= 画出函数f(x)的图象如图所示,函数f(x)的 单调递

8、减区间是2,+).,类型二函数单调性的判断与证明 【典例】(2015郑州高一检测)判断函数f(x)=x+ 在(2,+)上的单调性,并证明. 【解题探究】典例中若设x1,x2(2,+),则x1x2与4的关系如何? 提示:因为x1,x2(2,+),所以x1x24.,【解析】函数f(x)在(2,+)上是增函数,证明如下: 任取x1,x2(2,+),且x14,x1x2-40, 所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2). 所以函数f(x)=x+ 在(2,+)上是增函数.,【延伸探究】 1.(变换条件、改变问法)将本例中区间“(2,+)”改为“(0,2)”,判断函数f(x)的单调性,并证明.,

9、【解析】函数f(x)在(0,2)上是减函数,证明如下: 任取x1,x2(0,2),且x10,即f(x1)f(x2). 所以函数f(x)=x+ 在(0,2)上是减函数.,2.(变换条件、改变问法)将本例中的函数“f(x)=x+ ”变为 “f(x)= ”,求证函数f(x)在(-1,+)上为减函数.,【证明】任取x1,x2(-1,+),且x1x1-1, 所以x2-x10,(x1+1)(x2+1)0, 因此f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2), 所以f(x)在(-1,+)上为减函数.,【方法技巧】利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1x2. (

10、2)作差变形:作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的式子. (3)定号:确定f(x1)-f(x2)的符号. (4)结论:根据f(x1)-f(x2)的符号及定义判断单调性.,【补偿训练】定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b, 总有 0,则必有() A.函数f(x)先增后减 B.函数f(x)先减后增 C.函数f(x)是R上的增函数 D.函数f(x)是R上的减函数,【解析】选C.由 0知,当ab时,f(a)f(b);当ab时,f(a)f(b),所以函数f(x)是R上的增函数.,【延伸探究】(改变条件)本题若将“ 0”变为 “(a-b)

11、f(a)-f(b)b时,f(a)f(b), 所以函数f(x)是R上的减函数.,类型三函数单调性的应用 【典例】1.(2015张家界高一检测)已知函数f(x)= 是R上的增函数,则a的取值范围是. 2.(2015广州高一检测)已知函数y=f(x)是定义在(0,+)上的增函数,对于任意的x0,y0,都有f(xy)=f(x)+f(y),且满足f(2)=1. (1)求f(1),f(4)的值. (2)求满足f(2)+f(x-3)2的x的取值范围.,【解题探究】1.典例1中x1时对应的函数值f(x)与f(1)的大小关系如何? 提示:f(x)是R上的增函数,所以x1时f(x)f(1). 2.典例2中f(2)

12、=1,则2与f(2)什么关系? 提示:2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).,【解析】1.因为f(x)在R上是单调递增的函数,所以f(x)需满足在 区间(-,1和(1,+)上都是单调递增的,并且端点处x=1的函数值 -12-a-5 ,即a-3;f(x)=-x2-ax-5的对称轴为直线x=- ,且在 (-,1上单调递增,所以- 1,即a-2;f(x)= 在(1,+)上单调递增,所以a0.综上所述,a的取值范围是-3,-2. 答案:-3,-2,2.(1)令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0, 令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2,所以f(4)=2.

13、 (2)由f(2)=1及f(xy)=f(x)+f(y)可得 2=1+1=f(2)+f(2)=f(4). 因为f(2)+f(x-3)2, 所以f(2(x-3)f(4). 又函数f(x)在定义域（0,+）上是单调增函数, 所以 解得3x5.,【方法技巧】利用函数单调性求参数范围的类型及相应的技巧 (1)已知函数解析式求参数:,(2)抽象函数求参数: 只需利用单调增函数f(x)中f(a)f(b)ab,单调减函数f(x)中f(a)f(b)ab,去掉符号“f”,此时特别注意a,b要在给定的单调区间内.,【变式训练】(2015张掖高一检测)已知函数y=f(x)在R上是增函数,且f(2m+1)f(3m-4)

14、,求m的取值范围. 【解题指南】由y=f(x)在R上是增函数可知f(2m+1)f(3m-4) 2m+13m-4,解此不等式即可. 【解析】由y=f(x)在R上是增函数且f(2m+1)f(3m-4)知,2m+13m-4,解得m5,所以m的取值范围是(-,5).,【补偿训练】(2015杭州高一检测)f(x)= 是定义在R上的减函数,则a的取值范围是. 【解题指南】一次函数在定义域上单调递减,则一次项系数要小于0.,【解析】因为f(x)= 是R上的减函数， 答案：,规范解答 利用函数单调性求解参数取值范围 【典例】(12分)已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a) f(2a-1),求a的取值范围. 【审题指导】不等式f(1-a)f(2a-1)为抽象不等式,不能直接解.考虑到函数的单调性,可将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系,即转化为具体不等式来求解.,【规范解答】由题意可知 3分 解得0a1.5分,因为f(x)在(-1,1)上是减函数,且f(1-