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文档简介
1、第2课时 函数的最大值、最小值,【知识提炼】 函数最大值与最小值,f(x0)=M,纵坐标,纵坐标,【即时小测】 1.思考下列问题: (1)任何函数都有最大值或最小值吗? 提示:不一定,如函数y=x,xR时就无最大值和最小值. (2)若函数f(x)=x2-1恒成立,则此函数的最小值就是-1吗? 提示:不对.虽然x2-1恒成立,但在函数定义域内找不到一个x0的值使f(x0)=-1,根据最小值定义可知此结论不成立.,2.函数f(x)在-2,2上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是() A.-1,0B.0,2 C.-1,2 D. ,2,【解析】选C.由图象知点(1,2)是最高点,故f(x)的
2、最大值为2. 点(-2,-1)是最低点,故f(x)的最小值为-1.,3.设函数f(x)=2x-1(x0),则f(x)() A.有最大值 B.有最小值 C.既有最大值又有最小值 D.既无最大值又无最小值 【解析】选D.画出函数f(x)=2x-1(x0)的图象, 如图中实线部分所示.由图象可知,函数f(x)= 2x-1(x0)是增函数,无最大值及最小值.故选D.,4.函数y=2x2+2,xN*的最小值是. 【解析】因为xN*,所以x21,所以y=2x2+24, 即y=2x2+2在xN*上的最小值为4,此时x=1. 答案:4,5.函数f(x)=|x|的最小值是. 【解析】因为f(x)=|x|= 所以
3、f(x)的最小值是0. 答案:0,【知识探究】 知识点 函数的最大值、最小值 观察图形,回答下列问题:,问题1:如图是某市房管局公布的某时期该市房价走势图,从图中可以得出该时期房价的最大值与最小值吗? 问题2:函数的最值与函数的值域有什么关系?,【总结提升】 1.对函数最值的三点说明 (1)最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素,如函数y=x2(xR)的最小值是0,有f(0)=0. (2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式,即对于定义域内的全部元素,都有f(x)M(f(x)M)成立,也就是说,函数y=f(x)的图象不能位于直线y=M的上(下)方.
4、(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等号成立,也就是说y=f(x)的图象与直线y=M至少有一个交点.,2.函数最值与函数值域的关系 函数的值域是一个集合,最值若存在则属于这个集合,即最值首先是一个函数值,它是值域的一个元素.函数值域一定存在,而函数并不一定有最大(小)值.,3.利用单调性求最值的常用结论 (1)如果函数f(x)在区间a,b上是增(减)函数,则f(x)在区间a,b的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值. (2)如果函数f(x)在区间(a,b上是增函数,在区间b,c)上是减函数,则函数f(x)在区间(a,c)上有最大值f(b). (3)如果函数
5、f(x)在区间(a,b上是减函数,在区间b,c)上是增函数,则函数f(x)在区间(a,c)上有最小值f(b).,【题型探究】 类型一图象法求函数的最值 【典例】1.(2015郑州高一检测)如图为函数y=f(x),x-4,7的图象,则它的最大值、最小值分别是,.,2.已知函数f(x)= 求f(x)的最大值、最小值.,【解题探究】1.典例1中图象的最高点坐标是什么? 提示:典例1中图象的最高点坐标是(3,3). 2.典例2中如何求分段函数的最值? 提示:求分段函数的最值,可画出其图象,通过观察图象来求最值.,【解析】1.由图象知当x=3时,f(x)取最大值3, 当x=-1.5时,f(x)取最小值-
6、2. 答案:3-2 2.作出函数f(x)的图象(如图), 由图象可知,当x=1时,f(x)取 最大值为f(1)=1. 当x=0时f(x)取最小值f(0)=0, 故f(x)的最大值为1,最小值为0.,【方法技巧】利用图象法求函数最值的依据及步骤 (1)依据:以函数最值的几何意义为依据,常用于图象易作出的函数求最值. (2)步骤: 作:作出函数图象; 找:在图象上找到最高点和最低点的纵坐标; 定:确定函数的最大(小)值.,【变式训练】画出函数f(x)= 的图象, 并写出函数的单调区间及函数的最小值.,【解析】f(x)的图象如图所示, f(x)的单调递增区间是(-,0)和0,+),函数的最小值为f(
7、0)=-1.,类型二二次函数最值问题 【典例】已知函数f(x)=x2-4x-4.若函数定义域为3,4,求函数的最值. 【解题探究】典例中函数的对称轴是什么?开口方向如何? 提示:对称轴为x=2,开口向上. 【解析】f(x)=(x-2)2-8开口向上,对称轴为x=2,所以当x3,4时,f(x)为增函数,最小值为f(3)=-7,最大值为f(4)=-4.,【延伸探究】 1.(变换条件)典例中将定义域“3,4”改为“-3,4”,其他条件不变,求f(x)的最值. 【解析】f(x)=(x-2)2-8在-3,2上是减函数,在2,4上是增函数,所以最小值为f(2)=-8. 又因为f(-3)=17,f(4)=-
8、4.所以最大值为17.,2.(改变问法)典例中函数不变,将问题变为:若函数f(x)=x2-4x-4在 (-,1上单调,求f(x)的最值. 【解析】因为f(x)为开口向上的抛物线,对称轴为x=2, 所以f(x)在(-,1上单调递减. 所以f(x)min=f(1)=12-41-4=-7,f(x)无最大值. 综上,f(x)的最小值为-7.,3.(变换条件、改变问法)将本例变为:已知函数f(x)= 若对任意的x1,+),f(x)0恒成立,试求实数a的取值范围.,【解析】方法一:f(x)0对x1,+)恒成立,等价于x2+2x+a0对x1,+)恒成立. 设y=x2+2x+a,x1,+),则y=(x+1)2
9、+a-1在1,+)上是增函数,从而ymin=3+a. 于是当且仅当ymin=3+a0,即a-3时,f(x)0对x1,+)恒成立,故实数a的取值范围是(-3,+).,方法二:f(x)0对x1,+)恒成立,等价于x2+2x+a0对x1恒成立,即a-x2-2x对x1恒成立. 令=-x2-2x=-(x+1)2+1,其在1,+)上是减函数, 所以当x=1时,max=-3.因此a-3. 故实数a的取值范围是(-3,+).,【方法技巧】求解二次函数最值问题的顺序 (1)确定对称轴与抛物线的开口方向、作图. (2)在图象上标出定义域的位置. (3)观察单调性写出最值.,【补偿训练】(2015日照高一检测)已知
10、函数f(x)=x2+ax-3a-9在R上的最小值为0,则f(1)=.,【解析】因为函数f(x)=x2+ax-3a-9的图象开口向上,对称轴为直线 x=- ,所以f(x)在区间 上单调递减,在区间 上单 调递增,又f(x)的最小值为0,所以 解得a=-6,所以f(x)=x2-6x+9,f(1)=12-61+9=4. 答案:4,类型三利用单调性求函数最值 【典例】1.函数f(x)=x+ 在x1,2上的最大值为,最小值为. 2.已知函数f(x)= ,x1,2. (1)判断并证明函数f(x)的单调性. (2)求函数f(x)的最大值与最小值.,【解题探究】1.典例1中如何求函数最值? 提示:先判断函数在
11、1,2上的单调性,再根据单调性求最值. 2.典例2中f(x)的定义域是什么?求f(x)的最值可借助函数的什么性质? 提示:函数f(x)的定义域是1,2,求函数的最值可借助函数的单调性.,【解析】1.设1x10,即f(x1)-f(x2)0,f(x1)f(x2), 所以f(x)在1,2上为减函数,所以f(x)在1,2上的最大值为f(1)=5,最小值为f(2)=4. 答案:54,2.(1)函数f(x)= 在区间1,2上是减函数,证明如下: 任取x1,x21,2且x10,x1+10,x2+10, 所以 0,即f(x1)f(x2), 所以f(x)= 是1,2上的减函数.,(2)由(1)知f(x)= 是1
12、,2上的减函数, 所以f(x)min=f(2)= ,f(x)max=f(1)=,【延伸探究】典例1变为:函数f(x)= 在1,b(b1)上的最小值 是 ,则b=. 【解析】因为f(x)在1,b上是减函数,所以f(x)在1,b上的最小 值为f(b)= 所以b=4. 答案:4,【方法技巧】 1.利用函数单调性求最值的一般步骤 (1)判断函数f(x)的单调性. (2)借助最值与单调性的关系写出函数最值. 2.利用单调性求最值的两个关注点 (1)求最值勿忘求定义域. (2)闭区间上的最值,不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误,求解时一定注意.,【变式训练】求函数y=f(x)= 在区间1,
13、2上的最大值和最小值. 【解析】任取x1,x2,且1x10, 故f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2). 所以函数y= 在区间1,2上为减函数, ymax=f(1)=- ,ymin=f(2)=-4.,【补偿训练】(2015连云港高一检测)函数y= x3,4的最大值为_. 【解析】易证y= 在3,4上单调递减, 所以ymax=2+ =7. 答案:7,类型四函数最值的应用 【典例】1.某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车,销售t辆该品牌车的利润(单位:万元)分别为L1=-t2+21t和L2=2t.若该公司在两地共销售15辆车,则能获得的最大利润是万元.,2.(2015扬州高一检测)某产品生
14、产厂家根据以往的销售经验得到 下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x(百台),其总成本为 G(x)(万元),其中固定成本为2.8万元,并且每生产1百台的生产成本 为1万元(总成本=固定成本+生产成本).销售收入R(x)(万元)满足: R(x)= 假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列问题: (1)写出利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入-总成本). (2)工厂生产多少台产品时,可使盈利最多?,【解题探究】 1.典例1中自变量t取整数还是实数? 提示:t表示车辆数,所以t只能取整数. 2.典例2中的利润函数在不同的区间上解析式一致吗?如何求其最大值?
15、提示:不一致,函数属于分段函数;分别求出每一段上的最大值,再取其中的最大数作为函数的最大值.,【解析】1.设在甲地销售x辆,在乙地销售(15-x)辆, 设销售利润为L,则 L=-x2+21x+2(15-x) =-x2+19x+30 所以,当x=9或x=10时,L取最大值为120. 答案:120,2.(1)由题意得G(x)=2.8+x, 所以f(x)=R(x)-G(x) (2)当x5时,因为函数f(x)单调递减,所以f(x)f(5)=3.2(万元), 当0 x5时,函数f(x)=-0.4(x-4)2+3.6, 当x=4时,f(x)有最大值为3.6(万元), 所以当工厂生产4百台产品时,可使赢利最
16、大为3.6万元.,【延伸探究】典例2条件不变,求盈利最多时每台产品的售价. 【解析】由(2)知当x=4时盈利最大,此时收入为R(4)=10.4,所以 此时售价为 =2.6(万元/百台)=260(元/台).,【方法技巧】解答实际问题的步骤 (1)审题:审读实际问题,找出已知条件,未知条件,确定自变量和因变量的条件关系. (2)建模:建立数学模型,列出函数关系式. (3)求解:分析函数性质,利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围). (4)回归:数学问题回归实际问题,写出答案.,【变式训练】(2015福州高一检测)某特产经营店销售某种品牌蜜饯,蜜饯每盒进价为8元,预计这种蜜饯以每盒20
17、元的价格销售时该店一天可销售20盒,经过市场调研发现每盒蜜饯的销售价格在每盒20元的基础上每减少一元则增加销售4盒,每增加一元则减少销售1盒,现设每盒蜜饯的销售价格为x元. (1)写出该特产店一天内销售这种蜜饯所获得的利润y(元)与每盒蜜饯的销售价格x的函数关系式. (2)当每盒蜜饯销售价格x为多少时,该特产店一天内利润y(元)最大,并求出这个最大值.,【解题指南】(1)根据“利润=总收益-总成本”构建解析式; (2)分段求函数最大值,最后综述. 【解析】(1)当0x20时,y=20+4(20-x)(x-8)=-4x2+132x-800, 当20x40时,y=20-(x-20)(x-8)=-x
18、2+48x-320, 所以,(2)当0x20时,y= 所以当x=16.5时,y取得最大值289元; 当20x40时,y=-(x-24)2+256,所以当x=24时,y取得最大值256元. 综上所述,当蜜饯价格是16.5元时,该特产店一天的利润最大,最大值为289元.,【补偿训练】某市一家报刊摊点,从该市报社进该市的晚报价格是每份0.40元,卖出价格是每份0.60元,卖不掉的报纸以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(按30天计算)里,有18天可卖出400份,其余12天只能卖出180份.摊主每天从报社进多少晚报,才能使每月获得的利润最大(设摊主每天从报社进晚报的份数是相同的)?,【解析】设每天从报社进x份(180 x400且xN*),每月获利y元,则 y=0.2(18x+12180)-0.3512(x-180) =-0.6x+1188(180 x400且xN*). 因为y=-0.6x+1188在180,400上是单调减函数, 所以当x=180时,函数取得最大值 ymax=-0.6180+1188=1080. 所以摊主每天从报社进晚报180份,才能使每月获得的利润最大.,易错案例 由函数最值求参数 【典例】若函数f(x)=x2-6x+m在区间2,+)上的最小值是-3,则 实数m的值为_.,【失误案
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