高二数学小结复习排列组合、二项式定理 人教版

1、 小结复习 排列组合、二项式定理知识网络本章知识内容不算多，体系性较强，概念、定理之间的内在联系密切。加法原理乘法原理排列排列数排列数公式阶乘运算组合组合数组合数公式组合数两个性质（a+b）n二项式定理二项展开式二项式展开式通项Tr+1二项式系数等系数项定理最大系数项定理扬辉三角形二项式展开 系 数二项式系数之和2n方法小结一排列组合应用问题的题型分类和解题方法最基本的思路有两种：直接法和间接法。运用直接法往往要分类讨论（要做到不重不漏）；当分类情况比较多时，改用间接法（排除法）较好。但两个原理是基本，要分清是分类还是分步，分类与分步的特征是彼此独立与相互依赖。1相邻问题：用“捆绑”法。即把要

2、求相邻的所有元素捆绑为一个整体，将这个整体视为同一个元素，与其它各元素再进行排列，同时应注意相邻元素间也存在排列顺序。2不相邻问题：用插空法。优先排列不要求间隔的其它元素，然后把要求不相邻的元素插入相邻元素的空档（包括两端）3定位排列问题：通常是优先法。优先排列指定位置上的特殊元素，然后再排列其它元素。“某元素不得排入某位置“，实际上就是”该元素必须排入除某位置以外的其它位置”, 很多数字排列问题，实际上属于定位排列，必须注意“0不能排在最高位”这个隐含规定。4定序排列问题：用全部元素的总排列数除以这几个元素的全排列数。（对称法）5标号排列问题：在排列问题中，元素和排列位置都编有固定号码，同时

3、存在附加条件。一般采用直接法：直接按题目中的限制条件把元素一一排入，再用乘法原理求解。如编号为1、2、3、4的4名同学，分别坐在编号为我1、2、3、4的4个座位上，那么人与座位号码不相同的坐法有多少种？（解答：3319种）6分组排列问题（分配问题）根据各组的元素数量，依次从总数中抽取组合，然后用乘法原理求解。注意在分组排列中各组之间一般是无序的。因此，当某几个组的元素数目相等时，必须在计算结果中除以这几个数全排列数。此外，从题型上还可以总结有数字排列问题、几何问题等等。二、二项式定理1通项公式 (r0，l，n)集中体现了二项展开式中的指数。项数、系数的变化，是二项式定理的核心它解决：求展开式的

4、某些特定项(如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数以及数、式的整除使用时应注意：通项公式是表示“r1”项，而不是第r项；通项公式中a和b的位置不能颠倒；展开式中第rl项的二项式系数与第r1项的系数不同，具体求各项系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，避免出差错通项公式中含有a，b，n，r，Trl五个元素，只要知道其中四个元素，就可以求出第五个元素在有关二项式定理的问题中，常常遇到知道这五个元素的若干个(或它们之间的关系)，求另外几个元素的问题这类问题一般是利用通项公式，把问题归结为解方程(组)或不等式(组)，这里要注意n为正整数，r为非负数，且rn2用组合

5、思想方法理解的展开式中的系数的意义：为了得到展开式的系数，可以考虑在(ab)(ab)(ab)这n个括号中取r个，则这种取法种数即为的系数这种思想方法对于求多项展开式中某一项的系数及“构造法”证明某些组合恒等式都是很有用的3二项式定理的应用主要是通过构造二项式定理的模型来完成对于组合等式的证明要注意n的奇偶性；逆用二项式定理要对数、式进行适当地配凑；对于整除(或求余数)问题，证明能被N整除，往往需要把底M处理，变成一大一小的两个数(式)的和或差，使底数M分离模数(即除数N)的倍数，拆成含有N的二项式的形式；在二项式定理中，如果令bx，则二项式定理变成函数的形式，从而使二项式与函数联系起来，使得求

6、二项式的各项系数和化归为求函数值问题如各项系数的和为，奇数项的系数和为，偶数项的各系数和为等4求展开式某些项的系数和，通常用“赋值法”。典型例题例1、一座山的南坡有山路三条，北坡有山路三条，均通往山顶，（1）从南坡上山，再由北坡下山；（2）下山时不走原来的上山的路；（3）任意选择上、下山的路线，向从上山到下山，各有几种不同的走法。解：（1）分步完成：第一步上山有3种走法。 第二步下山有3种走法。 由乘法原理知共有：33=9（种） （2）分步完成：第一步上山有6种走法。 第二步下山有5种走法。 由乘法原理知共有：65=30（种）。 （3）分步完成：第一步上山有6种走法。 第二步下山有6种走法。

7、由乘法原理知共有：66=36（种）反思回顾：在分析问题时，首先要弄清要完成的事是什么？然后要搞清是分类问题还是分步问题，从而正确运用两个基本原理例2、将3封不同的信投入4个不同的信箱，有多少种不同的投法？4名学生报名参加数学、物理、化学三个课外兴趣小组，有多少种不同的报名方法？解：每一封信都有4种不同的投法，所以由乘法原理可知共有444=43种不同的投法。每名学生都可以报名参加数学、物理、化学三个兴趣小组中的任一个，所以由乘法原理可知共有：3333=34种不同的报名方法。例3、从1，2，3，9，这九个自然数中，任取3个组成数组，并且，那么可组成不同的数组多少个？分析：要考虑所取元素是“无序”还

8、是“有序”，一旦从9个数中取出3个数来，这3个数的顺序就被唯一确定下来不必再排。因此共个，要理解排列与组合的关系。解：反思回顾：把本例中划线部分改为，且呢？共个，题目类型为“先组合后排列”。例4、有一辆客车和三辆货车同时去某地，客车不在车队的首位，问有多少种不同的排法？分析：这是有限制条件的排列，习惯上叫做“受限排列”。受限排列问题是与元素的取法或元素所放位置有关，因而有些元素是“受限元素”，有些位置是“受限位置”。但是，在受限排列问题中不是同时有“受限元素”和“受限位置”的。解法一：先把受限元素客车放在不是首位的其他三个位置上，有种放法；再把一般元素货车放在剩下来的三个位置上，有种不同的方法

9、。根据乘法原理，共有=18种不同的排法。解法二：先从一般元素货车中派出一辆占领车队的首位，有种派法；再把受限元素客车和剩下的两个一般元素货车共三辆排在后面三个位置，有种排法。根据乘法原理，共有=18种不同的排法。解法三：先把一般元素三辆货车排成有序排列，共有种排法；再把受限元素客车插进去，它不能插在最前面，但可以插在最后面，共有三个位置可插，有种插法。根据乘法原理，共有=18种不同的排法。解法四：先只当没有任何限制条件，把四辆车排成一列，有种排列，其中包括了受限元素客车在车队首位的种排列，因此符合条件的排列数有=18种。所以共有18种不同的排法。反思回顾：上述解法的思路各不相同，但归纳起来有以

10、下两种求法：（1）直接求法：把符合限制条件的排列数直接求出来，如解法一、二、三。直接求法中有着眼于元素的，如解法一、三，也有着眼于位置的，如解法二。（2）间接求法（又称淘汰法）：先不考虑限制条件，求出所有排列的种数，再从中扣除不符合限制条件的排列种数，间接求得符合条件的排列种数，如解法四。这两种方法，哪一个比较简便，要根据具体的题目做出选择。例5、某小组6个人排队照相留念(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？(4)若排

11、成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？(6) 若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，男女生交叉排列，问各有多少种不同的排法？(7)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？分析 (1)分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第36个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题(2)先确定甲的排法，有P21种；再确定乙的排法，有P41种；最后确定其他人的排法，有P44种因为这是分步问题，所以用乘法原理，有P21P41P44种不同排法(3)采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一

12、个人，这样有P55种不同排法然后甲、乙两人之间再排队，有P22种排法因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有P55P22种排法(4)甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P66种排法(5)采用“插入法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子，如_女_女_女_，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了这样男生有P43种排法，女生有P33种排法因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有P43P33种排法(6) 先排3名男同学，有种排法，共有4个空档可插 1 男 2 男 3 男 4，依题意，女生只能排在1-3或2-4的空档内，故共有2=72种不同的排法。(7)符合

13、条件的排法可分两类：一类是乙站排头，其余5人任意排有P55种排法；一类是乙不站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的4人中任选1人有P41种排法，排尾从除乙以外的4人中选一人有P41种排法，中间4个位置无限制有P44种排法，因为是分步问题，应用乘法原理，所以共有P41P41P44种排法解 (1)P66=720(种)(2)P21P41P44=2424=192(种)(3)P55P22=1202=240(种)(4)P66=360(种)(5)P43P33=246=144(种)(6) 2=72(种)(7)P55+P41P41P44=120+4424=504(种)或法二：(淘汰法)P66-2

14、P55+P44=720-240+24=504(种)反思回顾：(1)“相邻”问题，n个元素排成一排，其中有m个元素相连，方法是把相邻元素排列好，当作一个元素去排列，其排法数为 (2) “不相邻”问题中，n个元素排成一行，其中有m个元素两两不相邻。不邻的问题是，方法是把其它元素先排好，不邻元素再去插缝。其排法数为 (3) “相间”问题中，若两类元素个数相同(都是n个)，则排列总数为；若两类元素个数不同(一类n个，另一类n+1个)，则排列总数是(4) “次序”一定问题中，n个元素排成一行，其中有m个元素次序一定的排法数是/(5) “定位”排列问题，一般采用“优先法”解答。例6、用1，2，3，4，5，

15、6这6种数字，组成一个4位数。如果有且只有两个数字相同，如1232。这样的四位数共有多少个？解：先从四位数的四个位置中选两个排重复数字，再从6个元素中选一个占据这两个位置，最后从剩余的5个元素中选两个排在其它两个位置。反思回顾：这是排列组合的综合应用题。大多取先组合后排列的解答形式。本例也可列式为。要理解，“有序”与“无序”可以互相转化，因此要灵活运用排列与组合的定义。例7 用0、1、2、3、4、5等6个数字，可以组成满足下列条件且无重复数字的数多少个？能被3整除的5位数。百位大于十位，十位大于个位的三位数。包含数字1和2，且1在2左边的四位数。解：分二类：第一类，五位数由1、2、3、4、5组

16、成有；第二类，由0、1、2、4、5组成的有（或）。故共有216个四位数不包含0有；四位数包含0有，所以共有包含1、2的四位数有，由于1在2的左边，故要除以，因此满足条件的四位数有63个。反思回顾：对于数字排列问题，必须注意“0不允许排在最高位”这个隐含的限制条件。第中，所选的数字的顺序被严格限定，这实际上就是求“从6个数字中选3个数字的组合数”。第问是典型的“定序排列”问题。例8、在一个正方体的各棱、面对角线和体对角线中共有多少对异面直线？分析：一个正方体的各棱、面对角线和体对角线共有28条，要构成异面直线，可先排除共面的情况，即平行或相交的情况。解：一个正方体的各棱、面对角线和体对角线共有2

17、8条，底面、侧面、和对角面共12个面的每个面中，任两条直线都不能构成异面直线，8个顶点中过每个顶的3条面对角线都不能构成异面直线，故共有异面直线174反思回顾：直接分类比较复杂时，可考虑间接法。几何问题的求解要例9、的展开式中，前3项的系数组成等差数列，求展开式中的二项式系数。分析：把已知条件先转化为方程，求出，这是二项式定理中的典型问题。解：前3项的系数为。例10、若项的系数为64，求项的系数。解： 反思回顾：函数与方程的思想是数学的基本思想。求“指定项”或其系数等，离不开展开式的通项公式。还如求常数项，有理项，中间项等等。例11、计算 (精确到0.001)。分析：把1.998转化为20.0

18、02或20.999，前者较熟，后者好算。反思回顾：近似计算公式为较小自然数，不能不顾条件硬套公式，影响了精度造成错误。例12、的余数为()A0 B2 C4 D6分析：把48变成471论证含因数47；再把48变成491，论证含因数7。反思回顾：利用二项式展开式能顺利地解决“近似值问题”、“整除性问题”等等。由，试图一次解决两个因子，本题此路不通。若题目改为“的余数为 ,也应想到分两次变形。例13、求展开式中含的项。分析：先看一下多项式是否是一个完全平方式，若是就转化为二项式展开，若不是可以添括号看作是二项式。由于系数的正负是最容易错的，因此尽量保留正号。其中划线部分含，其中含的项为。反思回顾：求

19、多项展开式的指定项，运算较繁容易出错。要先求展开式，再求对应项的代数和。求二项式的积的展开式的指定项，也是大致如此。例14、求展开式中含的项。解法一：解法二：（借鉴二项式定理的推导思想）分三步：第一步，从6个括号中选3个括号，抽取3个x有第二步，从剩下的3个括号中再抽取2个y有第三步，从最后一个括号中抽取1个z有共有60反思回顾：解法一：代数法，把两项看成一项，利用二项式定理展开。解法二：组合法，借鉴二项式定理的推导思想，从6个括号中各选一项，凑成，这样将原问题转化为组合数的推算问题。例15、化简。解：设反思回顾：要熟悉的展开式的规律，并能灵活地用于求和。例16某地现有耕地10000公顷，规划

20、10年后粮食单产比现在增加22，人均粮食占有量比现在提高10，如果人口年增长率为1，那么耕地平均年至多只能减少多少公顷？（精确到1）解：设耕地平均每年至多减少公顷，该地人口现有人，粮食单产为，则现在的人均粮食占有量为，10年后的粮食总产量为10年后的总人口为依题意有解得答：按规定，该地区耕地平均每年至多只能减少约4公顷。练习一 一、选择题： 1、从数集M=1，2，3到数集N=1，2，3，4的不同映射的个数是（ ） A、81 B、64 C、24 D、12 2、某城市的电话号码，由六位数改为七位数（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话门数是（ ）A、81105 B、9106 C、896 D、9

21、876543 3、(x-m) (x-m-1)(x-9) （x, mN且xm）用排列数表示是（ ） A、 B、 C、 D、 4、设x N且x55，则 (55-x) (56-x)(69-x)用排列数表示是（ ） A、 B、 C、 D、 5、用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于5000的偶数共有（ ） A、60个 B、48个 C、36个 D、24个 6、用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的四位数，则在这些四位数中，偶数的个数是（ ） A、36个 B、60个 C、96个 D、120个 7、五名男生和两名女生排成一排照相，若男生甲必须站在左端或右端，两名女生必须站在一起，

22、那么可能的各种排法共有（ ） A、480种 B、360种 C、240种 D、120种二、填空题： 8、从a, b, c三个不同元素中，取出两个不同元素的排列有_。 9、用0，1，2，3这四个数字组成个位数字不为1的没有重复数字的四位数，共有_个。 10、四人跑4100米接力，其中甲不跑第一棒，乙不跑最后一棒，共有_种不同的组队方法。 11、由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的数共有_个。12、由1，4，5，x四个数字组成没有重复数字的四位数，若所有这些四位数的各数位上的数字之和288，则数x等于_。 三、解答题： 13、七位同学排队照相留念。 （1）若分成前后两排照相，前排3人，后排4人，有多少中不同的排法？ （2）在题（1）的情况下，甲必须站在前排，乙必须站在后排，又有多少种不同的排法？ 14、在3000到9000之间