高考数学一轮复习 不等式 第7课时 不等式的应用教学案

1、第7课时 不等式的应用基础过关1不等式始终贯穿在整个中学教学之中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数的定义域，值域的确定，三角、数列、立体几何，解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切关系2能够运用不等式的性质、定理和方法分析解决有关函数的性质，方程实根的分布，解决涉及不等式的应用问题和转化为不等式的其它数学问题典型例题例1.若关于x的方程4xa2xa10有实数解，求实数a的取值范围.解:令t2x(t0)，则原方程化为t2ata10，变形得变式训练1：已知方程sin2x4sinx1a0有解，则实数a的取值范围是 （ ）A3，6B2，6C3，2D2，2解:B

2、例2. 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出设箱体的长度为a米，高度为b米已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比现有制箱材料60平方米问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y，其中k0为比例系数.依题意，即所求的a，b值使y值最小.根据题设，有4b2ab2a60(a0，b0)，得b(0a30) 于是 y当a2时取等号，y达到最小值.这时a6，a10(舍去).将a6代入式得b3.故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中

3、该杂质的质量分数最小.解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大.由题设知 4b2ab2a60(a0，b0)，即 a2bab30(a0，b0).因为 a2b2，所以 +ab30，当且仅当a2b时，上式取等号.由a0，b0，解得0ab18.即当a2b时，ab取得最大值，其最大值为18.所以2b218.解得b3，a6.故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小变式训练2：一批物资要用11辆汽车从甲地运到360千米外的乙地，若车速为v千米/小时，两车的距离不能小于()2千米，运完这批物资至少需要（ ）A10小时 B11小时C12小时 D13小时解:C例3. 已知二次函数yax

4、22bxc，其中abc且abc0.（1） 求证：此函数的图象与x轴交于相异的两个点.（2） 设函数图象截x轴所得线段的长为l，求证：l2.证明:(1)由abc0得b(ac).(2b)24ac4(ac)24ac4(a2acc2)4(a)2c20.故此函数图象与x轴交于相异的两点.(2)abc0且abc，a0，c0.由ab得a(ac)，2.由bc得(a+c)c，.2. l|x1x2|.由二次函数的性质知l(，2)变式训练3：设函数f(x)x22bxc (cb1)，f(1)0，且方程f(x)10有实根(1)证明：3c1且b0；(2)若m是方程f(x)10的一个实根，判断f(m4)的正负，并加以证明证

5、明:(1)又cb1，故又方程f(x)10有实根，即x22bxc10有实根故4b24(c1)0，即(c1)24(c1)0c3或c1由由(2)f(m)10cm1c4m43cf(m4)(m4c)(m41)0f(m4)的符号为正例4. 一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲乙两地相距S(千米)，水速为常量p(千米/小时)，船在静水中的最大速度为q(千米/小时)(qp)，已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为k 把全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v的函数，并求出这个函数的定义域 为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？解:(1) ykv2，v

6、(p，q(2) i) 2pq时，船的实际前进速度为p； ii) 2pq时，船的实际前进速度为qp变式训练4：某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次某班有48名同学，老师们打算组织同学们集体去游泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元，若使每个同学游泳8次，每人最少交多少钱？解:设购卡x张，总费用y元y240(x)3840x8时，ymin3840 38404880(元)答：每人最少交80元钱归纳小结小结归纳不等式的应用主要有两类： 一类是不等式在其它数学问题中的应用，主要是求字母的取值范围，这类问题所进行的必须是等价转化注意沟通各知识点之间的内在联系，活用不等式的概念、方法