高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2正弦函数余弦函数的性质周期性课堂导学案新人教A版必修

1、1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（周期性）课堂导学三点剖析1.周期的概念及求函数的周期【例1】求下列函数的周期：（1）y=sin2x;(2)y=3cos;(3)y=2sin(2x-).思路分析：本题主要考查y=Asin(x+).y=Acos(x+)的周期的求法.利用周期函数定义及诱导公式求函数的周期.解：（1）由于f（x+）=sin2(x+)=sin(2x+2)=sin2x=f(x)，所以由周期函数的定义知，原函数的周期为.(2)由于f(x+4)=3cos12(x+4)=3cos(+2)=3cos=f(x),所以，由周期函数的定义知，原函数的周期为4.(3)由于f(x+)=2sin2(x+

2、)-=2sin2x+2-=2sin(2x-)=f(x)，由周期函数的定义知，原函数的周期为.温馨提示 由上例可以看到函数的周期仅与x的系数有关.一般地,y=Asin(x+)或y=Acos(x+)（其中A、为常数，A0,0）的周期T=2，若y=f(x)的周期为T，则y=f(x)的周期为.2.周期函数概念的理解【例2】判断下列函数是否是周期函数？如果是，求出它的一个周期.(1)y=lgx;(2)y=sinx.思路分析：判断一个函数是否是周期函数，须根据定义，看是否存在一个常数T，使得f(x+T)=f(x).解：（1）取定义域内一个值x0=1.由于f(x0+T)=lg(x0+T)=lg(1+T)lg

3、1(T0的常数)，于是f(x)=lgx不是周期函数.(2)对定义域内任一x，有sin(x+2k)=sinx,(kZ,k0),y=sinx是周期函数，周期为2k(kZ,k0).温馨提示 判断一个函数是周期函数，关键是能找到常数T（T0），使得对定义域内的任一x，有f(x+T)=f(x).判断一个函数不是周期函数，只要在定义域内找一个特殊值x0，验证f（x0+T）f(x0).就可以说明f(x)不是周期函数.3.周期函数的定义【例3】存在T=使sin(+)=sin成立，所以是y=sinx的一个周期.f(2x+T)=f(x)对定义域内的任意x都成立，所以是f(x)的周期.(T0)周期函数不一定有最小正

4、周期.周期函数的周期不止一个.以上命题是真命题的是.答案：温馨提示 理解周期函数的概念要注意以下三点：(1)存在一个常数T0;(2)对其定义域内的每一个x值，x+T属于定义域;(3)当x取定义域内每个值时，f(x+T)=f(x)恒成立.各个击破类题演练1求下列函数的最小正周期.(1)y=3sin(2x+);(2)y=2cos(x-).解：(1)T=.(2)T=2.变式提升1求y=|sinx|的周期.解：将y=sinx的图象中y0的部分保持不变，将y0部分的图象翻折到x轴的上方，即得y=|sinx|的图象，(如下图所示).由y=|sinx|的图象知其周期为.温馨提示 由数形结合法可知y=|Asi

5、n(x+)|（A、是常数，0）的周期为y=Asin(x+)（A、为常数，0）的周期的一半.类题演练2下列四个函数为周期函数的是（ ）A.y=3 B.y=3x0 C.y=sin|x| xR D.y=sin1x xR且x0答案：A变式提升2已知定义在实数集上的函数f(x)始终满足f(x+2)=-f(x).判断y=f(x)是否是周期函数.若是周期函数，求出它的一个周期.解：f(x+4)=f2+(x+2)=-f(x+2)=-f(x)=f(x).f(x)是周期函数，且周期是4.类题演练3函数y=f(x)，x-2,2图象如下图所示,f(x)是周期函数吗？解析：在周期函数y=f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x+kT(kZ且k0)也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或者无下界.答案：不是变式提升3函数y=asinx的图象是怎样的呢？是否是周期函数？若是，它的最小正周期又是什么呢？解析：y=asin