高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示 1.2.2 函数的表示法 第二课时 分段函数与映射学案（含解析）新人教A版必修

1、第二课时分段函数与映射分段函数提出问题某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5千米以内，票价2元；(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站问题1：从起点站出发，公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)有函数关系吗？提示：有函数关系问题2：若有函数关系，函数的表达式是什么？提示：y问题3：x与y之间有何特点？提示：x在不同区间内取值时，与y所对应的关系不同导入新知如果函数yf(x)，xA，根据自变量x在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关系，称这样的函数为分段函数化解疑难分段函数的

2、三要点(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围(2)一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式(3)求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集.映射提出问题Ax|x是三角形，Bx|x是圆对应关系：每一个三角形都对应它的外接圆问题1：从集合A到集合B能构成函数吗？提示：不能问题2：从集合A到集合B的对应有什么特点？提示：对于集合A中的任何一个三角形，在集合B中都有唯一的外接圆与之对应导入新知映射的定

3、义设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射化解疑难映射与函数的区别与联系名称区别与联系函数映射区别函数中的两个集合A和B必须是非空数集映射中的两个集合A和B可以是数集，也可以是其他集合，只要非空即可联系函数是一种特殊的映射；映射是函数概念的推广，但不一定是函数分段函数求值问题例1已知函数f(x)(1)求f(5)，f()，f 的值；(2)若f(a)3，求实数a的值解(1)由5(，2，(2,2)，(，2，知f(5)(5)14，f()()22()32.f 1，且22

4、，不合题意，舍去当2a2时，a22a3，即a22a30.所以(a1)(a3)0，得a1，或a3.1(2,2)，3(2,2)，a1符合题意当a2时，2a13，即a2，符合题意综上可得，当f(a)3时，a1，或a2.类题通法1求分段函数的函数值的方法先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值，直到求出值为止2求某条件下自变量的值的方法先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验活学活用已知函数f(x)(1)求f(f(2)的值；(2)求f(a21)(aR)的值；(3)当4x3时，求f(x)的值域解

5、：(1)f(2)12(2)5，f(f(2)f(5)45221.(2)当aR时，a2110，f(a21)4(a21)2a42a23(aR)(3)当4x0时，f(x)12x，1f(x)9；当x0时，f(x)2；当0x3时，f(x)4x2，5f(x)4.故当4x3时，函数f(x)的值域是(5,9.分段函数的图象及应用例2(1)如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为_，值域为_(2)已知函数f(x)1(2x2)用分段函数的形式表示该函数；画出该函数的图象；写出该函数的值域解(1)由图象可知，第一段的定义域为1,0)，值域为0,1)；第二段的定义域为0,2，值域为1,0所以该分段函数的定义域为1,2

6、，值域为1,1)(2)当0x2时，f(x)11；当2x0时，f(x)11x.f(x)函数f(x)的图象如图所示，由知，f(x)在(2,2上的值域为1,3)答案(1)1,21,1)类题通法分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏活学活用已知函数yf(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式解：题图中给定的图象实

7、际上是一个分段函数的图象，对各段对应的函数解析式进行求解时，一定要注意其区间的端点根据图象，设左侧的射线对应的函数解析式为ykxb(x1)点(1,1)，(0,2)在射线上，解得左侧射线对应的函数的解析式为yx2(x3时，函数的解析式为yx2(x3)再设抛物线对应的二次函数解析式为ya(x2)22(1x3，a0)点(1,1)在抛物线上，a21，a1.1x3时，函数的解析式为yx24x2(1x3)综上可知，函数的解析式为y映射的概念例3判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射：(1)AN*，BN*，对应关系f：x|x3|；(2)A平面内的圆，B平面内的矩形，对应关系f：作圆的内接矩形；(3)A高一

8、(1)班的男生，BR，对应关系f：每个男生对应自己的身高；(4)Ax|0x2，By|0y6，对应关系f：xyx.解(1)A中元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值为0，而0B，故不是映射(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射(3)对A中任何一个元素，按照对应关系f，在B中都有唯一的元素与之对应，符合映射定义，是映射(4)因为A中每一个元素在f：xyx作用下对应的元素构成的集合Cy|0y1B，符合映射定义，是映射类题通法判断一个对应是否为映射的两个关键点(1)对于A中的任意一个元素，在B中是否有元素对应；(2)B中的对应元素是否是唯

9、一的注意“一对一”或“多对一”的对应都是映射活学活用已知A1,2,3，9，BR，从集合A到集合B的映射f：x.(1)与A中元素1相对应的B中的元素是什么？(2)与B中元素相对应的A中的元素是什么？解：(1)A中元素1，即x1，代入对应关系得，即与A中元素1相对应的B中的元素是.(2)B中元素，即，解得x4，因此与B中元素相对应的A中的元素是4.典例(12分)如图所示，已知底角为45的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BFx cm，试写出左边部分的面积y(cm2)关于x(

10、cm)的函数解析式，并画出大致图象规范解答过点A，D分别作AGBC，DHBC，垂足分别是G，H.因为ABCD是等腰梯形，底角为45，AB2 cm，所以BGAGDHHC2 cm.又因为BC7 cm，所以ADGH3 cm.(2分)活学活用某汽车以52 km/h的速度从A地行驶到260 km远处的B地，在B地停留1.5 h后，再以65 km/h的速度返回A地，试将汽车离开A地后行驶的路程s表示为时间t的函数解：因为260525,260654，所以，当0t5时，s52t；当5t6.5时，s260；当6.5t10.5时，s26065(t6.5)所以s随堂即时演练1下列对应关系f中，能构成从集合A到集合B

11、的映射的是()AAx|x0，BR，f：x|y|x2BA2,0,2，B4，f：xyx2CAR，By|y0，f：xyDA0,2，B0,1，f：xy解析：选D对于A，集合A中元素1在集合B中有两个元素与之对应；对于B，集合A中元素0在集合B中无元素与之对应；对于C，集合A中元素0在集合B中无元素与之对应故A，B，C均不能构成映射2已知函数f(x)则正确的函数图象是()解析：选A当x1时，y0，即图象过点(1，0)，显然D错；当x0时，y1，即图象过点(0,1)，C错；当x1时，y2，即图象过点(1,2)，B错所以选A.3若f(12x)(x0)，那么f_.解析：令12xt，则x(t1)，f(t)1，即

12、f(x)1，f 16115.答案：154函数f(x)若f(x)3，则x的值是_解析：当x1时，x23，得x1，舍去；当1x2时，x23得x或x(舍去)答案：5.如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)(1)求f(f(0)的值；(2)求函数f(x)的解析式解：(1)直接由图中观察，可得f(f(0)f(4)2.(2)设线段AB所对应的函数解析式为ykxb(k0)，将与代入，得y2x4(0x2)同理，线段BC所对应的函数解析式为yx2(20时，有一个解x2.综上，f(x) x有3个解答案：3三、解答题9已知函数f(x)(1)求f(f(f

13、(5)的值；(2)画出函数的图象解：(1)54，f(5)523.30，f(f(5)f(3)341.014，f(f(f(5)f(1)12211，即f(f(f(5)1.(2)图象如右图所示10.在边长为4的正方形ABCD的边上有一动点P，从B点开始，沿折线BCDA向A点运动(如图)，设P点移动的距离为x，ABP的面积为y，求函数yf(x)及其定义域解：如题图，当点P在线段BC上，即0x4时，y4x2x；当P点在线段CD上，即4x8时，y448；当P点在线段DA上，即8x12时，y4(12x)242x.yf(x)且f(x)的定义域是0,1211.如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动设P点移动的路程为x，ABP的面积为yf(x)(1)求ABP的面积与P移动的路程的函数关系式；(2)作出函数的图象，并根据图象求f(x)的最大值解：(1)函数的定义域为(0,12)当0x4时，Sf(x)4x2x；当4x8时，Sf(x)448；当8x12时，Sf(x)4(12x)242x.函数解析式为f(x)(2)图象如图所示从图象可以看出f(x)max8.12设A1,2,3，m，B4,7