大学生力学竞赛试题及答案

1、大学生力学竞赛模拟题 -江苏技术师范学院一、连日大雨，河水猛涨，一渡船被河水冲到河中央，摆渡人眼疾手快，立刻从岸上拉住船上的缆绳以便拖住渡船，可惜水流太急，渡船仍然向下游冲去。这时，摆渡人看到一木桩，并立刻将缆绳在木桩上绕了几圈，就拉住了冲向下游的渡船。（1） 本问题与力学中的什么内容有关系（2） 利用木桩拉住渡船，则摆渡人少使多少力？（3） 如果水对渡船的推力为20kN，而摆渡人的最大拉力为500N，木桩与缆绳之间的摩擦系数，则为了能使渡船停止运动至少将缆绳在木桩上绕几圈？若缆绳横截面面积为300，木桩直径为20cm，木桩至渡船的缆绳长10m，弹性模量E=100GPa，忽略木桩至手拉端绳的变

2、形，试计算缆绳的总伸长量。题1图一、解：（1）、关键词：摩擦，轴向拉伸（2）、设手拉端的拉力为，船的拉力为，缆绳和木桩接触的各处有径向压力和切向摩擦力作用，如图（1-a）所示。任取一微段（图（1-b），由微段的平衡条件 （1-a） （1-b） （1） （2）对于微小角度，可令 ，并略去高阶微量，即得 （3）分离变量，积分得 （4）其中积分常数由缆绳两端的边界条件确定，有， ； 所以，绕在木桩上缆绳任一截面的拉力为 （5）所以 ，其中为缆绳绕过木桩的角度。（3）、将，f = 0.3代入式（5），得解得 rad所以至少将缆绳绕两圈。当，考虑微段（图（1-b）的伸长 （6）则环绕部分的缆绳伸长量 （

3、7）代入已知数据计算的，木桩至船段的缆绳伸长量 （8）总变形量 二、一由钢板卷制的薄壁圆桶，高度为h，在接头处存在一缝隙，在外力偶的作用下圆桶绕其轴线做旋转运动，内有一些边长为e的轻质块体，当圆桶达到一定转速时，块体就从缝隙中滑出。（1）试分析该薄壁圆桶在旋转时可能发生的变形和所涉及到的力学知识。（2）取其圆环截面如图所示，质量为m，平均半径为R，横截面为矩形（tR），材料的应力应变关系为，其中B为常数。设变形后平面假设仍然成立，当圆环绕圆心O在其平面内从静止开始以匀角加速度转动时，问当角速度为多大时，块体滑出？ 题2图 二、解：（1）、该薄壁圆桶在旋转时，薄壁在离心力的作用下发生弯曲变形。关

4、键词：惯性力，平面弯曲，能量法。 题（2-a）（2）、由对称性知，取半个圆环为研究对象（如图（2-a）所示），当转动角速度为时，由惯性离心力引起的圆环内截面的弯矩为 （1）变形后平面假设仍然成立，故有 （2）设 时， 于是 （3）将代入上式，得 （4）由单位载荷法 ，其中 （5）所以缝隙A处的相对位移 （6） 所以解得 （7） 三 四叶玫瑰线你能一笔画出图示曲线吗？如图所示为一四叶玫瑰曲线，其极坐标表达式为。请你进行分析计算和设计：（1）写出图示四叶玫瑰线的直角坐标表达式；（2）利用理论力学知识设计一种机构来画出这一曲线。题3图三、四叶玫瑰线解：（1）对于四叶玫瑰曲线，在直角坐标系中可写成（图

5、3-1） 将代入上式，得 （1）利用三角函数的积化和差公式 可得 （2） 图3-1 图3-2（2）现设计一行星齿轮机构来画此曲线。如图3-2所示的行星齿轮机构，小齿轮在固定内齿轮内作纯滚动，其中内齿轮的半径为，小齿轮的半径为，画笔所在点离小齿轮圆心的距离为。随系杆的转动，其点的轨迹为 利用小齿轮的纯滚动条件，有，代入上式可得 作变换，令，上式可改写为 （3）对照式（2）和式（3）中的系数，有， ， 联解之，得 ， ， （4）做一个如图3-2所示的行星齿轮绘图机构，取式（4）中的参数，即可画出的四叶玫瑰曲线。四 手指转笔在你思考问题时有用手指转笔的习惯吗？请你用下述刚体简化模型，进行分析计算：（

6、1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）求出笔绕手指无滑动转一周中，手指作用于笔的正压力和摩擦力的大小；（3）给出笔与手指间的摩擦因数随AC长度x变化应满足的条件。手指转笔的刚体简化模型：如题4图所示，设手指为半径为的圆柱，笔为一回转半径为的细直杆（对质心C转动惯量为）。设手指保持不动，开始时笔在距质心C距离为的A处与手指相切，初角速度为，设，且杆始终在垂直于手指的同一平面内转动，忽略重力的影响。 题4图四 手指转笔问题解：（1）关键词：平面运动学分析，刚体平面运动微分方程，机械能守恒，。（2）设某瞬时杆与圆柱相切于点（圆柱上的点），此时杆绕旋转的角速度为，质心C与A距离为x。杆对A的转动惯

7、量为，依题意，A为杆此刻的速度瞬心，由机械能守恒可得 故 （1）设杆受压力和摩擦力，如图4-1（a）所示，分别为质心加速度的径向和切向分量，为杆转动的角加速度。 （a） （b） 图4-1和两点瞬时重合，相对于的加速度与相对于的加速度等值反向，而，由指向。故有，由指向，且点的加速度无切向分量，而由基点法可知 （2）方向如图4-1b所示，其中 ，。代入式（2）后，投影得， （3）根据刚体平面运动微分方程，可列出 （4）联立求解式（3）和式（4），可得 （5） （6）（3）、分析摩擦因数应满足的条件：若使杆始终不与圆柱脱离，则摩擦因数应满足 （7）因 ，对，有，（）。则故 五 小虫在转盘上爬行一光滑

8、水平面上的圆盘，中心O用无摩擦轴固定，圆盘对此转轴的转动惯量为。在圆盘上P点有一个质量为m的小虫，处于静止状态，如题5（a）图所示。小虫在转盘上爬行将引起转盘的转动。请你分析计算。（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）在时刻小虫开始爬行，当我们在转盘中看到小虫的轨迹如题5图（b）所示时（假设小虫相对转盘逆时针运动），试求出转盘转过的角度。（2）若我们在转盘中看到小虫的轨迹如题5图（c）所示的圆弧时，试求出转盘转过的角度，并求出当小虫沿圆弧爬行一周时，转盘转过的角度。 （a） （b） （c） 题5图五、小虫爬行问题解答解：(1) 关键词：点的合成运动，动量矩守恒。（2） 取小虫为动点，定参考系，动参考系固连在转盘上，与转盘一起转动。根据题中提供的条件，转盘和小虫的重力平行于转轴，系统对转轴O的动量矩守恒。设在时刻，为小虫相对于定参考系的速度（即绝对速度），为小虫相对于转盘参考系的速度，转盘的角速度为，r 为小虫相对于定参考系的位矢，为小虫相对于动参考系的位矢，牵连速度。如图3、图4所示。根据点的速度合成公式，有 （1）由于系统对转轴的动量矩守恒，有 （2）在此问题中，可以得到 进一步有 （3）设与的夹角为，则上式可以化为 （4）所以，转盘转过的角位移为 （5）将式中的用小虫在动参考系中爬行的路程表示，可得转盘转