第二章 第九节.ppt

1、第九节函数模型及其应用,1.三种函数模型之间增长速度的比较,单调递增,单调递增,单调递增,logaxxnax,2.常见的几种函数模型 (1)直线模型:y= _型,图象增长特点是直线式上升 (x的系数k0),通过图象可以直观地认识它,特例是正比例函数 模型y=_. (2)反比例函数模型:y=_型,图象增长特点是y随x的增 大而减小. (3)指数函数模型:y=abx+c(b0,b1,a0)型,图象增长特 点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b1, a0),常形象地称为指数爆炸.,kx+b(k0),kx(k0),(4)对数函数模型:y=mlogax+n(a0,a1,m0)型,图象增长

2、特 点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢(底数a1, m0). (5)幂函数模型:y=axn+b(a0)型,其中最常见的是二次函数 模型:_(a0),图象增长特点是随着自变量的增大, 函数值先减小,后增大(a0).,y=ax2+bx+c,(6)分段函数模型:y= 图象特点是每一段自变 量变化所遵循的规律不同.可以先将其当作几个问题,将各段的 变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的取 值范围,特别是端点.,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.() (2)“指数爆炸”是指数型函数y=abx+c(a0,b0,b1

3、)增长速度越来越快的形象比喻.() (3)幂函数增长比直线增长更快.() (4)不存在x0,使 .(),【解析】(1)错误.当x(2,4)时,x22x. (2)错误.增长越来越快的指数型函数是y=abx+c(a0,b1). (3)错误.幂函数y=xn(01)的增长速度比直线y=x(x1)的增长速度慢. (4)错误.当0a1时,存在x0,有 . 答案:(1) (2) (3) (4),1.某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%,若每年的平均增长率相同(设为x),则以下结论正确的是() (A)x22% (B)x22% (C)x=22% (D)x的大小由第一年的产量确定 【解析】选B.设第一年的产

4、量为a,则a(1+x)2=a(1+44%), (1+x)2=1+44%,解得x=20%.,2.一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的() 【解析】选B.由题意知h=20-5t(0t4),故选B.,3.拟定甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)=0.5m+1(单位:元),其中m0,m表示不大于m的最大整数(如3.62=3,4=4),当m0.5,3.2时,函数f(m)的值域是() (A)1,2,3,4 (B)1,1.5,2,2.5 (C)1,1.5,2.5,3 (D)1.5,2,2.5 【解析】选B.当m0.5,3.2时,

5、m所有可能值为0,1,2,3共4个,故f(m)的值域为1,1.5,2,2.5.,4.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个 月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)= x2+2x+20(万元). 一万件售价是20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该 商品数量为() (A)35万件(B)18万件 (C)22万件 (D)9万件 【解析】选B.利润L(x)=20 x-C(x)=- (x-18)2+142,当x=18 时,L(x)有最大值.,考向 1 一次函数与二次函数模型 【典例1】西部山区的某种特产由于运输原因,长期只能在当地 销售,当地政府对该项特产的销售投资收益为:每年投

6、入x万元, 可获得利润P=- (x-40)2+100(万元).当地政府拟在新的十年发 展规划中加快发展此特产的销售,其规划方案为:在规划前后对 该项目每年都投入60万元的销售投资,在未来10年的前5年中, 每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路,5年修成,通 车前该特产只能在当地销售;公路通车后的5年中,该特产既在,本地销售,也在外地销售,在外地销售的投资收益为:每年投入 x万元,可获利润Q=- (60-x)2+ (60-x)(万元).问从10年的 总利润看,该规划方案是否具有实施价值? 【思路点拨】计算实施规划前后10年的总利润.通过比较总利润的大小,判断规划方案是否具有实施价值.,

7、【规范解答】在实施规划前,由题设P=- (x-40)2+100(万元)知，每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元. 则10年的总利润为W1=10010=1 000(万元). 实施规划后的前5年中, 修建公路的费用为305=150(万元), 又由题设P=- (x-40)2+100知， 每年投入30万元时, 利润P= (万元).,前5年的利润和为 (万元). 设在公路通车后的5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而 用剩下的(60-x)万元投资于外地的销售，则其总利润为 W2=- (x-40)2+1005+( )5 =-5(x-30)2+4 950. 当x=30时,(W2)max=4 95

8、0(万元). 从而10年的总利润为 +4 9501 000, 故该方案有极大实施价值.,【拓展提升】求解一次函数与二次函数模型问题的关注点 (1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错. (2)确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法. (3)解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.,【变式训练】某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润和投资单位:万元).,(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式. (2

9、)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部投入A,B两种产品的生产. 若平均投入生产两种产品,可获得多少利润? 问:如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?,【解析】(1)设A,B两种产品分别投资x万元,x万元,x0,所获 利润分别为f(x)万元、g(x)万元. 由题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2 . 根据图象可解得f(x)=0.25x(x0). g(x)=2 (x0).,(2)由(1)得f(9)=2.25,g(9)= =6. 总利润y=8.25 万元. 设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为y万元. 则y=

10、,0 x18. 令 =t,t0, , 则y= 当t=4时,ymax= =8.5,此时x=16,18-x=2. 当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润,约为8.5万元.,考向 2 指数函数模型 【典例2】一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年 砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10 年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的 ,已知到 今年为止,森林剩余面积为原来的 . (1)求每年砍伐面积的百分比. (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年?,【思路点拨】(1)根据10年的砍伐面积为原来的一半,列方程求

11、 解. (2)根据到今年为止,森林剩余面积为原来的 ,列方程求解. (3)求出第n年后森林剩余面积,根据森林面积至少要保留原面 积的 列不等式求解.,【规范解答】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0 x1)，则 a(1-x)10= a，即(1-x)10= . 解得x=1- . (2)设经过m年剩余面积为原来的 ，则 ,解得m=5. 故到今年为止，已砍伐了5年.,(3)设从今年开始,以后砍了n年, 则n年后剩余面积为 . 解得n15. 故今后最多还能砍伐15年.,【拓展提升】应用指数函数模型应注意的问题 (1)指数函数模型,常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增

12、长问题可以利用指数函数模型来解决. (2)应用指数函数模型时,关键是对模型的判断,先设定模型,再将已知有关数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型. (3)y=a(1+x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解. 【提醒】解指数不等式时,一定要化为同底,且注意对应函数的单调性.,【变式训练】现有某种细胞100个,其中有占总数 的细胞每小 时分裂一次,即由1个细胞分裂成2个细胞,按这种规律发展下去, 至少经过多少小时,细胞总数可以超过1010个?(参考数据: lg3=0.477,lg2=0.301),【解析】现有细胞100个,先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数, 1小时后,细胞总数为 2

13、小时后,细胞总数为 3小时后,细胞总数为 4小时后,细胞总数为 可见,细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为:y=100( )x,xN*，,由100( )x1010,得( )x108,两边取以10为底的对数,得 xlg 8, x 45.45, x45.45. 答:至少经过46小时,细胞总数超过1010个.,考向 3 分段函数模型 【典例3】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流

14、速度为60千米/小时.研究表明:当20 x200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.,(1)当0 x200时,求函数v(x)的表达式. (2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=xv(x)可以达到最大,并求出最大值(精确到1辆/小时). 【思路点拨】(1)当20 x200时,利用待定系数法求v(x)的表达式,进而确定当0 x200时,分段函数v(x). (2)根据(1)求出f(x),再根据函数的单调性与基本不等式求最值.,【规范解答】(1)由题意:当0 x20时,v(x)=60; 当20 x200时,设v(x)=ax+b. 故函数v(x

15、)的表达式为 v(x)=,(2)依题意并由(1)可得 f(x)= 当0 x20时,f(x)为增函数，故当x=20时,其最大值为6020=1 200; 当20 x200时,f(x)= x(200-x) 当且仅当x=200-x，即x=100时,等号成立. 所以当x=100时,f(x)在区间(20,200上取得最大值.,综上,当x=100时,f(x)在区间0,200上取得最大值f(x)max= 3 333, 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值 约为3 333辆/小时.,【拓展提升】应用分段函数模型的关注点 (1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同

16、的关系式构成,如出租车票价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解. (2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不重不漏. (3)分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者).,【变式训练】据气象中心观察和预测:发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km).,(1)当t=4时,求s的值. (2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来. (3)若N城位于M地正南方向,且距M地650km,试判断这场沙尘暴

17、是否会侵袭到N城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由.,【解析】(1)由图象可知:当t=4时,v=34=12, s= 412=24. (2)当0t10时,s= t3t= t2; 当10t20时，s= 1030+30(t-10) =30t-150; 当20t35时，s= 1030+1030+(t-20)30- (t-20)2(t-20)=-t2+70t-550.,综上，可知s=,(3)沙尘暴会侵袭到N城. t0,10时,smax= 102=150650, t(10,20时,smax=3020-150=450650, 当t(20,35时,令-t2+70t-550=6

18、50. 解得t1=30,t2=40.20t35,t=30. 沙尘暴发生30h后将侵袭到N城.,【满分指导】函数建模在实际问题中的应用 【典例】(12分)(2012江苏高考)如图,建立平面直角坐标系 xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮 位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx- (1+k2)x2 (k0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹 落地点的横坐标.,(1)求炮的最大射程. (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.,【思路点拨】,【规范解答】(1)

19、,由实际意义和题设条件知x0,k0, 2分 故x= ，当且仅当k=1时取等号. 所以炮的最大射程为10千米. 5分,(2)因为a0，所以, 炮弹可击中目标存在k0,使3.2=ka- (1+k2)a2成立. 8分 即关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根 10分 判别式=(-20a)2-4a2(a2+64)0，解得a6. 所以当a不超过6千米时,可击中目标. 12分,【失分警示】(下文见规范解答过程),1.(2013江门模拟)小孟进了一批水果,如果他以每千克1.2元的价格出售,那他就会赔4元;如果他以每千克1.5元的价格出售,一共可赚8元.现在小孟想将这批水果尽快出手,以不赔不赚的

20、价格卖出,那么每千克水果应定价为() (A)1.2元(B)1.3元 (C)1.4元 (D)1.45元,【解析】选B.设水果的成本价为x元/千克,共有a千克,由题意 知 解得x=1.3, 则每千克水果应定价1.3元,故选B.,2.(2013宜春模拟)某市原来居民用电价格为0.52元/(kWh), 换装分时电表后,峰时段(早上八点到晚上九点)的电价0.55元/ (kWh),谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/ (kWh),对于一个平均每月用电量为200kWh的家庭,换装分 时电表后,每月节省的电费不少于原来电费的10%,则这个家庭每 月在峰时段的平均用电量至多为() (A)110k

21、Wh (B)114kWh (C)118kWh (D)120kWh,【解析】选C.设在峰时段的平均用电量为xkWh,由题意知, 0.52200-0.55x+0.35(200-x)0.5220010%, 解得x118,故选C.,3.(2013汉中模拟)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x,其中x为销售量(单位:辆),若该公司在这两地共销售15辆汽车,则能获得的最大利润为() (A)45.606万元(B)45.6万元 (C)45.56万元 (D)45.51万元,【解析】选B.设在甲地销售x辆,则在乙地销售(15-x)辆,0 x15. 从而获得的最大利润为y=5