高中数学 第2章数列 2.3　等差数列的前n项和(一)同步精品学案 新人教A版必修

1、2.3等差数列的前n项和(一)对点讲练一、有关等差数列前n项和的计算例1在等差数列an中，已知d2，an11，Sn35，求a1和n.解由得解方程组得或总结在解决等差数列问题时，如已知a1，an，n，d，Sn中任意三个，可求其余两个，这种问题在数学上常称为“知三求二”型变式训练1设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列的前n项和，求Tn.解设等差数列an的公差为d，则Snna1n(n1)d，S77，S1575，即，解得，a1(n1)d2(n1)，数列是等差数列，其首项为2，公差为，Tnn(2)n2n.二、等差数列前n项和性质的应用例2(1)等差数列an的前m

2、项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m；(2)两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，求的值解(1)方法一在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列30,70，S3m100成等差数列27030(S3m100)，S3m210.方法二在等差数列中，成等差数列，.即S3m3(S2mSm)3(10030)210.(2).总结等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易，事半功倍的效果变式训练2已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是()A2B3C4D5答案D解析7，

3、n1,2,3,5,11.三、等差数列前n项和的实际应用例3甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解(1)设n分钟后第1次相遇，依题意，有2n5n70，整理得n213n1400.解之得n7，n20(舍去)第1次相遇是在开始运动后7分钟(2)设n分钟后第2次相遇，依题意，有2n5n370，整理得n213n4200.解之得n15，n28(舍去)第2次相遇是在开

4、始运动后15分钟总结建立等差数列的模型时，注意相遇时甲、乙两人的路程和是两个等差数列的前n项和变式训练3现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为()A9 B10 C19 D29答案B解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个钢管总数为：123n.当n19时，S19190.当n20时，S20210200.n19时，剩余钢管根数最少，为10根课堂小结：1求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法2等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量在求等

5、差数列的和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式Sn较好，若已知首项a1及公差d，用公式Snna1d较好3等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆，并在解题中熟练灵活地应用课时作业一、选择题1等差数列an中，S104S5，则等于()A.B2C.D4答案A解析由题意得：10a1109d4(5a154d)，10a145d20a140d，10a15d，.2已知等差数列an中，aa2a3a89，且an0，则S10为()A9 B11 C13 D15答案D解析由aa2a3a89得(a3a8)29，an0，a3a83，S1015.3设等差数列an的前n项和为Sn，若S3

6、9，S636.则a7a8a9等于()A63 B45 C36 D27答案B解析数列an为等差数列，则S3，S6S3，S9S6为等差数列，即2(S6S3)S3(S9S6)，S39，S6S327，则S9S645.a7a8a9S9S645.4在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为()A765 B665 C763 D663答案B解析因a12，d7,2(n1)7100，n0.a3a4a2a522，又a3a4117，a3，a4是方程x222x1170的两个根又公差d0，a3a4，a39，a413.，an4n3.(2)由(1)知，Snn142n2n，bn.b1，b2，b3.bn是等差数列，2b2b1b3，2c2c0，c (c0舍去)10已知等差数列an的前三项为a1,4,2a，记前n项和为Sn.(1)设Sk2 550，求a和k的值；(2)设bn，求b3b7b11b4n1的值解(1)由已知得a1a1，a24，a32a，又a1a32a2，(a1)2a8，即a3.a12，公差da2a12.由Skka1d，得2k22 550，即k2k2 5500，解得