高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数的应用 3.3.3 导数的实际应用课堂导学案 新人教B版选修

1、3.3.3 导数的实际应用课堂导学三点剖析一、求最值【例1】某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为p=24 200-x2,且生产x吨的成本为R=50 000+200x元.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？解：每月生产x吨时的利润为f(x)=(24 200- x2)x-(50 000+200x)=-x3+24 000x-50 000(x0).由f(x)=-x2+24 000=0.解得x1=200,x2=-200(舍去).因f(x)在0,+)内只有一个点x=200使f(x)=0,故它就是最大值点，且最大值为f(200)=-(200)3+2

2、4 000200-50 000=3 150 000.答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.温馨提示用导数解应用题，求值一般方法：求导，令导数等于0，求y=0的根，求出最值点，最后写出解答.二、生活中的优化问题【例2】 已知某厂生产x件产品的成本为c=25 000+200x+x2(元).(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？点拨：本题已经直接给出了函数关系式，可用导数求最值的方法直接求解.解析:(1)设平均成本为y元，则令y=0，得x1=1 000,x2=-1 000(舍去).当在x=1 000附近左侧时

3、，y0;故当x=1 000时，y取得极小值.由于函数只有一个点使y=0，且函数在该点有极小值，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1 000件产品.(2)利润函数为L=500x-(25 000+200x+)=300x-25 000-.L=(300x-25 000-)=300-.令L=0，得x=6 000，当x在6 000附近左侧时，L0;当x在6 000附近右侧时L0，故当x=6 000时，L取得极大值.由于函数只有一个使L=0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值.因此，要使利润最大，应生产6 000件产品.三、导数在生活中的应用【例3】 如图所示，水渠横断面

4、为等腰梯形.(1)若渠中流水的横断面积为S，水面的高为h，当水渠侧边的倾斜角为多大时，才能使横断面被水浸湿的周长为最小？(2)若被水浸湿的水渠侧边和水渠底面边长都等于a，当水渠侧边倾斜角多大时，水流的横断面积为最大？解：(1)依题意，侧边BC=h(sin)-1,设下底AB=x，则上底CD=x+2hcot,又S=(2x+2hcot)h=(x+hcot)h,下底x=-hcot,横断面被水浸湿周长l=(0).l=令l=0,解得cos=,=.根据实际问题的意义，当=时，水渠横断面被水浸湿的周长最小.(2)设水渠高为h，水流横断面积为S,则S=(a+a+2acos)h=(2a+2acos)asin=a2

5、(1+cos)sin(0).S=a2-sin2+(1+cos)cos=a2(2cos-1)(cos+1).令S=0,得cos=或cos=-1(舍)，故在(0,)内，当=时，水流横断面积最大，最大值为S=a2(1+cos)sin=a2.各个击破类题演练1已知A、B两地相距200千米，一只船从A地逆水到B地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v千米/时(80),则y1=kv2，当v=12时，y1=720,720=k122,得k=5.设全程燃料费为y,由题意y=y1y=.令y=0,v=16.当v016时，v=16时全程燃料费最省；当v016时，即v(8,v0)时y0，即y在(8，v0上为减函数，当

6、v=v0时，ymin=综上，当v016时，v=16千米/时全程燃料费最省.当v016时，则v=v0千米/时时全程燃料费最省.变式提升1求f(x)=在-1,3上的最大值和最小值.解：求出所有导数为0的点，为此，解方程f(x)=0,即f(x)=即x2-2x-1=0得x1=1-与x2=1+且x1,x2-1,3相应的函数值为：计算f(x)在区间端点上的值为：f(-1)=0,f(3)=0通过比较可以发现，f(x)在点x1=1-处取得最大值在x2=1+2处取得最小值.类题演练2用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接成水箱.问：水箱底边的长

7、取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？解：设水箱底边长为x cm，则水箱高为h=60-(cm).水箱容积V=V(x)=x2h=60x2-(0x0为比例系数.依题意，即所求的a、b值使y值最小.根据题设，有4b+2ab+2a=60(a0,b0)得b=(0a30),于是y=y=0时，a=6或a=-10(舍去).由于本题只有一个极值点，故当a=6时，b=3时为所求.变式提升3一报刊图文应占S cm2，上，下边宽都是a cm，左右边均为b cm，若只注意节约用纸，问这报刊的长宽各为多少？分析：解有关实际问题的最大值、最小值时，要注意以下几点：设出两个变量，依据题意分析它们的关系，把变量转化成函数关系.确定函数关系式中自变量的定义区间.求函数的最大值或最小值.所得的结果要符合问题的实际意义.解：要节约用纸，就