高数辅导之专题二十：交错级数、任意项级数的敛散性判别法_第1页
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1、专题二十基础知识定理1（交错级数的莱布尼兹定理）若交错级数（）满足：（1）（）（2）则收敛，且。注：交错级数收敛要求数列单调递减且趋向于零。对于任意项级数，引入绝对值级数的概念：级数称为的绝对值级数。定理2若级数收敛，则亦收敛。由定理2知收敛级数分为两种：（1）条件收敛：要求收敛，发散。（2）绝对收敛：要求。总结：判定级数的敛散性，可按如下步骤进行：（1）首先讨论。若不存在或，级数发散；若，转入第二步。（2）其次讨论的敛散性，可运用正项级数的一系列敛散性判别法。若收敛，则绝对收敛；若发散，转入第三步。（3）最后讨论的敛散性，可能用到交错级数的莱布尼兹定理。若收敛，则条件收敛；若发散，当然发散。

2、例题1. 设为常数，判定级数的敛散性。解：由于，收敛，由比较判别法知级数收敛（绝对收敛），而为一发散的级数，故发散。2. 若级数收敛，求。解： 收敛（），故收敛，而发散，从而。（倘若，则收敛，矛盾）3. 判定级数的敛散性。解：令，则，且，而（），发散，故发散，由比较判别法的极限形式知发散，级数不绝对收敛。级数为交错级数，单调递减且，由交错级数的莱布尼兹定理知收敛。故级数条件收敛。4. 判定级数的敛散性。解：令，由于 由比值判别法知收敛，故原级数绝对收敛。5. 对常数，讨论级数何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？解：令，则 下面分三种情形说明：（1）当（）时收敛，由比较判别法的极限形式知收敛，

3、原级数绝对收敛。（2）当（）时发散，由比较判别法的极限形式知发散，原级数不绝对收敛。两种小情形：(i) 当（）时，。令（）由于且，而所以充分大时单调增，于是充分大时，单调减少，由交错级数的莱布尼兹定理知原级数收敛，从而条件收敛。（ii）当时，充分大时，原级数发散。注：，6. 设，讨论级数是绝对收敛、条件收敛还是发散？解：，归纳假设，则，亦即，数列单调递增。，归纳假设，则，数列有上界。由单调有界定理知数列收敛，设，对等式两边取极限有 解之得。令，由于 由比值判别法知收敛，故原级数绝对收敛。7. （1）判定级数的敛散性。（2）若当时，与未等价无穷小，试问交错级数是否一定收敛？若收敛，证明之；若不一

4、定收敛，举一发散的例子。解：（1）数列单调递减且收敛于0，由交错级数的莱布尼兹定理知交错级数收敛。（2）不一定收敛。取，则，且 收敛，发散，故发散。8. 设级数条件收敛，极限存在，求的值，并举出满足这些条件的例子。解：因级数条件收敛，故级数不可能是正项级数或负项级数（因为正项级数或负项级数只有可能发散或绝对收敛）。由知。下面分三种情形说明：（1）若，则由比值判别法知收敛，故绝对收敛，与题设条件矛盾。故。（2）若， ，当充分大时，数列单调递增，故，从而，故发散，与题设条件矛盾。故。（3）若，当充分大时，与同为正或同为负，级数不可能条件收敛。故。综上得。如级数条件收敛，且 习题1. 判定下列级数是条件收敛还是绝对收敛？（1） （

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