高中数学 1．3.2 奇偶性教案精讲 新人教A版必修

1、13.2奇偶性读教材填要点1函数的奇偶性奇偶性条件偶函数对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)奇函数对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)2.奇、偶函数的图象(1)偶函数的图象关于y轴对称(2)奇函数的图象关于坐标原点对称小问题大思维1对于某个函数f(x)，若存在x0使得f(x0)f(x0)，(f(x0)f(x0)，这个函数是偶函数(奇函数)吗？提示：不是函数的奇偶性是函数整个定义域上的性质，必须是对任意的x都成立才能说明该函数具有奇偶性2若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)为何值？提示：f(x)为奇函数，f(x)f(x)f(0)f(0)，即2f(

2、0)0.f(0)0.3函数f(x)x3，x1,1)是奇函数吗？当x1,1时呢？提示：函数f(x)x3，x1,1)是非奇非偶函数，而当x1,1时为奇函数判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x2(x22)；(2)f(x)x|x|；(3)f(x)|x1|x1|；(4)f(x)；(5)f(x).自主解答(1)xR，xR.又f(x)(x)2(x)22x2(x22)f(x)，f(x)为偶函数(2)xR，xR.又f(x)x|x|x|x|f(x)，f(x)为奇函数(3)xR，xR，又f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)，f(x)为奇函数(4)定义域为0，)，不关于原

3、点对称，f(x)为非奇非偶函数(5)f(x)的定义域为1,0)(0,1即有1x1且x0, 则1x1，且x0，又f(x)f(x)f(x)为奇函数(1)定义法判断函数奇偶性的步骤是先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称则说明函数既不是奇函数也不是偶函数；若定义域关于原点对称，则再求f(x)，并判断f(x)f(x)是否成立来确定奇偶性有时还可以用其等价式f(x)f(x)0或1(f(x)0)来判断(1)f(x)；(2)f(x)(x1).解：(1)由得2x22，x，即函数定义域为，关于原点对称又f()0f()，且f()f()0，f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由1x0得x1，定义域不关于原点对称，f

4、(x)是非奇非偶函数.判断分段函数奇偶性例2已知函数f(x)判断f(x)的奇偶性自主解答(1)当x0.f(x)(x)22(x)3x22x3f(x)(2)当x0时，x0时，f(x)满足f(x)x22x3，x0满足的是f(x)x22x3；(2)要对定义域内的自变量都要考察，如本例分为两种情况，如果本例只有(1)就说f(x)f(x)，从而判断它是奇函数是错误的、不完整的；2判断函数f(x)的奇偶性解：法一(用定义判断)：这个函数的定义域为R.当x0时，x0，f(x)(x)2(x)x2x(x2x)f(x)；当x0，f(x)(x)2(x)x2x(x2x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)，函数f(

5、x)为奇函数法二：(用图象判断)作出函数的图象，如图所示由图可知，函数图象关于原点对称，故函数f(x)是奇函数函数奇偶性的应用例3设定义在2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(m)f(m1)0，求实数m的取值范围自主解答由f(m)f(m1)0， 得f(m)f(m1)，即f(1m)f(m)又f(x)在0,2上为减函数且f(x)在2,2上为奇函数f(x)在2,2上为减函数即解得1m.实数m的取值范围1，)解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等

6、式组，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响.3已知f(x)是R上的偶函数，当x(0，)时，f(x)x2x1，求x(，0)时，f(x)的解析式解：设x0.f(x)(x)2(x)1.f(x)x2x1.函数f(x)是偶函数，f(x)f(x)f(x)x2x1.当x(，0)时，f(x)x2x1.解题高手易错题审题要严，做题要细，一招不慎，满盘皆输，试试能否走出迷宫！判断函数f(x)的奇偶性错解当x0时，f(x)(x)2x2f(x)；当x0时，f(x)(x)3x3f(x), 当x0时，函数f(x)是偶函数；当x0时，函数f(x)是奇函数错因“当x0时，函数是偶函数；当x0时，函数是奇函数”这种说法是错误

7、的函数的奇偶性是函数的一个整体性质，是针对函数的整个定义域而言的因此判断函数的奇偶性时，要考虑整个定义域，依据定义进行判断正解显然f(x)的定义域关于原点对称当x0，f(x)(x)3，f(x)x2，于是f(x)f(x)，故函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数1函数f(x)x2(x0)的奇偶性为()解析：函数f(x)x2(x0)的定义域为(，0)，不关于原点对称，函数f(x)x2(x0)为非奇非偶函数答案：D2若函数f(x)满足1，则f(x)图象的对称轴是()Ax轴By轴C直线yx D不能确定解析：1，f(x)f(x)，f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称答案：B3下列函数中，既是奇函数又是增函

8、数的为()Ayx1 Byx3Cy Dyx|x|解析：由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由yx|x|的图象可知当x0时此函数为增函数，又该函数为奇函数答案：D4函数yf(x)是定义在R上的奇函数，则f(3)f(3)_.解析：f(x)为奇函数，f(3)f(3)，f(3)f(3)0.答案：05设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x21, 则f(3)_.解析：f(x)为奇函数，f(3)f(3)(91)10.答案：106已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在0，)上为增函数，若f(1a)f(2a)0，求实数a的取值范围解：f(x)为R上的奇函数，且在0，)为增函数，f(x

9、)在R上为增函数又f(1a)f(2a)0，f(1a)f(2a)f(2a)1a2a，即a.实数a的取值范围为(，)一、选择题1设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()Af(x)f(x)是奇函数Bf(x)|f(x)|是奇函数Cf(x)f(x)是偶函数Df(x)f(x)是偶函数解析：由函数奇、偶性的定义知D项正确答案：D2函数y()解析：函数y的定义域为x|x1，不关于原点对称，此函数既不是奇函数又不是偶函数答案：D3f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)2，则下列各点在函数f(x)图象上的是()解析：f(x)在R上为奇函数，f(3)f(3)2，f(3)2答案：D4函数f(x)是定义域为R

10、的偶函数，当x0时，f(x)x1，则当x0时，f(x)的表达式为()Af(x)x1 Bf(x)x1Cf(x)x1 Df(x)x1解析：若x0又当x0时，f(x)x1，f(x)x1.又f(x)为偶函数，f(x)f(x)f(x)x1.答案：C二、填空题5如果定义在区间3a,5上的函数f(x)为奇函数，那么a_.解析：f(x)为奇函数，f(x)的定义域关于原点对称，3a50，a8.答案：86已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，且在2,6上是减函数，则f(5)_f(3)(填“”或“”)解析：f(x)为偶函数，f(5)f(5)，而函数f(x)在2,6为减函数，f(5)f(3)f(5)f(3)答案：0.(1)若ab，试比较f(a)与f(b)的大小；(2)解不等式fb，则ab0，依题意有0成立f(a)f(b)0.又f(x)是奇函数，f(a)f(b)0.即f(a)f(b)(2)由(1)可知f(x)在1,1上是增函数，则不等式可转化为解得：x.10设函数f