高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.4.2 圆锥曲线的共同特征 3.4.3 直线与圆锥曲线的交点学案 北师大版选修

1、3.4.2 圆锥曲线的共同特征3.4.3 直线与圆锥曲线的交点1掌握圆锥曲线的共同特征(重点)2了解直线与圆锥曲线的三种位置关系(重点)3掌握求解直线与圆锥曲线有关问题的方法(难点)基础初探教材整理1圆锥曲线的共同特征阅读教材P87“抽象概括”与“练习”之间的部分，完成下列问题.圆锥曲线共同特征e的值或范围椭圆圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e0e1抛物线e1双曲线e11判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)椭圆上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比可以是2.()(2)曲线上的点M(x，y)到定点(5,0)的距离和它到定直线l：x的比是常数，则曲线是双

2、曲线()(3)直线yx与抛物线y2x的交点是(0,0)与(1,1)()【解析】根据圆锥曲线的共同特征知(1)中的比不可能大于1.(2)正确(3)由解得(0,0)，(1,1)，故交点为(0,0)，(1,1)【答案】(1)(2)(3)2如果双曲线1上一点P到右焦点的距离等于3，那么点P到右准线的距离是_【解析】由题知a4，b3，c5，e.由双曲线的第二定义，设所求距离为d，则.d.【答案】教材整理2曲线的交点阅读教材P89“抽象概括”与“练习”之间的部分，完成下列问题设曲线C1：f(x，y)0，C2：g(x，y)0，求曲线C1与C2的交点，即求方程组的实数解1过点(2,4)与抛物线y28x只有一个

3、公共点的直线有() A1条B2条C3条 D4条【解析】由于点(2,4)在抛物线y28x上，所以满足条件的直线有2条，一条为切线，一条与x轴平行【答案】 B2求直线yx1与x2y21的交点【解】两方程联立得消元得x2(x1)21.则2x2，x1，代入yx1得y0.所以交点坐标为(1,0)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型圆锥曲线的共同特征的应用(1)已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线D直线【自主解答】点P(x，y)到直线3x4y10的距离为d；点P(x，y)到A(1,5

4、)的距离为|PA|，31，点P的轨迹是双曲线【答案】B(2)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为()A.BC.D【自主解答】结合题意，由椭圆第二定义知e.【答案】B(3)椭圆1上有一点P，它到左准线的距离等于2.5，那么P到右焦点的距离为_【导学号：】【自主解答】设F1、F2分别为左、右焦点，P到左准线的距离d2.5，则P到左焦点的距离|PF1|ed2.|PF2|2a|PF1|1028.【答案】81圆锥曲线的共同特征中，到定点的距离与到定直线的距离之比是一个常数，这本身就是一个几何关系由此求曲线方程时，直接进行坐标的代换即可求出曲线方程2利用圆

5、锥曲线的共同特征可将其上一点到焦点的距离与相应准线的距离进行转化，进而实现求解直线与圆锥曲线的位置关系在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(2,1)求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围【精彩点拨】在第(1)问中，可先设点M(x，y)，由题意可求得点M的轨迹方程在第(2)问中，可先由点斜式把直线方程写出来，将直线方程与第(1)问所求的轨迹方程联立，需注意考虑k0及k0的情况，当k0时，联立后得到的关系式，还需讨论方程的判别式及直线与x轴交点的横坐标的

6、正负【自主解答】(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|x|1，即|x|1，化简整理得y22(|x|x)故点M的轨迹C的方程为y2(2)在点M的轨迹C中，记C1：y24x，C2：y0(x0)依题意，可设直线l的方程为y1k(x2)由方程组可得ky24y4(2k1)0.当k0时，此时y1.把y1代入轨迹C的方程，得x.故此时直线l：y1与轨迹C恰好有一个公共点.当k0时，方程的判别式为16(2k2k1)设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则由y1k(x2)，令y0，得x0.(a)若由解得k1，或k.即当k(，1)时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点

7、(b)若或由解得k，或k0.即当k时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点当k时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点故当k时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点(c)若由解得1k，或0k.即当k时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点综合，可知，当k(，1)0时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点1用判别式可以判断直线与圆锥曲线的位置关系，当0时，直线与圆锥曲线相交；当0时，直线与圆锥曲线相切；当0时，直线与圆锥曲线相离2联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意

8、讨论二次项系数是否为零的情况再练一题1若直线mxny4与圆x2y24没有公共点，则过点P(m，n)的直线与椭圆1的公共点个数为()A0个B1个C2个D不确定【解析】由题意，得2，即m2n24，0，则直线l与曲线C相交；若0，则直线l与曲线C相切；若0，直线l与曲线C相离当a0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点此时，若C为双曲线，则l平行于双曲线的渐近线；若C为抛物线，则l平行于抛物线的对称轴当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时，直线与双曲线或抛物线可能相切，也可能相交若直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆1总有公共点，求m的取值范围【精彩点拨】几何法：由于直线过定点(0,1)，

9、而直线与椭圆总有公共点，所以(0,1)必在椭圆内部或边界上，结合椭圆的位置关系可求m的范围代数法：联立直线与椭圆方程组成方程组，根据方程组有解来求m的范围【自主解答】法一：由于椭圆的焦点在x轴上，知0m5.又直线与椭圆总有公共点，直线所经过的定点(0,1)必在椭圆内部或边界上，1，即m1，故m的取值范围是m1,5)法二：由椭圆方程及椭圆焦点在x轴上知0m5.由得(m5k2)x210kx5(1m)0，又直线与椭圆有公共点，上述方程的0对一切k都成立，即(10k)24(m5k2)5(1m)0，亦即5k21m对一切k都成立，1m0，即m1，故m的取值范围是m1,5)解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，

10、有两种方法，代数法是一般方法，思路易得，但运算量较大，利用几何法求解思路灵活，方法简捷，故在解题时选择适当的方法可达到事半功倍的效果再练一题2求过点(0,1)，且与抛物线y22x有且只有一个公共点的直线方程【解】当所求直线斜率不存在，即直线垂直x轴时，因为过点(0,1)，所以x0，即y轴，它正好与抛物线y22x相切当所求直线斜率为零时，直线为y1平行x轴，它正好与抛物线y22x只有一个交点一般地，设所求的过点(0,1)的直线为ykx1(k0)，则k2x2(2k2)x10.令0，解得k，所求直线为yx1.综上，满足条件的直线为：y1或x0或yx1.探究2如何解决直线与圆锥曲线的相交弦长问题？【提

11、示】(1)正确求出直线与圆锥曲线的交点坐标，代入两点间距离公式易求弦长(2)利用根与系数的关系求直线与圆锥曲线相交弦长的步骤为：联立直线方程与圆锥曲线的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程；设出交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用根与系数的关系求出x1x2，x1x2，进而得到(x1x2)2，(y1y2)2.弦长|AB|.|x1x2|y1y2|，(3)解决弦的问题，大多涉及到圆锥曲线的弦长、弦的中点、弦的斜率常用的办法是将直线与圆锥曲线联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用(4)过圆锥曲线的焦点的

12、弦长(简称焦点弦)问题，也可用定义来解决例如抛物线的焦点弦问题若直线yx1与双曲线x21相交于A，B两点，求A，B两点间的距离【精彩点拨】解方程组求出直线与双曲线的交点A、B的坐标，或者将方程组消元为一元二次方程，求出交点的横坐标之差的平方与纵坐标之差的平方，代入两点间距离公式可解【自主解答】联立直线方程与双曲线方程得方程组消去y，得x22x30.法一：由方程解得x11，x23，代入yx1得y10，y24，于是A，B两点坐标分别为(1,0)，(3，4)，则|AB|4.法二：设方程的两根为x1，x2，由根与系数的关系得x1x22，x1x23，则(x1x2)2(x1x2)24x1x216，(y1y

13、2)2(x11)(x21)2(x1x2)216，则|AB|4.直线与圆锥曲线相交，弦长多通过根与系数的关系，设而不求得到，这样可以避免求交点坐标的繁杂运算在求参数范围时还要注意“相交”(0)这个条件再练一题3已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x2y10截得的弦长为，求此抛物线方程【解】设抛物线方程为x2ay(a0)，由消去y，得2x2axa0.a28a0，a0或a8.设直线与抛物线的交点为(x1，y1)、(x2，y2)，由根与系数的关系得x1x2，x1x2.由弦长公式得，15，整理得a28a480.解得a12或a4.符合题意所以，所求的抛物线方程为x212y或x24y.构建体系1平面内到定点(0，3)的距离与到定直线y3的距离之比为的动点的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线D直线【解析】由于点(0，3)不在直线y3上，且01，所以，由圆锥曲线的统一定义知：动点的轨迹是椭圆【答案】A2已知双曲线1，则其离心率为()A.BC.D【解析】由双曲线1得a23，b24，则a，c，故离心率e.【答案】D3函数yax21的图像与直线yx相切，则a()A.B CD1【解析】函数yax21的图像与直线yx相切，它们有且仅有一个交点由得xax21，即ax2x10，1