高中数学 第二章 函数 2.1.3 函数的单调性课堂导学案 新人教B版必修

1、2.1.3 函数的单调性课堂导学三点剖析一、单调性的判断与证明【例1】证明函数f(x)=x+1x在(0,1)上是减函数.思路分析：证明的关键是对y进行变形,尽量变形成几个简单因式积或几个平方和的形式.证明：设0x1x21,则x=x2-x10,y=f(x2)-f(x1)=(x2+)-(x1+)=(x2-x1)+=(x2-x1).0x1x21,则x1x2-10,f(x2)f(x1).f(x)在(0,1)上是减函数.温馨提示(1)也可以证明f(x)=x+的单调增区间是（-,1,1,+）,单调减区间是-1,0）,（0,1,最好记住.(2)可引申为f(x)=x+(a0)在区间（0,上单调递减;在区间(,

2、+)上单调递增.二、函数单调性的应用【例2】已知函数f(x)对任意x,yR,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x0时，f(x)x1,则x=x2-x10,y=f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1).x2x1,x2-x10.又x0时，f(x)0,f(x2-x1)0，即f(x2)-f(x1)0.y0.由定义可知f(x)在R上为单调递减函数.（2）f(x)在R上是减函数,f(x)在-3,3上也是减函数.f(-3)最大，f(3)最小.f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3()=-2.f(-3)=-f(3)=2，即f(x)在-3,3上的最大值为2

3、，最小值为-2.温馨提示 无论给出的函数式子多么复杂，只要是证明单调性，就必用“定义法”，只要是比较自变量的大小，就必用单调性定义的逆命题.这就是解题思路.在正确的思路指导下，必能攻无不克，战无不胜.三、带有参数的函数的单调性【例3】已知函数f(x)=x2+2ax+2,x-5,5,求实数a的范围,使y=f(x)在-5,5上是单调函数.思路分析：根据二次函数的对称轴的位置确定单调性.解：f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2,图象的对称轴为x=-a.f(x)在-5,5上是单调函数,-a-5或-a5,即a-5或a5.温馨提示 高考对单调函数的考查主要结合后面几节内容进行考查,主要考查单

4、调函数的定义,题型以选择题和解答题为主.各个击破类题演练1证明函数f(x)=x3+x在R上是增函数.证明：任取x10,即x0.y=f(x2)-f(x1)=(x23+x2)-(x13+x1)=(x23-x13)+(x2-x1)=(x2-x1)(x2+)2+1,(x2+)2+10,f(x2)-f(x1)0,即y0.f(x)=x3+x在R上是增函数.变式提升2已知函数y=f(x)在(0,+)上为增函数且f(x)0),试判断函数F(x)=在(0,+)上的单调性并证明.解析：F(x)在(0,+)上为减函数.下面给出证明：任取x1、x2(0,+)且x=x2-x10,Y=F(x2)-F(x1)=,y=f(x

5、)在(0,+)上为增函数且x=x2-x10,y=f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1).f(x1)-f(x2)0.而f(x1)0,f(x2)0.F(x2)-F(x1)0,即Y0,F(x)在(0,+)上为减函数.类题演练2设函数f(x)=(ab0)，求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性.解析：在定义域内任取x10.y=f(x2)-f(x1)=.ab0,b-a0且x1-x20.只有当x1x2-b或-bx1x2时，函数才单调.当x1x2-b或-bx10.y=f(x2)-f(x1)0,f(3)=1,判断函数g(x)=f(x)+在区间（0，3上的单调性，并加以证明.解析：任取x1、x2(0,3,且x1x2,即0x10,f(3)=1,所以由0x1x23可得0f(x1)f(x2)1.这时0f(x1)f(x2)1,10.所以g(x2)-g(x1)g(x2).故g(x)在（0，3上是减函数.类题演练3已知f(x)=x2+2(1-a)x+2在(-,4上是减函数,求实数a的取值范围.解析：要使f(x)在(-,4上是减函数,由二次函数的图象可知只要对