阅读与思考三角学与天文学 (4).ppt

1、,一. 背景分析,三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型在数学和其它领域中都具有重要的作用它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数本节课以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数。单位圆的几何直观非常有利于构建任意角的三角函数的知识结构。例如从定义可以方便地推导同角三角函数的基本关系、诱导公式、和（差）角公式，而且为公式的记忆提供了图形支持；学生理解和掌握好任意角三角函数的定义是学好后续课程的基础。因此任意角三角函数的定义是本节课的教学重点。 本节内容教材共安排三课时，其中第一课时主要研究任意角的三角函数的概念。,1.学习任务分析,2.学生情况分析 用

2、单位圆上点的坐标表示任意角的三角函数，与学生在锐角三角函数学习中建立的已有经验有一定的距离，与学生在数学必修1的学习中建立起来的函数知识经验也有一定的距离。学生熟悉的函数y=f(x)是实数到实数的一一对应，而本节中三角函数首先是实数（弧度数）到点的坐标的对应，然后才是实数（弧度数）到实数（横坐标或纵坐标）的对应，这就给学生的理解造成一定的困难。因此任意角的三角函数概念的建构过程及任意角三角函数的对应关系是本节课的教学难点。,一. 背景分析,角的概念的推广,弧度制,任意角的三角函数,同角三角函数的基本关系式,正弦、余弦的诱导公式,三角函数的图象和性质,知识网络图,二、教学目标的确定,知识目标:借

3、助单位圆理解并掌握任意角的 三角函数 (正弦,余弦,正切) 的定义; 理解三角函数是以实数为自变量的函数，能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题. 能力目标:通过学生积极参与知识的“发现”与 “形成”的过程,培养合情猜测的能力,从中感悟数学概念的严谨性与科学性. 情感目标:让学生在任意角三角函数概念的形成过程中,体会函数思想,丰富数形结合经验.,直角三角形为载体的锐角三角函数 象限角为载体的锐角三角函数 单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数 单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数 任意角三角函数定义的应用 归纳小结,三 课堂结构设计,板书设计：,四 教学媒体设计,问题1：你能回忆一

4、下锐角三角函数的定义吗?,在RTABC中，,一.复习引入,回想再认,复习引入,初中时，我们怎样利用直角三角形定义了锐角三角函数的呢？,a,P(，),的终边,r,在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗?,问题3,M1,M2,对于任意角 的每一个确定值，比值都是惟一确定的，不会随点P在终边上的移动而变化。,设是任意角，的终边上任意一点的坐标是，当角在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距 离为，则,.任意角的三角函数第一定义,设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点,那么:（1） 叫做 的正弦，记作 ，即 ；,（2） 叫做 的余弦，记作 ，即 ；,（3） 叫做 的正切，记作 ，即 。,所以

5、，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.,任意角的三角函数的定义：,任意角的三角函数,(1)比值 叫做的正弦，记作sin，即,(2)比值 叫做的余弦，记作cos，即,(3)比值 叫做的正切，记作tan，即,探究：,1.三角函数的定义域,探究：,口诀“一全正, 二正弦，三正切,四余弦.”,2.三角函数值在各象限的符号,证明：,因为式 成立,所以 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；,又因为式 成立，所以角 的终边可能位于第一或第三象限.,因为式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限

6、角.,反过来请同学们自己证明.,思考：如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？,？,终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）,公式作用：可以把求任意角的三角函数值， 转化为求 角的三角函数值 .,？,思考：如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？,例4 确定下列三角函数值的符号： （1） （2） （3） 解：,（1）因为 是第三象限角，所以 ；,（2）因为 = ， 而 是第一象限角，所以 ；,练习 确定下列三角函数值的符号,（3）因为 是第四象限角，所以 .,例5 求下列三角函数值： （1） （2）,解：（1）,练习 求下列三角函数值,（2）,1：你能

7、用点P的坐标来表示锐角三角函数吗？,问2：对于确定的角，这三个比值的大小和点在角的终边上的位置是否有关呢？,问3：你能选出适当的点使表达式简化吗？,步步为营，层层深入,1,P(，),的终边,r,锐角三角函数定义,思考: 在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗?,flash,如何用直角坐标系内点的坐标表示锐角三角形的三角函数？,在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆（即：r=1）,r=1,当为任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么,（1） 叫做的正弦,记作 sin，即sin= = y ；,（2） 叫做的余弦,记作 cos，即cos= = x ；,（3） 叫

8、做的正切(tangent)，记作tan， 即tan= （x0）,y,x,O,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:,（1）y 叫做的正弦，记作 ， 即,（2）x叫做的余弦，记作 ， 即,（3） 叫做的正切，记作 ， 即,三角函数的定义,例2：已知角的终边经过点P0（-3，-4），求角的正弦、余弦和正切值,解：由已知可得：,于是，,M,P(x,y),O,2.用单位圆定义任意角的三角函数,（）,（）,（）,3.概念辨析,任意角的三角函数定义与锐角三角函数的定义,有什么区别和联系?,联系:,任意角的三角函数是锐角三角函数的推广； 锐角三角函数是任意角的三角函数的特例。,区别：,锐

9、角三角函数是以边长的比来定义的，都是正值； 任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标的比来定义的，不一定是正值。,任意角三角函数的定义:,定义域：R,定义域：R,定义域：,正弦、余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。以上三种函数统称三角函数,例1：求 的正弦,余弦和正切值。,y,x,O,练习：课本15页1,例1 求 的正弦、余弦、 正切的值.,y,x,O,小结：求角的三角函数值，可求终边与单位圆交于点的纵横坐标或坐标的比值.,解：,O,x,y,P（x，y）,M,点评：若已知角的大小，可求出角终边与单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。,分析：解RtOM

10、P可得点 ，故,【例2】：求角 的正弦、余弦和正切值。,变式2：已知角的终边经过点P(2a,-3a)(a0)，求角的正弦、余弦、正切值,设角 是一个任意角， 是终边上的任意一点， 点 与原点的距离,那么 叫做 的正弦，即, 叫做 的余弦，即, 叫做 的正弦，即,任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 在角的终边上的位置无关.,定义推广：,例2 已知角 的终边经过点 ，求角 的正弦、余弦和正切值 .,解:由已知可得,设角 的终边与单位圆交于 ，,分别过点 、 作 轴的垂线 、,于是，,于是，,练习 已知角 的终边过点 ， 求 的三个三角函数值.,解：由已知可得：,探究：,1.三角函数的定义域,三

11、角函数值的符号问题,（ ）,+,+,-,-,+,+,-,-,+,+,-,-,口诀“一全正, 二正弦，三正切,四余弦.”,2.三角函数值在各象限的符号,2、三角函数值的符号,均为正,sin,tan,cos,完成P13探究内容,口诀：“一正二正弦；三切四余弦。”,思考：,如果两个角的终边相同，那么这两个角的 同一三角函数值有何关系？,利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为 求 角的三角函数值 .,？,终边相同,终边相同的角的三角函数值,点的坐标相同,同一函数值相同,公式一（弧度制）,与终边相同的角可以表示为：,（角度制）,小结,1.三角函数都是以角为自变量，在弧度制中，三角函数的自变量与函数值都是在实数范围内取值.,2.三角函数的定义是三角函数的理论基础，三角函数的定义域、函数值符号、公式一等，都是在此基础上推导出来的.,课时小结,1、任意角三角函数的定义：,若已知角终边与单位圆交于点P(x，y)，则：,2、解题方法总结,（