秋人教高中数学必修五同课异构课件332简单的线性规划问题2精讲优练课型

1、第2课时 简单线性规划的应用,【题型探究】 类型一 实际问题中的最小值问题 【典例】1.铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：,某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁，若要求CO2的排放量不超过2万吨，则购买铁矿石的最少费用为_百万元.,2.某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元.现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为多少元？,【解题探究】1.典例1中体现不等关

2、系的关键词有哪些？ 提示：“至少要生产1.9万吨铁”中的“至少”；“CO2的排放量不超过2万吨”中的“不超过”；“购买铁矿石的最少费用”中的“最少”.,2.典例2中的条件较多，如何把约束条件准确地列出来？ 提示：把相应的条件分类、分条目，放入到一个表格中， 直观体现.,【解析】1.可设需购买A铁矿石x万吨，B铁矿石y万吨， 则根据题意得到约束条件为,目标函数为z=3x+6y，画出不等式组表 示的平面区域如图. 当目标函数经过点(1，2)时目标函数 取最小值，最小值为zmin=31+62=15. 答案：15,2.租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品情况如下表：,设租赁甲设备x台，乙设备y台，租赁

3、费为z元， 根据题意得 z=200 x+300y， 作出可行域如图(阴影部分的整数点)所示：,作直线l0：2x+3y=0，平移该直线l0，过A时z取最小值， 由 得A(4，5)，符合实际意义， 则zmin=4200+5300=2300(元). 答：所需租赁费最少为2300元.,【方法技巧】有关成本最低，费用最少问题的解题技巧 (1)最优解的常见位置：线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个.,(2)四舍五入：在解决实际问题时，若最优解要求满足一定的精确度，则要注意不可随意将所求结果进行四舍五入，否

4、则有可能使近似值对应点超出可行域，而导致所求解无意义.,【拓展延伸】解答线性规划应用题的技巧 (1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要. (2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断.,(3)结合实际问题，分析未知数x，y等是否有限制，如x，y为正整数、非负数等. (4)分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式.,【变式训练】某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型的汽车，若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和40辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时

5、，才能使所用的总工作时数最少.,【解析】设A厂工作x小时，B厂工作y小时，总工作时 数为T小时，则它的目标函数为T=x+y且 可行域如图.,由图知当直线l：y=-x+T过Q点时，纵截距T最小， 解方程组 得Q(16，8)， 答：A厂工作16小时，B厂工作8小时，可使所用的总工作时数最少.,类型二 实际问题中的最大值问题 【典例】1.(2015陕西高考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(),A.12万元B.16万元 C.17万元D.18万元,2.某

6、研究所计划利用“神舟十号”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A，B，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：,试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大？,【解题探究】1.典例1中应按照怎样的思路求出最大利润？ 提示：设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨，y吨，利润为z万元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值.,2.典例2中如何根据表格分析约束条件和目标函数？ 提示：在表格横行观察第一行得到研制新产品A，B所需费用的资金限制条件；第二行得到研制

7、新产品A，B搭载质量的限制条件；第三行通过收益得目标函数.,【解析】1.选D.设每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨，y吨，利润为z万元，则 目标函数为 z=3x+4y. 作出二元一次不等式组所表示的 平面区域(阴影部分)即可行域.,由z=3x+4y得y= 平移直线y= 由图象可知当直线y= 经过 点A时，直线y= 在y轴上的截距最大，此时z最大， 解方程组 即A的坐标为(2，3)， 所以zmax=3x+4y=6+12=18.,即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元.,2.设搭载产品Ax件，产品By件，预计总收益z=80 x+60y. 作出可行域，如图

8、.,作出直线l0：4x+3y=0并平移， 由图象得，当直线经过M点时z能取得最大值， 即M(9，4)， 即搭载产品A9件，产品B4件，可使得总预计收益最大.,【延伸探究】 1.(改变问法)典例1中的所有条件不变，则每天生产甲、乙两种产品的吨数分别是多少时，该企业每天可获得最大利润，并求此最大利润.,【解析】设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨，y吨， 利润为z万元， 则 目标函数为z=3x+4y.,作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)即可行域.,由z=3x+4y得y= 平移直线y= 由图象可知当直线y= 经过 点A时，直线y= 在y轴上的截距最大，此时z最大， 解方程组 即A的坐标为

9、(2，3)，故每天生产甲、乙两种产品分别为 2吨和3吨时，该企业每天可获得最大利润，此时最大利 润为zmax=3x+4y=32+43=18(万元).,2.(变换条件)典例1中若将“生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元”改为“生产1吨甲、乙产品可获利润分别为4万元、3万元”，其他条件不变，结果如何？,【解析】设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨，y吨， 利润为z万元， 则 目标函数为z=4x+3y.,作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)即可行域.,由z=4x+3y得y= 平移直线y= 由图象可知当直线y= 经过 点A时，直线y= 在y轴上的截距最大，此时z最大， 解方程组 即

10、A的坐标为(2，3)， 即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨，3吨，能够产生 最大的利润.,【方法技巧】解答线性规划应用题的一般步骤 (1)审题仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺. (2)转化设元.写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.,(3)求解解这个纯数学的线性规划问题. (4)作答对应用题提出的问题作出回答.,【补偿训练】某公司计划2016年在A，B两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元.A，B两个

11、电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定A，B两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问公司在A，B两个电视台做广告的时间分别为多少分钟时，公司能获得最大收益？,【解题指南】设公司在A，B两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，由题意列出x，y的约束条件和目标函数，然后利用线性规划的知识求解.,【解析】设公司在A，B两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元， 由题意得 目标函数z=3000 x+2000y. 二元一次不等式组等价于,作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分.,作直线l：30

12、00 x+2000y=0，即3x+2y=0， 平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数 取得最大值. 所以点M的坐标为(100，200). 答：该公司在A电视台做100分钟广告，在B电视台做 200分钟广告时，公司的收益最大.,【延伸探究】 1.(改变问法)若本题的条件不变，求分配在两个电视台做广告的时间应分别为多少时，公司能获得最大收益，最大收益为多少？ 【解析】设公司在A，B两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，,由题意得 目标函数z=3000 x+2000y. 二元一次不等式组等价于,作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分.,作直线l：

13、3000 x+2000y=0，即3x+2y=0， 平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取 得最大值. 则zmax=3000100+2000200=700000. 答：该公司在A电视台做100分钟广告，在B电视台做200 分钟广告，公司的收益最大，最大收益为700000元.,2.(变换条件)若将本题中的“能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元”，改为“能给公司带来的收益分别为0.4万元和0.2万元”，又如何求解？,【解析】设公司在A，B两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元， 由题意得 目标函数z=4000 x+2000y. 二元一次不等式组等价于,作出二

14、元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分.,作直线l：4000 x+2000y=0，即2x+y=0， 平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取 得最大值.联立 所以点M的坐标为(100，200)， 所以zmax=4000100+2000200=800000. 答：该公司在A电视台做100分钟广告，在B电视台做200 分钟广告，公司的收益最大，最大收益是80万元.,类型三 线性规划的整数解问题 【典例】1.某公司用两种机器来生产某种产品，第一 种机器每台需花3万日元及人民币50元的维护费；第二 种机器则需5万日元及人民币20元的维护费.第一种机 器的年利润每台有9万日元

15、，第二种机器的年利润每台,有6万日元，但政府核准的外汇日元为135万元，并且公司的总维护费不得超过1800元，为了使年利润达到最大值，第一种机器应购买_台，第二种机器应购买_台.,2.某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家 电需要在电器方面加工6小时，装配加工1小时，每件 甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配 件方面加工5小时，在电器方面加工2小时，装配加工 1小时，每件乙种家电的利润为100元.已知该工厂可用 于外壳配件方面加工的能力为每天15小时，可用于电,器方面加工的能力为每天24小时，可用于装配加工的能力为每天5小时.问该工厂每天制造两种家电各几件，可使获取的利润最

16、大？(每天制造的家电件数为整数),【解题探究】1.典例1中对于两种机器的取值有何限制？ 提示：两种机器数的取值应为整数. 2.典例2应从哪几个方面列出约束条件？ 提示：应从每天外壳配件方面加工的能力，每天电器方面加工的能力，每天装配加工的能力三个方面列约束条件.,【解析】1.设第一种机器购买x台，第二 种机器购买y台，总的年利润为z万日元， 则 目标函数为z=9x+6y. 不等式组表示的平面区域如图阴影部分中的整点.,当直线z=9x+6y经过点 即到达l1位置时，z取得最大值，但题目要求x，y均为自然数，故进行调整，调整到与M邻近的整数点(33，7)，此时z=9x+6y取得最大值，即第一种机器

17、购买33台，第二种机器购买7台较好. 答案：337,2.设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x件、y件， 获取的利润为z百元，则z=2x+y，满足 作出可行域如图阴影部分的整点：,由图可得O(0，0)，A(0，3)，B(2，3)， D(4，0) 平移直线y=-2x+z，当直线过(3，2)或(4，0)时z有最大 值. 答：工厂每天制造甲种家电3件，乙种家电2件或仅制造 甲种家电4件，可获利最大.,【延伸探究】典例2中，若将甲种家电的利润改为“100元”，乙种家电的利润改为“200元”，又如何求解？,【解析】设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x件， y件，获取的利润为z百元，则z=x+2y，满足

18、 目标函数变形为 由可行域知当目标函数过点 B(2，3)时目标函数取最大值，工厂每天制造甲种家电 2件，乙种家电3件时利润最大，Wmax=8(百元).,【方法技巧】寻找整点最优解的三种方法 (1)平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应充分利用整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.,(2)小范围搜寻法：即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来，代入目标函数，直接求出目标函数的最大(小)值. (3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再调整最优值，最后筛选

19、出整点最优解.,【变式训练】(2015张家界高二检测)我市某玩具公司根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每天生产A，B，C三种玩具共100个，且C玩具至少生产20个.每天生产时间不超过10小时，已知生产这些玩具每个所需工时(分钟)和所获利润如下表：,(1)用每天生产A玩具个数x与B玩具个数y表示每天的利润(元). (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？,【解析】(1)由题意=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300. (2)由题意，约束条件为,可行域如图中的整点所示. 解方程组得 点M的坐标 为(20，60)， 所以max=2x+3y+300=520(

20、元). 答：每天生产A玩具20个，B玩具60个，C玩具20个，才能使每天的利润最大，最大利润是520元.,【补偿训练】某公司招收男职员x名，女职员y名，x和 y需满足约束条件 求目标函数z=10 x+10y 的最大值.,【解析】画出不等式组 表示的平面区域如图：,而由题意知x和y必须是正整数.直线y=-x+ 由A点向下平移经过的第一个整点为(5，4). 所以z=10 x+10y的最大值为90.,规范解答 线性规划解决实际应用问题 【典例】(12分)(2015南昌高二检测)某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵