等差数列的前n项和公式的性质

1、2.2.2等差数列前n项和公式 的性质及其应用,思（2分钟）,an1an12an（n2）,an an1d（n2）,在结构上是关于n的一次函数.,ana1(n1)dam(nm)dpnk.,1.等差数列的递推公式是什么？,2.等差数列通项公式是什么？结构上它有什么特征？,3.等差数列前n项和的两个基本公式是什么？,思考1：若数列an的前n和 那么数列an是等差数列吗？,an是等差数列,知识探究（一）等差数列与前n项和的关系,议（5分钟）,思考2：将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？,当d0时，Sn是常数项为零的二次函数.,思考3：一般地，若数列an的前n和SnAn2

2、Bn，那么数列an是等差数列吗？若SnAn2BnC 呢？,（1）数列an是等差数列 SnAn2Bn,（2）数列an 的前n项和是SnAn2BnC ，则：,若C0，则数列an是等差数列；,若C0，则数列an从第2项起是等差数列。,思考4：若an为等差数列，那么 是什么数列？,数列an是等差数列 为等差数列,即等差数列an的前n项的平均值组成的数列仍然是等差数列，且公差是数列an的公差的一半。,学以致用,2.等差数列an中，Sn是其前n项和，a12011， ，则S2011的值为() A.0 B.2011 C.2011 D.20112011,C,知识探究（二）等差数列前n项和的性质,思考1：在等差数

3、列an中，每连续k项的和组成的数列，即数列a1a2ak， ak+1ak+2a2k， a2k+1a2k+2a3k， 是等差数列吗？,性质：若数列an是等差数列，那么数列Sk，S2kSk， S3kS2k , 仍然成等差数列,思考3：在等差数列an中，设S偶a2a4a2n， S奇a1a3a2n1，则S偶S奇与 等于什么？,S偶S奇nd,思考2：在等差数列an中，Sn，S2n，S3n三者之间有什么关系？,S3n3(S2nSn),3. 等差数列an中，已知S42， S87，则S12=_；,学以致用,15,4. 等差数列an的前m项的和为30，前2m项的和 为100，则它的前3m项的和为 () A. 13

4、0 B. 170 C. 210 D. 260,c,思考4：设等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、 Tn，则 等于什么？,思考5：在等差数列an中，若a10， d0，则Sn是否存在最值？如何确定其最值？,当ak0，ak10时，Sk为最大.,且 ，则,.,例2：Sn，Tn分别是等差数列an、bn的前n项的和，,学以致用,1.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且 ，则使得 为整数的正整数n的个数是() A2 B3 C4 D5,变式探究,D,【题型分类 深度剖析】,题型1：等差数列前n项和性质的简单应用,例1：（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项

5、的和为390，则该数列有( )项。 A.13 B.12 C.11 D.10,A,变式探究,1.已知等差数列an满足a1+a2+a3+a101=0，则有( ) A.a1+a1010 B.a2+a1000 C.a3+a99=0 D.a51=51,2.等差数列an 前n项和Snan2(a1)na2， 则an .,C,题型2：等差数列最值问题,例2：等差数列an中，a10，S9S12，该数列前多少项的和最小？,又nN*，n10或n11时，Sn取最小值,小结：求等差数列an前n项和Sn的最值常用方法：,方法1：二次函数性质法，即求出Sn=an2+bn， 讨论二次函数的性质,方法2：讨论数列an 的通项，

6、找出正负临界项。,（1）若a10，d0，则Sn有大值，且Sn最大时的n,满足an0且an+10;,（2）若a10，则Sn有小值，且Sn最小时的n,满足an0且an+10;,变式探究,1.首项为正数的等差数列an，它的前3项和与前11项和相等，则此数列前_项和最大？,2.等差数列an 前n项和Sn中，以S7最大，且|a7|0的n的最大值为_,3.等差数列an中，已知|a7|=| a16|=9，且a14=5，则使 an0的最大自数n=（ ） A.10 B.11 C.12 D.13,7,13,例4：已知数列an的前n项和Sn12nn2，求数 列|an|的前n项和Tn.,当n1时，a1S1121211；当n2时， anSnSn112nn212(n1)(n1)2132n. n1时适合上式，an的通项公式为an132n. 由an132n0，得n ， 即当1n6(nN*)时，an0； 当n7时，an0.,解析：,题型3：求等差数列的前n项的绝对值之和,(1)当1n6(nN*)时， Tn|a1|a2|an|a1a2an12nn2.,(2)当n7(nN*)时，Tn|a1|a2|an| (a1a2a6)(a7a8an) (a1a2an)2(a1a6) Sn2S6n212n72.,变式探究,1数列an中，a18，a42，且满足 an22an1an0，nN*