线性代数矩阵习题课.ppt

1、,1、设,求 An 2An-1 (n2)。,解：An 2An-1 =(A-2E )An-1,=0,线性代数习题课（一）,2、设n 维向量 =(a , 0 , , 0 , a)T(a0),其中A的逆矩阵为B，求a的值。,A=E-T , B=E-T/a ,解：AB=E+(1-1/a-2a)T,AB=E 1-1/a-2a =0,a=-1/2,( a =1舍去),线性代数习题课（一）,3、设A与A+E均可逆，G=E-(A+E)-1 ,求 G-1。,G =E-(A+E)-1,=A(A+E) -1,G -1=(A(A+E) -1)-1=(A+E)A-1,=(A+E)(A+E) -1-(A+E)-1,由A与

2、A+E均可逆可知G也可逆，且,线性代数习题课（一）,4、设四阶矩阵A=( , r2, r3, r4), B=(, r2, r3, r4),|A+B|=|+，2r2, 2r3, 2r4|,=8(|A|+|B|),=40,其中，r2, r3, r4均为4维向量，,且已知|A|=4 , |B|=1 , 求|A+B|。,线性代数习题课（一）,5、设,且 AX=A+2X, 求矩阵X.,线性代数习题课（一）,解: 因为 AX=A+2X,所以(A2E)X=A,而,又,线性代数习题课（一）,所以,线性代数习题课（一）,6、设,求 An,线性代数习题课（一）,解：设 A=E+H，,Hn=0(n3),，,H=,则

3、H2=,其中,故 An=(E+H)n,= n E +n-1H+n-2H2,=,线性代数习题课（一）,7、设矩阵,且r(A)=2，求 和 的值。,线性代数习题课（一）,解：A,又 r(A)=2,故 = 5 , = -1,线性代数习题课（一）,8、多项式 ,求f(x)中常数项的值。,解：观察f(x)的结构可知，常数项的值为,d =-1(-1)1+23(-1)2+3(2-3),=3,线性代数习题课（一）,9、设 ,求A2014。,解：注意到A3=-E , A6=E，,故 A2014=(A6)335A3A,=-A,线性代数习题课（一）,10、计算行列式,解：,=24,线性代数习题课（一）,11、设n阶

4、矩阵A的伴随矩阵为A*,(1) 若| A | = 0, 则| A* | = 0;,证明:,(2) |A*| = | A | n1.,线性代数习题课（一）,证(1): 当A = 0时,则 | A |的所有代数余子式,从而A* = 0, 故| A* | = 0.,当 A O且| A | = 0时, 用反证法证明.,假设| A* | 0, 则有A*(A*)1 = E,故,A = AE = AA*(A*)1 = AA*(A*)1,= | A |E(A*)1 = O,这与A 0矛盾,故当| A | = 0时, | A* | = 0.,均为0,线性代数习题课（一）,(2) 当| A | = 0时, 则由(

5、1)得| A* | = 0,从而| A* | = | A |n1成立.,当| A | 0时, 由 AA* = | A | E 得,| A | | A* | = | AA* | = | A | E | = | A |n,由| A | 0得, | A* | = | A |n1.,线性代数习题课（一）,12、设A为可逆矩阵，证明其伴随矩阵A*也是,证: A为可逆矩阵，则|A* |=|A|n-10，,故A*是可逆的。,又 A*=|A|A-1，,故(A-1)*=|A-1|(A-1)-1,=|A-1|A,显然 A*(A-1)*=E，,故(A*)=(A-1)*。,可逆的，且(A*)=(A-1)*。,线性代数

6、习题课（一）,13、设矩阵A,B满足A*BA=2BA-E,其中,A=diag(1,-2,1), A*为A的伴随矩阵，求矩阵B,解:|A|=-2,故A可逆，且 A-1=diag(1,-1/2,1),又 A*=|A|A-1=-2A-1=diag(-2,1,-2),故2(E+A-1)BA=E , 即B=(E+A-1)-1A-1/2,故B=diag(-1,1/2,-1),又 (E+A-1)-1=diag(-1 , 1/2 , -1),线性代数习题课（一）,14、设n阶矩阵 A、B、A+B可逆，,试证明:A-1+B-1可逆,并求其逆矩阵。,证明：,A+B=A(A-1+B-1)B,|A+B|=|A|A-1

7、+B-1|B|,又因为 A、B、A+B可逆，,故A、B、A+B的行列式不为零。,故A-1+B-1的行列式不为零，,即A-1+B-1为可逆矩阵。,又A-1(A+B)B-1=A-1+B-1,故(A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A,线性代数习题课（一）,15、设行列式 ，,解：,=34,第三行各元素余子式之和。,显然 M31+M32+M33+M34 =D,=34,线性代数习题课（一）,线性代数习题课（一）,16、设1=(1 , 1 , 1)T, 2=(1 , 2 , 3)T, 1=(1 , 3 , t)T,(1)问t为何值时，向量组1、2、3线性无关？,(2)问t为何值时，向量组1、2、3线性

8、相关？,线性相关时，将3 由1、2线性表出。,解：(1, 2, 1)=,故t=5时，向量组1、2、3线性相关，,且 3=-1+22,线性代数习题课（一）,17、设1=m1+32+3 , 2=21+(m+1)2+3 ,3=-21-(m+1)2+(m-1)3 ,其中向量组1、2、3线性无关，,试讨论向量组1、2、3线性相关性。,线性代数习题课（一）,解：,(1 2 3)=,(1 2 3),=m(m-2)(m+1),故m=0 ,否则向量组线性无关。,或m=-1 ,或m=2,时向量组线性相关。,1、设A为n阶方阵，A*为其伴随矩阵，,det,(-1)n3,det(A)=1/3 , 则,线性代数习题课（

9、一）,2、设三阶方阵A0，B= ,且AB=0，则t =,4,解：设A=(1 , 2 ,3) , 则,AB=(1+22+33 ,31+42+53 , 51+t2+33),由于AB=0，则B的列向量为AX=0的解,又三阶方阵A0，故AX=0至多有两个,线性无关的解向量,即r(B)2。,线性代数习题课（一）,3、若n阶矩阵A满足方程,A2+2A+3E=0,则 A-1=,4、设A为三阶矩阵，且|A| = 1,则 |2A-1 +3A* |=,53=125,线性代数习题课（一）,5、设A= ,则 An=,线性代数习题课（一）,设A= ,则 An=,A2n+1=,A2n=,6、设A= ,则 A-1=,7、设

10、 =(a1 , a2 , ,an) 0, =(b1 , b2 , , bn) 0,且A=T ，则 r(A)=,1,r(AB)minr(A) , r(B),线性代数习题课（一）,设A= ,则 A-1=,8、设A为4阶方阵,则r(A*)=,1,r(A*)=,n, 若r(A)=n,1, 若r(A)=n-1,0, 若r(A)n-2,(2)若矩阵A的秩r(A)=2，,A*为A的伴随矩阵，,则r(A*)=,0,线性代数习题课（一）,(1)若矩阵A的秩r(A)=3，,线性代数习题课（一）,9、设A为43矩阵，且r(A)=2, 而,B= ,则 r(AB)=,2,10、设A= ,且r(A)=3,则 k =,-3

11、,11、设三阶矩阵A= , B= ,且|A|=2 , |B|=3, 则|3A|=,|A+B|= ,|A-B|=,|AT+BT|=,54,20,0,20,线性代数习题课（一）,作 业 题 答 案,1、设矩阵,则(1)A+B=,2A-3C=,B-C=,(2)若矩阵X满足A+2X=C ,则X =(C-A)/2=,(3) 若矩阵Y满足(2A+Y)+3(B-Y)=0 ,则Y=(2A+3B)/2 =,(4) 若矩阵X、Y满足3X-Y=2A , X+Y=B ,则X=(2A+B)/4 =,则Y=(3B-2A)/4 =,作 业 题 答 案,2、 设矩阵A= ,B=,则ABT=,=,作 业 题 答 案,线性代数习

12、题课（一）,3、用初等变换将矩阵A化成阶梯形矩阵、,行最简形矩阵、及标准型 。,A=,作 业 题 答 案,作 业 题 答 案,4、求A的逆矩阵,(AE)=,作 业 题 答 案,5、解矩阵方程:,(AB)=,(AX=B),X=,作 业 题 答 案,6、解矩阵方程:,(AXB=C),=,A=E(r1, r2)=A-1,B=E(r2 , r3)=B-1,X=A-1CB-1=,E(r1, r2),E(r2 , r3),作 业 题 答 案,7、设矩阵A、B满足AB=2B+A,且A=,解、有题设可知：(A-2E)B=A,(A-2E A)=,B=,8、计算行列式,=64,作 业 题 答 案,作 业 题 答

13、案,9、求矩阵A的伴随矩阵及逆矩阵。,矩阵A的代数余子式为：,A11=2,A21=-1,A31=-1,A12=-6,A22=0,A32=2,A13=2,A23=1,A33=-1,A的伴随矩阵为：,矩阵A行列式：,|A|=-2,A的逆矩阵为：,作 业 题 答 案,10、设 A=,则 A,若r( A)=1,则 k=1;,若r( A)=2,则 k=-2;,若r( A)=3,则 k1 , k-2.,作 业 题 答 案,11、设 A=,则 A,若r( A)=2 , 则,=,=,故 a=5 , b=1,第二章 n维列向量,12.已知向量组,1=(1 , 1 , 1 , 2),2=(3 , 1 , 2 , 5),3=(2 , 0 , 1 , 3),4=(1 , -1 , 0 , 1),(2)求出该向量组所有的极大无关组；,(1)求该向量组的秩；,(3)确定一个极大无关组，并将其余向量,5=(4 , 2 , 3 , 7),用该极大无关组线性表出,复 习,第二章 n维列向量,解：,(1T,2T,3T,4T , 5T)=,极大无关组为：,且3 =-1+2，,4 =-21+2 ,1 , 2 ；,1 , 3 ；,