Lagrange 插值多项式与Newton插值

1、专业序号姓名日期实验1 Lagrange 插值多项式【实验目的】1掌握用MATLAB计算拉格朗日插值方法，改变节点的数目，对插值结果进行初步分析；2掌握用MATLAB的插值方法并通过实例学习用插值解决实际问题。3. 观察Runge现象的演示。输入n，【程序设计】 输入x，令y=0对i=0,1.,n 执行 t=1对j=0,1.,nIf ji y=y+执行endend输出x，y，结束【实验内容】Lagrange 插值多项式按照 P74 图4-4 的方法编 Lagrange 插值多项式function y = mylagpoly(X,Y,x)X,Y 采样点x 自变量(向量) y 多项式的函数值要特别

2、注意大小写,x,y 和 t 都是向量【程序如下】:% exp4_2.m - Runge现象的演示(内含 L 和 N 插值多项式)function try_Runge% 见 P84f = inline(1./(1+25*x.2); % 定义函数n = 11;X = linspace(-1,1,n); % n 等分( n+1 个点),插值点横坐标Y = f(X); % 插值点纵坐标x = -1 : 0.01 : 1; % 加细 xy = mylagpoly(X,Y,x) plot(x,f(x),r,X,Y,o,x,y,b) title(Runge现象) % 加标题legend(y=1/(1+25*

3、x2),插值点 ,等分的10次插值多项式,0) % 加标签function y = mylagpoly(X,Y,x)n = length(X); y = zeros(size(x);for i = 1:n t=1; for j = 1:n if j = i t = t.*(x-X(j)/(X(i)-X(j); % 注意这里是点乘,字母与书上不同,此时t变成向量了 end end y=y+ t.*Y(i); end【运行结果如下】：【结果分析】：拉格朗日插值实验通过离散的点来构造一个函数来逼近原来的函数，理论上应该是点越多，构造函数应该会越来越逼近原函数，但是却发生了Range现象，所以在利用拉

4、格朗日插值法来构造函数来逼近原函数时，应该选择适当的点来逼近原函数，但即使如此，依然不能有效的避免Range现象。实验2 Newton 插值多项式【实验目的】1掌握用MATLAB计算牛顿插值方法，改变节点的数目，对插值结果进行初步分析；2掌握用MATLAB的牛顿插值方法并通过实例学习用插值解决实际问题。3. 观察Runge现象的演示。【程序设计】 对i=0,1.,n输入n，执行 对i=n-1,.,0输入x，执行end输出x，y，结束【程序如下】:function try_Runge% 见 P84f = inline(1./(1+25*x.2); % 定义函数n = 11;X = linspac

5、e(-1,1,n); % n 等分( n+1 个点),插值点横坐标Y = f(X); % 插值点纵坐标x = -1 : 0.01 : 1;% 加细 xy=interp_new(X,Y,x);% 作图 (见P84图4-6) plot(x,f(x),r,X,Y,o,x,y,b) title(Runge现象) % 加标题legend(y=1/(1+25*x2),插值点 ,等分的10次插值多项式,0) % 加标签% - Newton 插值多项式 -function y=interp_new(X,Y,x)n = length(X); %D = zeros(n,n); % 存差分表(下三角矩阵) y = zeros(size(x);for k = 2:n for i = 1:k-1 Y(k) =(Y(k)-Y(i)/(X(k)-X(i); % 注意这里是点乘,字母与书上不同,此时t变成向量了 endendy=Y(n);for i=n-1:-1:1 y=y.*(x-X(i)+Y(i);end【运行结果如下】：【结果分析】：经过改进的牛顿插值实验不需要构造一个矩阵来存储其他的差商，而是直接利用现有的差商直接带入计算得出差商表上的主要差商值，然后再进行不断的将已经求得的差商值进行计算，从而求得构造函数来逼近原函数。但即使由图可知在(-