1.2.1几个常见函数的导数 (2).pptx

1、1.2.1几个常见函数导数,大一轮复习讲义,NEIRONGSUOYIN,内容索引,题型分类 深度剖析,课时作业,题型分类深度剖析,1,PART ONE,题型一用导数求解函数极值问题,命题点1根据函数图象判断极值 例1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2) D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2),多维探究,解析由题图可知，当x0； 当22时，f(x)0. 由此可以得到

2、函数f(x)在x2处取得极大值， 在x2处取得极小值.,命题点2求已知函数的极值 例2(2018深圳调研)设函数f(x)ln(x1)a(x2x)，其中aR.讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由.,令g(x)2ax2axa1，x(1，). 当a0时，g(x)1， 此时f(x)0，函数f(x)在(1，)上单调递增，无极值点. 当a0时，a28a(1a)a(9a8).,函数f(x)在(1，)上单调递增，无极值点.,设方程2ax2axa10的两根为x1，x2(x1x2)，,所以当x(1，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增； 当x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(

3、x)单调递增. 因此函数f(x)有两个极值点.,当a0，由g(1)10， 可得x10，f(x)0，函数f(x)单调递增； 当x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减. 所以函数f(x)有一个极值点. 综上所述，当a0时，函数f(x)有一个极值点；,命题点3根据极值(点)求参数,例3已知函数f(x) 若x2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为 A.(，e B.0，e C.(，e) D.0，e),所以函数f(x)的定义域是(0，)，,因为x2是函数f(x)的唯一一个极值点， 所以x2是yf(x)的唯一变号零点.,当x(0,1)时，g(x)0，,所以g(x)在(0

4、,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，,若x2是函数f(x)的唯一一个极值点，则应需ke.,函数极值的两类热点问题 (1)求函数f(x)极值的一般解题步骤 确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号. (2)根据函数极值情况求参数的两个要领 列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. 验证：求解后验证根的合理性.,跟踪训练1已知函数f(x)ax1ln x(aR). (1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；,解f(x)的定义域为(0，).,当a0时，f(x)0在(0，)

5、上恒成立，函数f(x)在(0，)上单调递减， f(x)在(0，)上没有极值点；,当a0时，f(x)在(0，)上没有极值点，当a0时，f(x)在(0，)上有一个极值点.,(2)若函数f(x)在x1处取得极值，x(0，)，f(x)bx2恒成立，求实数b的取值范围.,解函数f(x)在x1处取得极值，,令g(x)0，得xe2，则g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，)上单调递增，,题型二用导数求函数的最值,师生共研,当ke时，f(x)minek1.,(1)若函数在区间a，b上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值； (2)若函数在闭区间a，b内有极值，要先求出a，b上的极值

6、，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成； (3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.,跟踪训练2 已知常数a0，f(x)aln x2x.当f(x)的最小值不小于a时，求实数a的取值范围.,所以当a0，x(0，)时，f(x)0， 即f(x)在(0，)上单调递增，没有最小值；,即aln(a)ln 20. 因为a0，所以ln(a)ln 20， 解得2a0， 所以实数a的取值范围是2,0).,题型三函数极值、最值的综合问题,例5(2018珠海调研)已知函数f(x) (a0)的导函数yf(x)

7、的两个零点为3和0. (1)求f(x)的单调区间；,师生共研,令g(x)ax2(2ab)xbc， 因为ex0，所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点且f(x)与g(x)符号相同. 又因为a0，所以当30，即f(x)0， 当x0时，g(x)0，即f(x)0， 所以f(x)的单调递增区间是(3,0)， 单调递减区间是(，3)，(0，).,(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值.,解由(1)知，x3是f(x)的极小值点，,解得a1，b5，c5，,因为f(x)的单调递增区间是(3,0)， 单调递减区间是(，3)，(0，)， 所以f(0)5为函数f(x)的

8、极大值， 故f(x)在区间5，)上的最大值取f(5)和f(0)中的最大者，,所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5.,(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.,跟踪训练3若函数f(x) 在区间(a，a5)上存在最小值，则实数a的取值范围是 A.5,0) B.(5,0) C.3,0) D.(3,0),解析由题意，得f(x)x22xx(x2)， 故f(x)在(，2)，(0，)上是增函数， 在(2,0)上是减

9、函数，作出其图象如图所示，,x0或x3，则结合图象可知，,例(12分)已知函数f(x)ln xax(aR). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值.,答题模板,DATIMUBAN,利用导数求函数的最值,综上可知，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)；,所以f(x)的最小值是f(1)a. 7分,又f(2)f(1)ln 2a，,当ln 2a1时，最小值为f(2)ln 22a. 11分 综上可知，当0aln 2时，函数f(x)的最小值是f(1)a； 当aln 2时，函数f(x)的最小值是f(2)ln 22a. 12分,答题模板 用导数法求给定区

10、间上的函数的最值问题的一般步骤 第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f(x)； 第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值； 第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值； 第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进比较，确定f(x)的最大值与最小值； 第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范.,课时作业,2,PART TWO,1.函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x) A.无极大值点、有四个极小值点 B.有三个极大值点、一个极小值点 C.有两个极大值点、两个极小值点 D.有四个极大值点、无极小值点,解析设f(x)

11、的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1，x2，x3，x4. 当x0，f(x)为增函数，当x1xx2时，f(x)0，f(x)为减函数，则xx1为极大值点， 同理，xx3为极大值点，xx2，xx4为极小值点，故选C.,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a等于 A.4 B.2 C.4 D.2,解析由题意得f(x)3x212，由f(x)0得x2， 当x(，2)时，f(x)0，函数f(x)单调递增， 当x(2,2)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，所以a2.,1,2,3,4,5,6,7,

12、8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.函数yxex的最小值是 A.1 B.e C. D.不存在,解析因为yxex，所以yexxex(1x)ex. 当x1时，y0；当x1时，y0， 所以当x1时，函数取得最小值，且ymin 故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.(2018南昌调研)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则 A.当k1时，f(x)在x1处取得极小值 B.当k1时，f(x)在x1处取得极大值 C.当k2时，f(x)在x1处取得极小值 D.当k2时，f(x)在x1处取得极大值,解析当

13、k1时，f(x)exx1，f(1)0，x1不是f(x)的极值点. 当k2时，f(x)(x1)(xexex2)， 显然f(1)0，且在x1附近的左侧f(x)1时，f(x)0， f(x)在x1处取得极小值.故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.若函数f(x)x32cx2x有极值点，则实数c的取值范围为,解析若函数f(x)x32cx2x有极值点， 则f(x)3x24cx10有两个不等实根， 故(4c)2120，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系

14、式为yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为 A.1百万件 B.2百万件 C.3百万件 D.4百万件,解析y3x2273(x3)(x3)， 当00； 当x3时，y0. 故当x3时，该商品的年利润最大.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.设aR，若函数yexax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是_.,解析yexax，yexa. 函数yexax有大于零的极值点， 方程exa0有大于零的解， 当x0时，ex1，aex1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(，1),8.函数f(x)x33a2

15、xa(a0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范 围是_.,解析f(x)3x23a23(xa)(xa)， 由f(x)0得xa， 当aa或x0，函数f(x)单调递增， f(x)的极大值为f(a)，极小值为f(a). f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m1,1，则f(m)的最小值为_.,4,解析f(x)3x22ax，由f(x)在x2处取得极值知f(2)0， 即342a20，故a3. 由此可得f(x)x33x24. f(x)3x26x，由此可得f(x

16、)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增， 当m1,1时，f(m)minf(0)4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.(2018长沙调研)已知yf(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)ln xax 当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a_.,1,解析由题意知，当x(0,2)时，f(x)的最大值为1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.设函数f(x)aln xbx2(x0)，若函数f(x)在x1处与直线y 相切. (1)求实数a，b的值；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1

17、0,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,令f(x)0，得1xe，,在(1，e上单调递减，,12.(2018武汉质检)已知函数f(x) (1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解当x1时，f(x)3x22xx(3x2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,故当x0时，函数f(x)取得极小值f(0)0，,(2)求f(x)在1，e(e为自然

18、对数的底数)上的最大值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以f(x)在1,1)上的最大值为2. 当1xe时，f(x)aln x，当a0时，f(x)0； 当a0时，f(x)在1，e上单调递增， 则f(x)在1，e上的最大值为f(e)a. 故当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a； 当a2时，f(x)在1，e上的最大值为2.,13.函数f(x)x33x1，若对于区间3,2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，则实数t的最小值是 A.20 B.18C.3 D.

19、0,解析因为f(x)3x233(x1)(x1)， 令f(x)0，得x1，可知1,1为函数的极值点. 又f(3)19，f(1)1，f(1)3，f(2)1， 所以在区间3,2上，f(x)max1，f(x)min19. 由题设知在区间3,2上，f(x)maxf(x)mint， 从而t20，所以t的最小值是20.,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.(2018忻州模拟)已知函数f(x)aex2x2a，且a1,2，设函数f(x)在区间0，ln 2上的最小值为m，则m的取值范围是_.,2，2ln 2,解析g(a)f(x)a(ex2)2x是关于a的一次函数，当x0，ln 2)时，ex20，即yg(a)是减函数， a1,2， g(a)min2(ex2)2x(易知xln 2也成立)， 设M(x)2(ex2