离散数学 集合证明

1、2020/9/21,.,1,第4讲 集合恒等式,内容提要 1. 集合恒等式与对偶原理 2. 集合恒等式的证明 3. 集合列的极限 4. 集合论悖论与集合论公理,2020/9/21,.,2,集合恒等式(关于与),等幂律(idempotent laws) AA=A AA=A 交换律(commutative laws) AB=BA AB=BA,2020/9/21,.,3,集合恒等式(关于与、续),结合律(associative laws) (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) 分配律(distributive laws) A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC),2020

2、/9/21,.,4,集合恒等式(关于与 、续),吸收律(absorption laws) A(AB)=A A(AB)=A,2020/9/21,.,5,集合恒等式(关于),双重否定律(double complement law) A=A 德摩根律(DeMorgans laws) (AB)=AB (AB)=AB,2020/9/21,.,6,集合恒等式(关于与E),零律(dominance laws) AE=E A= 同一律(identity laws) A=A AE=A,2020/9/21,.,7,集合恒等式(关于,E),排中律(excluded middle) AA = E 矛盾律(contra

3、diction) AA = 全补律 = E E = ,2020/9/21,.,8,集合恒等式(关于-),补交转换律(difference as intersection) A-B=AB,2020/9/21,.,9,集合恒等式(推广到集族),分配律 德摩根律,2020/9/21,.,10,对偶(dual)原理,对偶式(dual): 一个集合关系式, 如果只含有, , E,=, , 那么, 同时把与互换, 把与E互换, 把与互换, 得到的式子称为原式的对偶式. 对偶原理: 对偶式同真假. 或者说, 集合恒等式的对偶式还是恒等式.,2020/9/21,.,11,对偶原理(举例),分配律 A (B C

4、) = (A B ) (A C ) A (B C) = (A B ) (A C ) 排中律 A A=E 矛盾律 A A= ,2020/9/21,.,12,对偶原理(举例、续),零律 A E =E A = 同一律 A =A A E=A,2020/9/21,.,13,对偶原理(举例、续),A B A A B A A E A,2020/9/21,.,14,集合恒等式证明(方法),逻辑演算法: 利用逻辑等值式和推理规则 集合演算法: 利用集合恒等式和已知结论,2020/9/21,.,15,逻辑演算法(格式),题目: A=B. 证明: x, xA (?) xB A=B. #,题目: AB. 证明: x,

5、 xA (?) xB AB. #,2020/9/21,.,16,分配律(证明),A(BC)=(AB)(AC) 证明: x, xA(BC) xA x(BC) (定义) xA (xB xC) (定义) (xAxB)(xAxC) (命题逻辑分配律) (xAB)(xAC) (定义) x(AB)(AC) (定义) A(BC)=(AB)(AC),2020/9/21,.,17,零律(证明),A = 证明: x, xA xA x (定义) xA 0 (定义) 0 (命题逻辑零律) A = ,2020/9/21,.,18,排中律(证明),AA = E 证明: x, xAA xA xA (定义) xA xA (定

6、义) xA xA (定义) 1 (命题逻辑排中律) AA = E,2020/9/21,.,19,集合演算法(格式),题目: A=B. 证明: A =(?) =B A=B. #,题目: AB. 证明: A (?) B AB. #,2020/9/21,.,20,吸收律(证明),A(AB)=A 证明: A(AB) = (AE)(AB) (同一律) = A(EB) (分配律) = AE (零律) = A (同一律) A(AB)=A,A,B,2020/9/21,.,21,吸收律(证明、续),A(AB) = A 证明: A(AB) = (AA)(AB) (分配律) = A(AB) (等幂律) = A (吸

7、收律第一式) A(AB) = A,A,B,2020/9/21,.,22,集合演算法(格式,续),题目: A=B. 证明: () AB () A B A = B. # 说明: 分=成与,题目: AB. 证明: AB (或AB) =(?) = A (或B) AB. # 说明: 化成= AB=AAB AB=BAB,2020/9/21,.,23,集合恒等式证明(举例),基本集合恒等式 对称差()的性质 集族(AS)的性质 幂集(P( )的性质,2020/9/21,.,24,补交转换律,A-B = AB 证明: x, xA-B xA xB xA xB x AB A-B = AB. #,2020/9/21

8、,.,25,德摩根律的相对形式,A-(BC)=(A-B)(A-C) A-(BC)=(A-B)(A-C) 证明: A-(BC) = A(BC) (补交转换律) = A(BC) (德摩根律) = (AA)(BC) (等幂律) = (AB)(AC) (交换律,结合律) = (A-B)(B-A) (补交转换律). #,2020/9/21,.,26,对称差的性质,交换律: AB=BA 结合律: A(BC)=(AB)C 分配律: A(BC)=(AB)(AC) A=A, AE=A AA=, AA=E,2020/9/21,.,27,对称差的性质(证明2),结合律: A(BC)=(AB)C 证明思路： 分解成

9、“基本单位”, 例如: 1. ABC 2. A BC 3. A B C 4. ABC,A,B,C,ABC,1,2,3,4,2020/9/21,.,28,对称差的性质(证明2、续1),结合律: A(BC)=(AB)C 证明: 首先, AB = (A-B)(B-A) (定义) = (AB)(BA) (补交转换律) = (AB)(AB) (交换律) (*),AB,A,B,2020/9/21,.,29,对称差的性质(证明2、续2),其次, A(BC) = (A(BC)(A(BC) (*) = (A(BC)(BC) (A(BC)(BC) (*) = (A(BC)(BC) (A(BC)(BC) (德摩根律

10、),2020/9/21,.,30,对称差的性质(证明2、续3),= (A(BC)(BC) (A(BC)(BC) = (A(BC)(BC) (A(BC)(BC) (德摩根律) = (ABC)(ABC) (ABC)(ABC) (分配律),2020/9/21,.,31,对称差的性质(证明2、续4),同理, (AB)C = (AB)C)(AB)C) (*) = (AB)(AB)C) (AB)(AB)C) (*) = (AB)(AB)C) (AB)(AB)C) (德摩根律),2020/9/21,.,32,对称差的性质(证明2、续5),= (AB)(AB)C) (AB)(AB)C) = (AB)(AB)C

11、) (AB)(AB)C) (德摩根律) = (ABC)(ABC) (ABC)(ABC) (分配律) A(BC)=(AB)C. #,2020/9/21,.,33,对称差的性质(讨论),有些作者用表示对称差: AB=AB 消去律: AB=AC B=C (习题一,23) A=BC B=AC C=AB 对称差与补: (AB) = AB = AB AB = AB 问题: ABC=ABC ?,2020/9/21,.,34,对称差的性质(讨论、续),如何把对称差推广到n个集合: A1A2A3An = ? x, xA1A2A3An x恰好属于A1,A2,A3,An中的奇数个 特征函数表达: A1A2An(x)

12、 = A1(x)+A2(x)+An(x) (mod 2) = A1(x)A2(x)An(x) (mod 2),都表示模2加法,即相加除以2取余数),2020/9/21,.,35,特征函数与集合运算:,AB(x) = A(x)B(x) A(x) = 1-A(x) A-B(x) = AB(x)=A(x)(1-B(x) AB(x) = (A-B)B(x) = A(x)+B(x)-A(x)B(x) AB(x) = A(x)+B(x) (mod 2) = A(x)B(x),A,B,2020/9/21,.,36,对称差的性质(讨论、续),问题: ABC = ABC ? 答案: ABC = (ABC) =

13、(ABC) = ABC ABCD = ABCD = ABCD = (ABCD) = A = (A),2020/9/21,.,37,对称差的性质(证明3),分配律: A(BC)=(AB)(AC) 证明 A(BC) = A(BC)(BC) = (ABC) (ABC),A,B,C,A(BC),2020/9/21,.,38,对称差分配律(证明3、续),(续) (AB)(AC) = (AB)(AC)(AB)(AC) =(AB)(AC)(AB)(AC) =(ABC)(ABC) A(BC)=(AB)(AC). #,2020/9/21,.,39,对称差分配律(讨论),A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=

14、(AB)(AC) ? A(BC)=(AB)(AC) ? A(BC)=(AB)(AC) ?,2020/9/21,.,40,集族的性质,设A,B为集族, 则 1. AB A B 2. AB A B 3. A AB B A 4. AB B A 5. A A A,2020/9/21,.,41,集族的性质(证明1),AB A B 证明: x, xA A(AA xA) (A定义) A(AB xA) (AB) xB (B定义) A B. #,2020/9/21,.,42,集族的性质(证明2),AB A B 证明: x, xA AB xA (AB, 合取) A(AB xA) (EG) xB A B. #,20

15、20/9/21,.,43,集族的性质(证明3),A AB B A 说明: 若约定=E, 则A的条件可去掉. 证明: x, xB y( yB xy ) y( yA xy ) (AB) xA B A . #,2020/9/21,.,44,集族的性质(证明4),AB B A 证明: x, xB y( yB xy ) AB x A (UI) xA (AB) B A . #,2020/9/21,.,45,集族的性质(证明5),A A A 说明: A的条件不可去掉! 证明: A y(yA), 设 AA. x, xA y( yA xy ) AA xA xA (AA) AA xA y( yA xy) x A

16、A A . #,2020/9/21,.,46,幂集的性质,AB P(A)P(B) P(A)P(B) P(AB) P(A)P(B) = P(AB) P(A-B) (P(A)-P(B),2020/9/21,.,47,幂集的性质(证明1),AB P(A)P(B) 证明: () x, xP(A) xA xB (AB) xP(B) P(A)P(B),2020/9/21,.,48,幂集的性质(证明1、续),AB P(A)P(B) 证明(续): () x, xA xP(A) xP(B) (P(A)P(B) xB AB. #,2020/9/21,.,49,幂集的性质(证明2),P(A)P(B) P(AB) 证

17、明: x, xP(A)P(B) xP(A)xP(B) xAxB xAB xP(AB) P(A)P(B) P(AB),2020/9/21,.,50,幂集的性质(证明2、续),P(A)P(B) P(AB) 讨论: 给出反例, 说明等号不成立: A=1, B=2, AB=1,2, P(A)=,1, P(B)=,2, P(AB)= ,1,2,1,2 P(A)P(B) ,1,2 此时, P(A)P(B) P(AB). #,2020/9/21,.,51,幂集的性质(证明3),P(A)P(B) = P(AB) 证明: x, xP(A)P(B) xP(A) xP(B) xA xB x AB xP(AB) P(

18、A)P(B) = P(AB). #,2020/9/21,.,52,幂集的性质(证明4),P(A-B) (P(A)-P(B) 证明: x, 分两种情况, (1) x=, 这时 xP(A-B) 并且 x(P(A)-P(B) (2) x, 这时 xP(A-B) x A-B xAxB xP(A)xP(B) xP(A)-P(B) P(A-B) (P(A)-P(B). #,A,B,2020/9/21,.,53,集合运算的优先级,分三级: 第一级最高, 依次降低 第一级: 补, 幂P() 第二级: 广义并, 广义交 第三级: 并, 交, 相对补-, 对称差 同一级: 用括号表示先后顺序,2020/9/21,.,54,集合列的极限,2020/9/21,.,5