人教A高中数学选修11同课异构课件2322探究导学课型

1、2.3.2抛物线的简单几何性质 第2课时抛物线方程及性质的应用,类型一：直线与抛物线的位置关系 【典例1】(1)(2015吉林高二检测)已知直线l过点 且与 抛物线y2=2px(p0)只有一个公共点，则直线l的方程为_. (2)顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x-4所得的弦长 |AB|= 则此抛物线方程为_.,【解题指南】(1)设出直线的点斜式方程，利用直线与抛物线只有一个公共点的条件求斜率. (2)利用直线被抛物线截得的弦长公式求参数.,【解析】(1)当直线与抛物线只有一个公共点(相切)时，由题意设直 线l方程为 将直线l的方程与y22px联立，消去 x得ky22py(23k)p

2、20. 由0得， 或k1. 所以直线l的方程为2x6y9p0，或2x2yp0. 当直线l与x轴平行时，直线l与抛物线只有一个交点，此时，yp， 故满足条件的直线共有三条，其方程为： 2x6y9p0，或2x2yp0，或yp. 答案：2x6y9p0，或2x2yp0，或yp.,(2)设所求的抛物线方程为y2ax(a0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 把直线y2x4代入y2ax， 得4x2(a16)x160， 由(a16)22560，得a0或a32. 又 所以|AB|,所以 所以a4或a36. 故所求的抛物线方程为y24x或y236x. 答案：y24x或y236x.,【延伸探究】 1.(变换条

3、件，改变问法)本题(1)中，若过点A(t，p)只有一条直线 与抛物线只有一个公共点，求t的取值范围. 【解析】由典例知，若点A在抛物线外部或抛物线上，则至少有两条 直线与抛物线只有一个公共点，所以点A应在抛物线内部，即p22pt, 所以,2.(变换条件)本题(1)中，若斜率为2的直线被抛物线截得的弦的中点坐标为(2,1)，求抛物线的方程. 【解析】设直线与抛物线的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则 所以 代入已知条件得22=2p， 所以p=2，抛物线方程为y2=4x.,【规律总结】直线与抛物线位置关系的常见解法 (1)点差法：对于直线和抛物线有两个交点问题，“点差法”是常用 法.

4、如若A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2=2px上两点，则直线AB的斜 率kAB与y1+y2可得如下等式,(2)联立方程法：设抛物线方程为y2=2px(p0)，直线Ax+By+C=0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2+ny+q=0， 若m0，当0时，直线与抛物线有两个公共点； 当=0时，直线与抛物线只有一个公共点； 当0时，直线与抛物线没有公共点. 若m=0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合.,提醒：直线与抛物线位置关系问题，常转化为二次函数问题解决，但要注意对二次项系数是否为零进行讨论，避免漏掉直线与抛物线对称轴平行的特殊情况.

5、,【补偿训练】(2015盐城高二检测)已知抛物线y2=4x截直线y=2x+m 所得弦长|AB|= (1)求m的值. (2)设P是x轴上的一点，且ABP的面积为9，求P的坐标.,【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2), 由 得4x24(m1)xm20, 由根与系数的关系得, |AB| 由|AB| 即,(2)设P(a，0)，P到直线AB的距离为d， 则 又SABP |AB|d，则 所以 a5或a1， 故点P的坐标为(5，0)或(1，0),类型二：抛物线中的最值与对称问题 【典例2】(1)(2015武汉高二检测)已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为x-y+4=0，在抛物线上有一动点

6、P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为() (2)在已知抛物线y=x2上存在两个不同的点M，N关于直线y=kx+ 对称，则k的取值范围为_.,【解题指南】(1)利用两点之间线段最短结合抛物线的定义求解. (2)方法一：假设存在M，N两点，利用MN的中点在抛物线内部确定k的范围 方法二：设出MN的方程，利用直线MN与抛物线有两个交点确定k的范围,【解析】(1)选D.设抛物线焦点为F，过P作PA与准线垂直，垂足为 A，作PB与l垂直，垂足为B，则d1d2|PA|PB|1|PF|PB| 1，显然当P，F，B三点共线(即P点在由F向l作垂线的垂线段上) 时，d1d2取到最

7、小值，最小值为,(2) 方法一：设M(x1，x12)，N(x2，x22)关于直线 对称，可 知k0,所以 即x1x2 设MN的中点为P(x0，y0)， 则 因中点P在yx2内，有 所以,方法二：由题意可设MN的方程为 由 得kx2+xbk=0，则=1+4bk20, 设M(x1,y1),N(x2,y2),则 代入 得 代入=1+4bk20得16k210， 所以 答案：,【规律总结】 1.两类与抛物线定义有关的最值问题的解题方法 (1)点在抛物线外：求抛物线上的点P到抛物线外的一定点A的距离与准线的距离d之和的最小值.方法是利用抛物线的定义把d转化为|PF|(F为抛物线的焦点)，即将求|PA|+d

8、的最小值转化为求|PF|+|PA|的最小值.利用P，A，F三点共线求最小值.,(2)点在抛物线内：求抛物线上的点P到抛物线内的一定点A的距离与抛物线焦点F的距离之和的最小值.方法是利用抛物线的定义把|PF|转化为P到准线l的距离d，即将求|PA|+|PF|的最小值转化为求d+|PA|的最小值.利用点A到准线的垂线段最短求最小值.,2.抛物线中的对称问题的解法 (1)抛物线上存在两点关于直线对称问题要充分利用点关于直线对称的两个条件，即对称的两点的中点在对称轴上，对称点的连线与对称轴垂直. (2)若将两对称点连线的方程与抛物线的方程联立方程组，可利用判别式0得不等式，若利用点差法，则可以利用中点

9、在曲线内部得不等式，解不等式，即可求出参数的取值范围.,抛物线上一点到某定点或到某定直线的距离问题的两类解法 (1)函数最值法：设点P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p0)上的一点，则 即 再由两点间的距离公式，点到直线的距离公式 表示出所求距离，利用求函数最值的方法求解. (2)几何转化法：抛物线上一点到某定直线的距离的最值问题也可通 过平移直线的方法转化为平行线间的距离问题.,【巩固训练】已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标. 【解题指南】由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的

10、距离d，求|PA|+|PF|的问题可转化为求|PA|+d的问题.,【解析】将x3代入抛物线方程y22x，得 因为 所以A在抛物线内部，如图. 设抛物线上点P到准线l： 的距离为d， 由定义知|PA|PF|PA|d，当PAl时， |PA|d最小，最小值为 即|PA|PF|的 最小值为 此时P点纵坐标为2，代入y22x， 得x2，所以点P的坐标为(2,2).,【补偿训练】抛物线y2x2上两点A(x1，y1),B(x2，y2)关于直线yx m对称，且 则m等于( ),【解析】选A.依题意kAB 而y2y12(x22x12)，得 x2x1 且 在直线yxm上， 即 y2y1x2x12m， 所以2(x2

11、2x12)x2x12m， 2(x2x1)22x2x1x2x12m， 所以 所以2m3，,类型三：抛物线性质的综合应用 【典例3】(1)(2014新课标全国卷)设F为抛物线C：y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为( ),(2)(2014湖南高考)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为 a,b(ab)，原点O为AD的中点，抛物线y2=2px(p0)经过C，F两点， 则 =_.,【解题指南】(1)将三角形OAB的面积通过焦点“一分为二”，设出AF，BF，利用抛物线的定义求得面积. (2)由正方形的边长给出点C，F的坐标，代入抛物线方程求

12、解.,【解析】(1)选D.设点A,B分别在第一和第四象限,|AF|=2m,|BF|=2n, 则由抛物线的定义和直角三角形知识可得, 解得 所以m+n=6.所以 (2)由题可得 则 所以 答案：,【规律总结】抛物线综合问题中的数学思想 (1)转化与化归的思想：在求最值、字母的范围等问题时要注意利用抛物线的定义把抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离相互转化. (2)数形结合思想：在求解解析几何的题目时，一定要画一个图，便于有效地利用数形结合解决问题，其图的作用是：理清题中各量间的关系、寻找解题思路、帮助解题过程的语言表达.,(3)分类讨论思想：涉及直线与抛物线位置关系的问题，求直线方程要注意讨

13、论斜率的存在情况，利用根与系数的关系则要注意联立方程组消元后所得整式的二次项系数是否为0；求抛物线标准方程问题需注意焦点所在位置.,【巩固训练】(2015四川高考)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是() A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4),【解析】选D.当直线与x轴垂直的时候，满足条件的直线有且只有2条. 当直线与x轴不垂直的时候，由对称性不妨设切点 M(5+rcos ,rsin )(0), 则切线的斜率： 又M为AB中点，由点差法可求得， 所以 由于点M在抛物线内，所以y24x,将坐标代入可求得r4,综上，2r4