人教A高中数学必修四课件313二倍角的正弦余弦正切公式2

1、3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式,倍角公式,2sincos,cos2-sin2,2cos2-1,1-2sin2,1.判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)对于任意角，总有sin2=2sin.() (2)对于任意角，总有cos2=1-2cos2.() (3)对于任意角，总有tan2= (),【解析】(1)错误.对于任意角，总有sin 2= 2sin cos . (2)错误. 对于任意角，总有cos 2=2cos 21. (3)错误.当k+ ,2k+ ,kZ时， tan 2= 成立. 答案：(1) (2) (3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)sin2230cos223

2、0=. (2)2cos275-1=. (3)sin2 -cos2 =. (4)若tan=2，则tan2=.,【解析】(1)sin 2230cos 2230= sin 45= . 答案： (2)2cos2751=cos 150=cos 30= . 答案： (3) 答案： (4)因为tan =2，所以tan 2= 答案：,知识点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.公式的应用条件 (1)公式S2，C2中的R. (2)公式T2中的k+ ，2k+ ，kZ. 2.“二倍”的含义 倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2 的情况都成立，如6是3的2倍，3是 的2倍.这就是说，“倍”是相对而言的，

3、是描述两个数量之间的关系的.,3.倍角公式的常见变形 1sin 2(sin cos )2；cos (k,kZ)； 1cos 22cos2；1cos 22sin2.,【微思考】 (1)二倍角公式应用过程中“角”和三角函数式的“次数”是如何变化的？ 提示：两种变化形式，一是“角”变二倍，“次数”降低为一次；二是“角”变为原来的一半，“次数”升高为二次.,(2)联系已学公式，考虑cos 2，sin 2有哪几种变形方法？ 提示：变形方法一：由同角三角函数关系式得cos 2= 1sin2，sin2=1cos2； 变形方法二：由二倍角公式变形公式得cos 2=,【知识拓展】万能公式的推导及应用 (1)公式

4、的推导 cos 2=cos 2sin 2= sin 2=2sin cos = tan 2=,(2)应用 若已知tan 的值，利用万能公式可求出cos 2，sin 2， tan 2的值； 若已知cos 2或sin 2或tan 2的值及的范围，可以 求出tan 的值.,【即时练】 求值或化简：(1)8sin =_. (2) =_. (3)cos 4 sin 4 =_. (4)1+2cos 2cos 2=_.,【解析】(1)8sin =4sin =2sin,(4)1+2cos 2cos 2=1cos 2+2cos 2 =2sin 2+2cos 2=2. 答案：(1) (2) (3)cos (4)2,

5、【题型示范】 类型一 利用二倍角公式解给条件求值问题 【典例1】 (1)已知sin 3cos ，那么tan 2的值为( ) A.2 B. -2 C D (2)已知sin( ) ，则cos( 2)的值等于( ),(3)(2014天津高一检测)已知cos = ，sin = 是第三象限角，( ，) 求sin 2的值； 求cos(2+)的值,【解题探究】1.题(1)中，如何计算tan ？进一步如何计算tan 2？ 2.题(2)中， 2是哪个角的二倍？这个角与 有什么关系？ 3.题(3)中，为求sin 2的值需要计算什么？为求cos(2+)的值需要计算什么？,【探究提示】1.由同角三角函数的商关系计算t

6、an .进一步用二倍角的正切公式计算tan 2. 2. 2是 的二倍， 3.求sin 2的值需要计算sin ，求cos(2+)的值需要计算cos ,sin 2和cos 2的值.,【自主解答】(1)选D.因为sin 3cos ，所以 tan 3， 所以tan 2 (2)选C.因为cos,(3)因为是第三象限角，cos = 所以sin = 所以sin 2=2sin cos = 因为( ，)，sin = 所以cos = cos 2=2cos 21=2 所以cos (2+)=cos 2cos sin 2sin ,【延伸探究】题(2)条件下，求cos( 2)的值. 【解析】因为sin,【方法技巧】直接应

7、用二倍角公式求值的三种类型 (1)sin (或cos ) cos (或sin ) sin 2. (2)sin (或cos ) cos 2=1-2sin2(或2cos2-1). (3)sin (或cos ),【变式训练】(2014绵阳高一检测)若cos xcos y+ sin xsin y= ，则cos(2x-2y)=_. 【解题指南】由题目条件知cos(x-y)= , 因为2x-2y是x-y的二倍， 所以可用二倍角公式求cos(2x-2y).,【解析】因为cos(x-y)=cos xcos y+sin xsin y= ， 所以cos(2x-2y)=2cos2(x-y)-1 =2( )2-1=-

8、 . 答案：-,【补偿训练】求值： 【解题指南】分子利用商关系化切为弦，并进行通分；分母先用二倍角的余弦公式降次，再用二倍角的正弦公式化简.,【解析】原式,类型二 利用二倍角公式解化简证明问题 【典例2】 (1)化简cos 2( )cos 2( )=_. (2)(2014合肥高一检测)求证： tan tan 2=1. 【解题探究】1.题(1)中，三角函数式有哪两种化简的思路？ 2.题(2)中，等式的哪一边较为复杂？证明等式成立通常由哪一边向哪一边变形？,【探究提示】1.思路一：直接利用平方差公式变形，然后用两角和、差的余弦公式，最后用二倍角公式；思路二：用二倍角公式降次，再用两角和、差的余弦公

9、式. 2.左边复杂.由复杂的一边向简单的一边变形.,【自主解答】,答案： sin x,【方法技巧】证明三角恒等式的原则与步骤 (1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想. (2)证明恒等式的一般步骤： 先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异; 本着“复角化单角”“异名化同名”、变换式子结构“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.,【变式训练】求证：,【证明】,【补偿训练】求证：4sin cos2 =2sin +sin 2 【证明】左边=4sin cos 2 =2sin 2cos 2

10、 =2sin (1+cos ) =2sin +2sin cos =2sin +sin 2=右边 所以原等式成立.,拓展类型 二倍角公式在三角形中的应用 【备选例题】(1)若ABC的内角A满足sin 2A= ，则 cos Asin A=( ) (2)(2014张掖高一检测)在ABC中，sin Asin B= cos2 ,则ABC的形状一定是( ) A直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形,【解析】(1)选D.因为sin 2A= ， 所以(cos Asin A)2=cos 2A2sin Acos A+sin 2A =1sin 2A=1 又因为A(0，)，且sin 2A0, 所以c

11、os Asin A0, 所以cos Asin A=,(2)选B.因为sin Asin B=cos 2 ， 所以sin Asin B= 所以2sin Asin B=1+cos C. 又A+B+C=， 所以cos C=cos(A+B)，,所以2sin Asin B=1cos(A+B)， 2sin Asin B=1(cos Acos Bsin Asin B)， cos Acos B+sin Asin B=1， 所以cos(AB)=1. 又A-B(-，)， 所以A-B=0，所以A=B. 所以ABC是等腰三角形.,【方法技巧】二倍角公式在三角形中应用要注意的问题 (1)注意三角形中内角的范围限制对三角函

12、数值的影响 当涉及判断三角函数值或三角函数式的符号时关键是判断角终边的位置，此时要特别注意三角形三个内角的取值范围都是0,. (2)注意诱导公式的应用 三角形内角和为，因此要注意利用诱导公式进行角之间的 转化.例如，sin(A + B) = sin C，cos(A + B) = -cos C ，,【规范解答】二倍角公式与其他公式的综合应用 【典例】(12分)(2014荆州高一检测)在直角坐标系xOy中，若角的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：y=2x(x0) (1)求tan 2的值. (2)求,【审题】抓信息，找思路,【解题】明步骤，得高分,【点题】警误区，促提升 失分点1：解题时若在处忽视

13、根据角终边为射线l：y=2x(x0)，利用任意角正切函数的定义计算tan ，则导致无法求值，即使后续公式应用变形正确，至少要扣3分. 失分点2：解题时若处应用二倍角的余弦、正切公式用错，或诱导公式应用不当，则导致计算所求值出错，至少要扣3分. 失分点3：解题时若在处未能灵活应用同角三角函数的商关系，化弦为切，导致无法恰当应用tan 求值，本例最多得9分.,【悟题】提措施，导方向 1.重视基本概念的理解和应用 重视任意角三角函数的概念以及由此推出的正弦、余弦、正切函数值在各象限符号的变化规律等知识的理解和应用.如本例中已知角的终边位置，应自然想到计算该角的正弦、余弦和正切值.,2.关注二倍角公式在变角、升降幂中的作用 解题时要注意寻找适用二倍角公式的结构，并根据题目要求 有目的应用公式.如本