111角的概念的推广2.ppt

1、1.1.1 角的概念的推广,1、角的概念,初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形. 这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是0, 360)， 这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”.,2角的概念的推广,“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角 旋转开始时的射线OA叫做角的始边，旋转终止的射线OB叫做角的终边，射线的端点O叫做角的顶点,“正角”与“负角”、“0角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角=210，=

2、150，=660，,特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（0） 角的记法：角或可以简记成,特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（0） 角的记法：角或可以简记成.,角的概念扩展的意义：,用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了, 角有正负之分; 如：=210, = 150, =660. 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周（3602=720） 3周（3603=1080） 还有零角, 一条射线，没有旋转.,角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角 要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋

3、转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样,用旋转来描述角，需要注意三个要素 （旋转中心、旋转方向和旋转量）,（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；,（1）旋转中心：作为角的顶点.,（3）旋转量： 当旋转超过一周时，旋转量即超过360，角度的绝对值可大于360 .于是就会出现720 ， 540等角度.,3“象限角”,为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的正半轴，这样一

4、来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 例如：30、390、330是第象限角， 300、 60是第象限角， 585、1300是第象限角， 135 、2000是第象限角等,4终边相同的角,观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同.,探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与k(kZ)个周角的和： 390=30+360(k=1), 330=30360 (k=1) 30=30+0360 (k=0), 1470=30+4360(k=4) 1770=305360 (k=5), 结论： 所有与终边相同的角连同在内可以构

5、成一个集合：| =+k360(kZ) 即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和,注意以下四点： kZ； 是任意角； k360与之间是“+”号， 如k36030,应看成k360+(30)； 终边相同的角不一定相等； 相等的角，终边一定相同； 终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍.,例1. 在0到360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角. (1) 120；(2) 640；(3) 95012.,解： 120=360+240， 240的角与120的角终边相同， 它是第三象限角 640=360+280， 280的角与640的角终边相同， 它是第四象限

6、角, 95012=3360+12948， 12948的角与95012的角终边相同， 它是第二象限角,例2.写出终边落在Y轴上的角的集合。,终边落在坐标轴上的情形,00,900,1800,2700,+Kx3600,+Kx3600,+Kx3600,+Kx3600,或3600KX3600,例2.写出终边落在y轴上的角的集合。,解： 终边落在轴正半轴上的角的集合为,S1=| =900+K3600,KZ,=| =900+2K1800,KZ,=| =900+1800 的偶数倍,终边落在轴负半轴上的角的集合为,S2=|=2700+K3600,KZ,=| =900+1800+2K1800,KZ,=| =900

7、+（2K+1）1800 ，KZ,=| =900+1800 的奇数倍,S=S1S2,所以，终边落在轴上的角的集合为,=| =900+1800 的偶数倍,| =900+1800 的奇数倍,=| =900+1800 的整数倍,=| =900+K1800 ，KZ,偶数奇数,整数,变式1：分别写出终边落在轴正半轴上、在轴负半轴上、在y轴正半轴上、在y轴负半轴上、在轴上、在y轴上、坐标轴上的角的集合.,变式2：写出终边落在直线y=x上的角的集合.,变式4：分别写出终边落在第一、二、三、四、一三、二四象限的角的集合.,变式3：写出终边落在直线y=-x上的角的集合.,写出终边落在 轴上的角的集合。,解：终边落

8、在 轴正半轴上的角的集合为,S1=| = K3600,KZ,=| = 2K1800,KZ,=| = 1800 的偶数倍,终边落在 轴负半轴上的角的集合为,S2=| = K3600,KZ,=| = 2K1800,KZ,=| = （2K+1）1800 ，KZ,=| = 1800 的奇数倍,S=S1S2,所以终边落在 轴上的角的集合为,=| =1800 的偶数倍,| =1800 的奇数倍,=| =1800 的整数倍,=| =K1800 ，KZ,偶数奇数,整数,y,x,y,x,y,x,900 +,900 +,900 +,2700 +,900+ 1800+,900 +,900 +,1800 +,例2,1

9、800+,y,x,例3. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在360720间的角写出来： (1) 60；(2) 21；(3) 36314.,解：(1) S=| =k360+60 (kZ) , S中在360720间的角是 1360+60=300； 0360+60=60； 1360+60=420,(2) S=| =k36021 (kZ) S中在360720间的角是 036021=21； 136021=339； 236021=699,(3) | =k360+ 36314 (kZ) S中在360720间的角是 2360+36314=35646； 1360+36314=314； 0360+36

10、314=36314,知识拓展,讨论：若是第二象限角时,则2， 分别是第几象限的角？,1. 若是第二象限的角，则/2是（ ） A 第一或第三象限 B第二或第三象限 C 第三或第四象限 D第一或第四象限,A,小结：,1.任意角的概念,正角：射线按逆时针方向旋转形成的角,负角：射线按顺时针方向旋转形成的角,零角：射线不作旋转形成的角,1)置角的顶点于原点,2)始边重合于X轴的正半轴,2.象限角,终边落在第几象限就是第几象限角,3 . 终边与 角相同的角,K3600，KZ,作业：P9习题1.1 第1题，第3题的（2）（4）（6）,课堂练习,1、锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90的角

11、是锐角吗？区间(0,90)内的角是锐角吗？,答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间(0,90)内的角是锐角,2、已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？ (1)420，(2) 75，(3)855，(4) 510,答：(1)第一象限角； (2)第四象限角， (3)第二象限角， (4)第三象限角.,3、已知, 角的终边相同，那么的终边在（ ） A x轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上 C x轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上,A,4、终边与坐标轴重合的角的集合是（ ） A |=k360 (kZ) B |=k180 (kZ) C |=k90 (kZ) D |=k180+90 (kZ) ,C,5 、已知角2的终边在x轴的上方，那么是( ) A 第一象限角 B 第一、二象限角 C 第一、三象限角 D 第一、四象限角,C,6、若是第四象限角，则180是（ ） A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角,C,7、在直角坐标系中，若与终边互相垂直，那么与之间的关系是（ ） A. =+90o B =90o C =k360o+