4.8--4.11三角复习

1、三角函数的图像和性质,庆阳六中,李树信,三角函数的图像和性质,一、三角函数图像的作法,几何法,五点法,图像变换法,二、三角函数图像的性质,五、已知三角函数值求角,三、f(x)= Asin(x+) 的性质,四、给出函数 y=Asin(x+) 的图象求解析式,作法:,(1) 等分,(2) 作正弦线,(3) 平移,(4) 连线,一、三角函数图像的作法,1.几何法,y=sinx 作图步骤:,P,A,M,正弦线MP,余弦线OM,正切线AT,T,0相位,相位,相位,相位,相位,返回目录,因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在， 与y=sinx,x0,2的图象相同,正弦曲线,余弦函数y=

2、cosx,=sin(x+ ),由y=sinx,左移,y=cosx,y=sinx,y=cosx,余弦曲线,正, 余弦函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线, 对称中心为图象与 x 轴的交点,返回目录,正弦函数.余弦函数的图像和性质,作函数 的简图,解:,列表,描点作图,2.五点法作函数 y=Asin(x+) 的图像的步骤:,(2)求(1)中 x 对应的 y 的值, 并描出相应五点;,1,2,1,1,0,(3)用光滑的曲线连结(2)中五点.,返回目录,步骤1,步骤2,步骤3,步骤4,步骤5,沿x轴 平行移动,横坐标 伸长或缩短,纵坐标 伸长或缩短,沿x轴 扩展,横坐标向左 (0) 或

3、向右(0) 平移 | 个单位,将各点的横坐标变为原来的 1/ 倍(纵坐标不变).,各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)；,3.,返回目录,例1：如何由函数f(x)=sinx的图象得到下列函数 的图象？,(1)y=2sinx,(2)y= sinx,(3)y=sin2x,(4)y=sin x,y=2sinx图象由y=sinx图象（横标不变）， 纵标伸长2倍而得。,返回目录,例1：如何由函数f(x)=sinx的图象得到下列函数 的图象？,(1)y=2sinx,(2)y= sinx,(3)y=sin2x,(4)y=sin x,返回目录,O,方法1：,y=sinx,纵向伸长3倍,y=3sinx,返回

4、目录,O,方法2：,y=sinx,纵向伸长3倍,y=3sinx,y=3sin2x,方法1：,y=sinx,纵向伸长3倍,y=3sinx,返回目录,3. 已知函数 y= cos2x+ sinxcosx+1, xR. (1)求当 y 取得最大值时自变量 x 的集合; (2)该函数可由y=sinx(xR) 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?,故当 y 取得最大值时, 自变量 x 的集合是:,返回目录,(2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换:,由y=sinx,返回目录,0,0,知识梳理,无最值,奇函数,偶函数,奇函数,无对称轴,二、三角函数图象的性质,返回目录,三.,返回目录,1.周期性: y

5、=sinx、y=cosx 的最小正周期都是 2; f(x)= Asin(x+) 和 f(x)=Acos(x+)的最小正周期都是 T= . f(x)=Atan(x+)的最小正周期都是 T= f(x)= |Asin(x+)| ,f(x)=|Acos(x+)|的最小正周期都是 T= （即取绝对值后周期减半），f(x)=|Atan(x+)|的最小正周期是 T= （即取绝对值后周期不变）。,f(x)= Asin(x+) , f(x)=Acos(x+)和f(x)=Atan(x+)的性质,三 .,注：较复杂的三角函数要先化简，再利用公式求周期；有时可用数形结合或定义法求周期,D,2.f(x)=sin2x-的

6、周期是（ ）,2.研究 f(x)= Asin(x+) 性质的方法：类比研究y=sinx的性质，只需将 x+看成 x，但在求 f(x)=Asin(x+) 的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。,如1 ： ； 的单调增区间。,返回目录,故该函数的最小正周期是 , 最小值是 -2.,返回目录,3.奇偶性：,再如f(x)= Asin(x+) 为奇函数, =k (kZ),解法一：,解法二：,f(x)= Asin(x+) 为偶函数,f(x)= Acos(x+) 为奇函数, =k (kZ),f(x)= Acos(x+) 为偶函数,返回目录,观察得到：可类比正弦曲线 和余弦曲线的奇偶性，

7、奇变偶不变,解: f(x)=sin(x+)(0, 0) 是 R 上的偶函数,f(0)=1,cos=0.,又0,f(x) 的图象关于点 M 对称,f(x)=cosx.,0,解得 k=0 或 1.,返回目录,解得 a=-1.,返回目录,即 0+a=-1+0.,a=-1.,而函数 y=sin2x+acos2x 的周期为 ,a=-1.,返回目录,如图：根据函数 y= A sin (x + ) (A0 , 0) 图象求它的解析式,(1)由最大值点（或最小值点）定A (2)由两个关键点（特殊点）定 和 ,总 结,给出函数 y=Asin(x+) (A0 , 0)的图象求其解析式的一般方法：,四、已知三角函数

8、值求角,反三角函数复习： （1）若， 则 （2）若， 则 （3）若， 则,已知： ， ，求x,y,已知： ， ，求x,已知： ， ，求x,O,已知： ， ，求x.,已知： ， ，求x.,用反正弦、余弦、正切表示 的角 当0a1时 都表示 的角,所以当 Sinx=a，|a|0,x在一或二象限， a0在三或四象限 ：x=arcsin|a|; : x= - arcsin|a|; : x= + arcsin|a|; x=2 - arcsin|a|; 对于余弦和正切有类似结论 |a|=1或0时，正弦和余弦，角的终边不在任何象限，应是轴上的角，直接写出（tanx=0,x是轴上的角),练 习,1. 已知函数

9、 f(x)=log (sinx-cosx), (1)求它的定义域和值域; (2)判断它的单调区间; (3)判断它的奇偶性; (4)判断它的周期性, 如果是周期函数, 求出它的一个周期.,(2)y=sinx-cosx 在 f(x) 的定义域上的单调递增区间是,返回目录,(3)f(x) 的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,函数 f(x) 是非奇非偶函数.,=f(x),函数 f(x) 是周期函数, 它的一个周期是 2.,返回目录,返回目录,3. 某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(x+)+b 的解析式, 其中, A0, 0, 0.,(1)求这段时间的最大温差;,(2)写出这段曲线的函数解析式.,解: (1)由图示, 这段时间的最大温差是:,30-10=20.,(2)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y=Asin(x+)+b 半个周期的图象.,返回目录,解: