人教A数学选修21同课异构教学课件32第4课时空间向量与空间距离探究导学课型

1、3.2立体几何中的向量方法 第4课时空间向量与空间距离,【阅读教材】 根据下面的知识结构图阅读教材，初步认识空间距离的各种类型及相应的求解方法,【知识链接】 1.平面直角坐标系内向量的模：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 2.平面向量数量积的坐标公式：已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则ab=x1x2+y1y2,主题：空间向量与空间距离 【自主认知】 1.观察棱长为a的正方体ABCD -ABCD. 建立以D为原点，以DA，DC，DD所在直线 为x,y,z轴的空间直角坐标系Dxyz.若向量 试确定P点的坐标，并探讨如 何计算线段DP的长度.,提示：由图形可得D(0,0,0),

2、D(0,0,a),B(a,a,0)， 设P(x,y,z),由 得(x,y,z-a)= 所以P点的坐标为 要求线段DP的长度，只需计算 且,2.如图，直线l与平面交于点A，试求出点B到平面的距离. 【提示】n为平面的法向量，,根据以上探究过程，试写出空间两点的距离公式及点到平面的距 离公式： 1.空间两点的距离 (1)定义：空间两点间的距离，可以表示为以这两点为起点和终点的 向量的_.,模,(2)公式：已知A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则 =_， =_. 2.点到平面的距离 (1)定义：一点到它在一个平面内正射影的距离. (2)公式：设平面的法向量为n，B,A，则B点到平面的

3、距离,(x2-x1,y2-y1,z2-z1),【合作探究】 1.平面外一点A到平面的距离，就是点A到平面内一点B所成向量 的长度吗？ 提示：不一定.平面外一点A到平面的距离，应该为点A到平面 的垂线段的长度，只有当AB时，结论才成立.,2.若平面平面，则两平面，的距离可转化为平面内某条直线到平面的距离吗？是否也可转化为平面内某点到平面的距离呢？ 提示：均可以.由面面平行的性质知其中一平面内的所有点到另一个平面的距离均相等.,【过关小练】 1.已知空间两点A,B的坐标分别为(1,1,1),(2,2,2),则A,B两点的距离为_. 【解析】|AB|= 答案：,2.已知直线AB平面,平面的法向量n=

4、(1,0,1),平面内一点C的坐标为(0,0,1),直线AB上点A的坐标为(1,2,1),求直线AB到平面的距离. 【解析】由于直线与平面平行， 故直线AB到平面的距离可转化为点A到平面的距离， 又因为 =(1，2，0)， 所以点A到平面的距离为,【归纳总结】 1.空间距离的定义 (1)点到平面的距离：一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离. (2)直线与其平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离，叫做直线与平面的距离.,(3)两个平行平面的距离：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平行平面的公垂线.夹在平行平面间的部分，叫做两个平行平面的公垂线段.两平行平

5、面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离.,2.向量法求空间距离的注意点 (1)数形结合：利用向量法求空间距离时，一定要注意结合图形分析，再利用向量求解. (2)向量式的共同点：空间两几何元素(点、直线、平面)之间的距离，除两点间距离及点线距外都具有相同的表达形式. 设平面的法向量为n(求异面直线间的距离时，取与两异面直线都垂直的向量为n)，在求距离的两几何图形上各取一点A，B，则距离,(3)特殊性：求距离还常采用等积变换法或归结为解直角三角形.利用向量法实际取点时，要选取方便，容易计算的.,类型一：向量法求空间两点的距离 【典例1】(1)空间内有三点A(2,1,3)，B(0,2,5)，C(3

6、,7,0)，则点B到AC的中点P的距离为( ),(2)(2015秦皇岛高二检测)如图，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNa(0a2)则求MN的长.,【解题指南】(1)先根据中点坐标公式求出AC的中点P，再利用两点间的距离公式求解. (2)先建立空间直角坐标系，确定点M，N的坐标，再利用向量的模求两点间的距离.,【解析】(1)选C.由题意可得 所以 (2)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1) 因为 且四边形ABCD，ABEF为正方形， 所以,所以 所以,【延伸探究

7、】本例(2)中条件不变，试判断a为何值时，MN的长最小？ 【解析】因为 所以，当 时， 即M,N分别移到AC,BF的中点时，MN的长最小，最小值为,【规律总结】求空间两点间距离的两种方法,【巩固训练】已知直三棱柱ABC -A1B1C1中，BAC=90，AB=AC =AA1=2，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，求M，N两点间的距离. 【解题指南】建立空间直角坐标系确定点M，N的坐标求,【解析】如图，以A为原点，AB，AC，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C1(0，2，2)，A1(0，0，2)，B1(2，0，2)， 所以N(1，0，2)，M(1，1，1). 所

8、以|MN|= 故M，N两点间的距离为,【补偿训练】(2015沈阳高二检测)如图所示，在几何体A-BCD中，AB平面BCD，BCCD，且AB=BC=1，CD=2，点E为CD中点，则AE的长为(),【解析】选B. 因为 且 又因为 所以 所以AE的长为,类型二：向量法求点直线的距离 【典例2】如图，在空间直角坐标系中有棱长为 a的正方体ABCD-A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动 点，试求点M到直线AD1距离的最小值. 【解题指南】设出点M的坐标，求出直线AD1的一个单位方向向量s， 利用 求解.,【解析】设M(0,m,m)(0ma)， =(a,0,a)，直线AD1的一个 单位方向向量 =(

9、0,m,am)，故点M到直线AD1的距离 根式内的二次函数当 时取最小值， 此时 故d的最小值为 即点M到直线AD1距离的最小值为,【规律总结】向量法求点到直线距离的步骤 第一步：依据图形先求出直线的单位方向向量s. 第二步：在直线上任取一点M(注可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量NM. 第三步：易知垂线段的长度可利用直角三角形中的勾股定理计算,【巩固训练】直角ABC的两条直角边BC3，AC4，PC平面 ABC， 则点P到斜边AB的距离是_.,【解析】以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 则A(4，0，0)，B(0，3，0)， 所以 所以AP在AB上的投影长为

10、所以P到AB的距离为 答案：3,【补偿训练】已知向量n(1,0，1)与直线l垂直，且l经过点A(2,3,1)，则点P(4,3,2)到l的距离为( ) 【解析】选B. (2,0，1)， 又因为n(1,0，1)与l垂直， 所以点P到l的距离为,类型三：向量法求点到面、线到面的距离 【典例3】如图，正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，试求点O到平面ABC1D1的距离. 【解题指南】首先建立适当的坐标系，求出平面ABC1D1的法向量，再利用点到平面的距离公式求解.,【解析】以D为原点，DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系，,则A(1,0,

11、0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)， 设平面ABC1D1的法向量n=(x，y，z)， 由 令x=1，得n=(1,0,1)， 又 所以O到平面ABC1D1的距离 故点O到平面ABC1D1的距离为,【延伸探究】 1.(改变问法)本例条件不变，试求点B1到平面ABC1D1的距离. 【解析】由例题的解析知，平面ABC1D1的一个法向量为n=(1，0，1)， 又因为B1(1,1,1)， 故 所以点B1到平面ABC1D1的距离 故点B1到平面ABC1D1的距离为,2.(改变问法)本例条件不变，若结论改为“求直线A1B1到平面ABC1D1的距离”，则结果如何？ 【解析】由例题解析知，平面ABC1D1

12、的一个法向量为n=(1,0,1). 又 =(-1，0，0)，所以A1到平面ABC1D1的距离 又直线A1B1平面ABC1D1， 故直线A1B1到平面ABC1D1的距离为,【规律总结】 1.向量法求点到平面的距离的步骤 (1)求出该平面的一个法向量n. (2)找出以该点及平面内的某点为端点的线段对应的向量a. (3)利用公式 求点到平面的距离.,2.点到平面距离的求法 (1)垂线段法：如图，BO平面，垂足为O，则点B到平面的距离 就是,(2)斜线段法：若AB是平面的任一斜线段，则在RtBOA中， (3)法向量法：如果平面的法向量为n，则,【巩固训练】如图，在长方体ABCD-ABCD中，AB=2，

13、AD=1，AA=1，证明直线BC平行于平面DAC，并求直线BC到平面DAC的距离.,【解题指南】求直线BC到平面DAC的距离.将其转化为点到平面的距离，首先建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明直线BC与平面DAC平行，然后利用点到平面的向量公式求解.,【解析】如图,建立空间直角坐标系,可得相关点的坐标为A(1,0,1),B(1,2,1),C(0,2,1),C(0,2,0),D(0,0,0). 则,设平面DAC的法向量为n=(x,y,z)，则 即 解得x=2y，z=-2y， 取y=1，得平面DAC的一个法向量为n=(2，1，-2). 因为 所以 所以,又因为BC不在平面DAC内, 所以直线BC与平面DAC平行. 由 =(1，0，0)得点B到平面DAC的距离为 所以直线BC到平面DAC的距离为,【补偿训练】在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面 SAC平面ABC，S