2019年广东省广州市天河区高考数学二模试卷(理科)

1、2019年广东省广州市天河区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1（5分）已知全集UR，Mx|x1，Nx|x（x+2）0，则图中阴影部分表示的集合是（）Ax|1x0Bx|1x0Cx|2x1Dx|x12（5分）若复数zm（m1）+（m1）i是纯虚数，其中m是实数，则（）AiBiC2iD2i3（5分）设等比数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7+a8+a9（）A144B81C45D634（5分）设函数f（x）cos（x），则下列结论错误的是（）Af（x）的一个周期为2Byf（x）的图象关于直线

2、x对称Cf（x）的一个零点为Df（x）在（，）上单调递减5（5分）下列说法中，正确的是（）A命题“若am2bm2，则ab”的逆命题是真命题B命题“x00，x02x00”的否定是：“x0，x2x0”C命题pq为真命题，则命题p和命题q均为真命题D已知xR，则“x1”是“x2”的充分不必要条件6（5分）若函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足2f（x）g（x）ex，则（）Af（2）f（3）g（1）Bg（1）f（3）f（2）Cf（2）g（1）f（3）Dg（1）f（2）f（3）7（5分）在ABC中，|，|3，则（）A3B3CD8（5分）安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人

3、只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有（）A360种B300种C150种D125种9（5分）如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：直线BE与直线CF异面；直线BE与直线AF异面；直线EF平面PBC；平面BCE平面PAD其中正确的结论个数为（）A4个B3个C2个D1个10（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A3B，则的取值范围是（）A（0，3）B（1，3）C（0，1D（1，211（5分）已知双曲线C：（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过点

4、F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若0，且F1AF2150，则e2（）A72B7C7D712（5分）已知函数f（x）满足f（x）f（1）ex1f（0）xx2，则f（x）的单调递增区间为（）A（，0）B（，1）C（1，+）D（0，+）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）某城市为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论正确是 （填序号）月接待游客量逐月增加；年接待游客量逐年增加；各年的月接待游客量髙峰期大致在7，8月份；各年1

5、月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳14（5分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，M是抛物线C上的点，且MFx轴若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，则p 15（5分）已知三棱锥DABC的体积为2，ABC是等腰直角三角形，其斜边AC2，且三棱锥DABC的外接球的球心O恰好是AD的中点，则球O的体积为 16（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为ABC外接圆的圆心，若a，且c+2cosC2b，mn，则m+n的最大值为 三、解答题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第17题21题为必考题，每个试

6、题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题，共60分17（12分）已知Sn为数列an的前n项和，且a12，an0，6Snan2+3an+2，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）若对nN*，bn（1）nan2，求数列bn的前2n项的和T2n18（12分）如图，已知等边ABC中，E，F分别为AB，AC边的中点，M为EF的中点，N为BC边上一点，且CNBC，将AEF沿EF折到AEF的位置，使平面AEF平面EFCB（1）求证：平面AMN平面ABF；（2）求二面角EAFB的余弦值19（12分）已知抛物线y24x的焦点F与椭圆C：1（ab0）的一个焦点重合，且点F关于直线y

7、x的对称点在椭圆上（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点Q（0，）且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由20（12分）随着网络信息化的高速发展，越来越多的大中小企业选择做网络推广，为了适应时代的发展，某企业引进一种通讯系统，该系统根据部件组成不同，分为系统A和系统B，其中系统A由5个部件组成，系统B由3个部件组成，每个部件独立工作且能正常运行的概率均为p（0p1），如果构成系统的部件中至少有一半以上能正常运行，则称系统是“有效”的（1）若系统A与系统B一样有效（总体有效概率相等），试求p的值；（2）

8、若p对于不能正常运行的部件，称为坏部件，在某一次检测中，企业对所有坏部件都要进行维修，系统A中每个坏部件的维修费用均为100元，系统B中第n个坏部件的维修费用y（单位：元）满足关系y50n+150（n1，2，3），记企业支付该通讯系统维修费用为X，求EX21（12分）已知函数f（x）axlnxbx（a，bR）在点（e，f（e）处的切线方程为y3xe（1）求a，b的值及函数f（x）的极值；（2）若mZ且f（x）m（x1）0对任意的x1恒成立，求m的最大值（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角

9、坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos（）t（tR）（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）若2，当曲线C1与曲线C2有两个公共点时，求t的取值范围选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x|+|2x+3|+m（mR）（1）当m2时，求不等式f（x）3的解集；（2）若x（，0），都有f（x）x恒成立，求m的取值范围2019年广东省广州市天河区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1（5

10、分）已知全集UR，Mx|x1，Nx|x（x+2）0，则图中阴影部分表示的集合是（）Ax|1x0Bx|1x0Cx|2x1Dx|x1【解答】解：图中阴影部分为N（UM），Mx|x1，UMx|x1，又Nx|x（x+2）0x|2x0，N（UM）x|1x0，故选：A2（5分）若复数zm（m1）+（m1）i是纯虚数，其中m是实数，则（）AiBiC2iD2i【解答】解：复数zm（m1）+（m1）i是纯虚数，故m（m1）0且（m1）0，解得m0，故zi，故i故选：A3（5分）设等比数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7+a8+a9（）A144B81C45D63【解答】解：由等比数列的性质可得S3

11、，S6S3，S9S6，成等比数列，并设其公比为q，又由题意可得S39，S6S336927，q3，a7+a8+a9S9S627381故选：B4（5分）设函数f（x）cos（x），则下列结论错误的是（）Af（x）的一个周期为2Byf（x）的图象关于直线x对称Cf（x）的一个零点为Df（x）在（，）上单调递减【解答】解：由函数f（x）cos（x），知：在A中，由余弦函数的周期性得f（x）的一个周期为2，故A正确；在B中，函数f（x）cos（x）的对称轴满足条件xk，即xk，kZ，yf（x）的图象关于直线x对称，故B正确；在C中，f（x）cos（x）sinx，sin0，f（x）的一个零点为，故C正确；

12、在D中，函数f（x）cos（x）在（，）上单调先减后增，故D错误故选：D5（5分）下列说法中，正确的是（）A命题“若am2bm2，则ab”的逆命题是真命题B命题“x00，x02x00”的否定是：“x0，x2x0”C命题pq为真命题，则命题p和命题q均为真命题D已知xR，则“x1”是“x2”的充分不必要条件【解答】A“若am2bm2，则ab”的逆命题是“若ab，则am2bm2”，m0时不正确；B中“xR，x2x0”为特称命题，否定时为全称命题，结论正确；C命题“pq”为真命题指命题“p”或命题“q”为真命题，只要有一个为真即可，错误；D应为必要不充分条件故选：B6（5分）若函数f（x）、g（x）

13、分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足2f（x）g（x）ex，则（）Af（2）f（3）g（1）Bg（1）f（3）f（2）Cf（2）g（1）f（3）Dg（1）f（2）f（3）【解答】解：函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足2f（x）g（x）ex，则2f（x）g（x）ex，即2f（x）+g（x）ex，与2f（x）g（x）ex，联立解得：f（x），g（x）则函数f（x）在0，+）上单调递增，在（，0）上单调递减函数g（x）在R上单调递减g（1）g（0）0f（0）f（2）f（3），即g（1）f（2）f（3），故选：D7（5分）在ABC中，|，|3，则（）A3B3CD【解答】

14、解：由平面向量的平行四边形法则得到，在ABC中，|，|3，如图，设|OC|x，则|OA|x，所以|AO|2+|OC|2|AC|2即3x2+x29，解得x，所以|BC|3，所以ABC为等边三角形，所以33；故选：C8（5分）安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有（）A360种B300种C150种D125种【解答】解：分2步分析：先将5名学生分成3组，由两种分组方法，若分成3、1、1的三组，有C5310种分组方法，若分成1、2、2的三组，有15种分组方法，则一共有10+1525种分组方法；再将分好的三组全排列，对应三个社

15、区，有A336种情况，则有256150种不同的安排方式；故选：C9（5分）如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：直线BE与直线CF异面；直线BE与直线AF异面；直线EF平面PBC；平面BCE平面PAD其中正确的结论个数为（）A4个B3个C2个D1个【解答】解：画出几何体的图形，如图，由题意可知，直线BE与直线CF异面，不正确，因为E，F是PA与PD的中点，可知EFAD，所以EFBC，直线BE与直线CF是共面直线；直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确直线EF平面PBC；由E，F是PA与PD的中点，可知EFA

16、D，所以EFBC，EF平面PBC，BC平面PBC，所以判断是正确的因为PAB与底面ABCD的关系不是垂直关系，BC与平面PAB的关系不能确定，所以平面BCE平面PAD，不正确故选：C10（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A3B，则的取值范围是（）A（0，3）B（1，3）C（0，1D（1，2【解答】解：A3B，由正弦定理得：cos2B+2cos2B2cos2B+1，B+A180，即4B180，0B45，即02B90，0cos2B1，即12cos2B+13，则 的取值范围为（1，3）故选：B11（5分）已知双曲线C：（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，

17、过点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若0，且F1AF2150，则e2（）A72B7C7D7【解答】解：0，ABBF2，F1AF2150，BAF230，设|BF2|x，则|BF1|x+2a，|AF2|2x，|AB|x，|AF1|BF1|AB|x+2ax，又|AF2|AF1|2a，2x（x+2ax）2a，解得x2（1）a|BF1|2a，|BF2|2（1）a，在RtBF1F2中，由勾股定理可得：12a2+（22）a24c2，即（72）a2c2，e272故选：A12（5分）已知函数f（x）满足f（x）f（1）ex1f（0）xx2，则f（x）的单调递增区间为（）A（，0）B（，1）

18、C（1，+）D（0，+）【解答】解：f（x）f（1）ex1f（0）xx2，两边求导得，f（x）f（1）ex1f（0）+x，令x1，得f（1）f（1）e0f（0）+1，解得f（0）1，所以f（0）f（1）e01f（0）0+01，得f（1）e所以f（x）ex1+x，因为yex递增，yx1递增，所以f（x）ex1+x递增，又f（0）0，所以由f（x）0，解得x0，即f（x）的单调递增区间是（0，+）故选：D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）某城市为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据

19、，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论正确是（填序号）月接待游客量逐月增加；年接待游客量逐年增加；各年的月接待游客量髙峰期大致在7，8月份；各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【解答】解：由折线图得：在中，月接待游客量逐月波动，故错误；在中，年接待游客量逐年增加，故正确；在中，各年的月接待游客量髙峰期大致在7，8月份，故正确；在中，各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故正确故答案为：14（5分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，M是抛物线C上的点，且MFx轴若以AF为直径的圆截直线AM所

20、得的弦长为2，则p2【解答】解：把x代入y22px可得yp，不妨设M在第一象限，则M（，p），又A（，0），直线AM的方程为yx，即xy0，原点O到直线AM的距离d，以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，1，解得p2故答案为：15（5分）已知三棱锥DABC的体积为2，ABC是等腰直角三角形，其斜边AC2，且三棱锥DABC的外接球的球心O恰好是AD的中点，则球O的体积为【解答】解：如下图所示，取AC的中点E，连接OE，由于O为AD的中点，E为AC的中点，则OECD，AC为等腰直角三角形ABC的斜边，所以，点E为ABC外接圆圆心，且O为三棱锥DABC外接球的球心，所以OE平面ABC，所以，CD

21、平面ABC，ABC是等腰直角三角形，且斜边AC2，所以，ABBC，则ABC的面积为，由锥体体积公式可得，CD6，所以，则球O的半径为，因此，球O的体积为故答案为：16（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为ABC外接圆的圆心，若a，且c+2cosC2b，mn，则m+n的最大值为【解答】解：ABC中，a，且c+2cosC2b，c+2acosC2b，sinC+2sinAcosC2sinB，sinC+2sinAcosC2（sinAcosC+cosAsinC），sinC2cosAsinC，C（0，），sinC0，cosA，A（0，），A，由余弦定理可得a2b2+c22bccos

22、A，即为3b2+c2bc，由2R2，即R1，可得外接圆的半径为1，mn，可得m2+n，化为c2mc2nbc，同理可得为b2mbc+nb2，解得m，n，即有m+n（）2，当且仅当bc时，取得最大值，故答案为：三、解答题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第17题21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题，共60分17（12分）已知Sn为数列an的前n项和，且a12，an0，6Snan2+3an+2，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）若对nN*，bn（1）nan2，求数列bn的前2n项的和T2n【解答】解：（1）6Sn3an+2，

23、nN*n2时，6an6Sn6Sn13an+2（2），化为：（an+an1）（anan13）0，an0，anan13，n1时，6a13a1+2，且a12，解得a11数列an是等差数列，首项为1，公差为3an1+3（n1）3n2（2）bn（1）n（1）n（3n2）2b2n1+b2n（6n5）2+（6n2）23（12n7）36n21数列bn的前2n项的和T2n36（1+2+n）21n21n18n23n18（12分）如图，已知等边ABC中，E，F分别为AB，AC边的中点，M为EF的中点，N为BC边上一点，且CNBC，将AEF沿EF折到AEF的位置，使平面AEF平面EFCB（1）求证：平面AMN平面AB

24、F；（2）求二面角EAFB的余弦值【解答】（1）证明：如图所示，取BC的中点G，连接MG，则MGEF，平面AEF平面EFCB，平面AEF平面EFCBEF，MG平面AEF，MGAM，又AMEF，因此可以建立空间直角坐标系不妨设BC4M（0，0，0），A（0，0，），N（1，0），B（2，0），F（1，0，0）， 设平面AMN的法向量为（x，y，z），由，可取（，1，0）同理可得平面ABF的法向量（，3，1）33+00，平面AMN平面ABF；（2）解：由（）可得平面ABF的法向量（，3，1）取平面EAF的法向量（0，1，0）cos由图可知：二面角EAFB的平面角为锐角，二面角EAFB的平面角的余弦

25、值为19（12分）已知抛物线y24x的焦点F与椭圆C：1（ab0）的一个焦点重合，且点F关于直线yx的对称点在椭圆上（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点Q（0，）且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由【解答】解：（1）由抛物线的焦点可得：抛物线y24x的焦点F（1，0），点F关于直线yx的对称点为（0，1），故b1，c1，因此，椭圆方程为：（2）假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点当ABx轴时，以AB为直径的圆的方程为：x2+y21 当ABy轴时，以AB为直径的圆的方程为：联立得，定点M（

26、0，1）证明：设直线l：，代入，有设A（x1，y1），B（x2，y2），则，（x2，y21）；（1+k2）x1x2k0，在y轴上存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个定点20（12分）随着网络信息化的高速发展，越来越多的大中小企业选择做网络推广，为了适应时代的发展，某企业引进一种通讯系统，该系统根据部件组成不同，分为系统A和系统B，其中系统A由5个部件组成，系统B由3个部件组成，每个部件独立工作且能正常运行的概率均为p（0p1），如果构成系统的部件中至少有一半以上能正常运行，则称系统是“有效”的（1）若系统A与系统B一样有效（总体有效概率相等），试求p的值；（2）若p对于不能正常运行的部件，称

27、为坏部件，在某一次检测中，企业对所有坏部件都要进行维修，系统A中每个坏部件的维修费用均为100元，系统B中第n个坏部件的维修费用y（单位：元）满足关系y50n+150（n1，2，3），记企业支付该通讯系统维修费用为X，求EX【解答】解：（1）系统A与系统B一样有效（总体有效概率相等），整理得：2p35p2+4p1p（p25p+4）+p31（p1）2（2p1）0，解得p1（舍）或p，故p的值为（2）系统A中每个坏部件的维修费用均为100元，系统B中第n个坏部件的维修费用y（单位：元）满足关系y50n+150（n1，2，3），记企业支付该通讯系统维修费用为X，考虑系统A的维修费用可能为0，100、

28、200、300、400、500元；系统B的维修费用可能为0；200，250，300；450，500，550；750元；可得EX（）8（0+200+250+300+450+500+550+750）（100+300+350+400+550+600+650+850）（200+400+450+500+650+700+750+950）（300+500+550+600+750+800+850+1050）（400+600+650+700+850+900+950+1150）（500+700+750+800+950+1000+1050+1250）625（元）21（12分）已知函数f（x）axlnxbx（a，bR）在点（e，f（e）处的切线方程为y3xe（1）求a，b的值及函数f（x）的极值；（2）若mZ且f（x）m（x1）0对任意的x1恒成立，求m的最大值【解答】解：（1）f（x）axlnxbx，f（x）alnx+ab，函数f（x）在点（e，f（e）处的切线方程为y3xe，解得a1，b1f（x）xlnx+x，则f（x）lnx+2，由f（x）