函数图像与函数方程(教师版)

1、.函数图像与函数方程【知识要点】1.函数图象变换(1) 平移变换(2) 对称变换 yf (x)关于x轴对称yf ( x) ； yf (x)关于y轴对称yf ( x) ； yf (x)关于原点对称yf ( x) ； ya x (a0且 a1)关于 yx对称 y log a x(a 0且 a 1) .(3) 翻折变换 y保留 x轴上方图像f (x) y|f (x) |.将x轴下方图像翻折上去 y保留 y轴右边图像，并作其f (x) yf (| x |) .关于 y轴对称的图像(4) 伸缩变换 yf (x)yf (ax) . yf (x)yaf ( x) .2.函数的零点(1) 函数零点的定义对于函

2、数 yf ( x)( xd ) ，把使f ( x)0 的实数 x 叫做函数yf ( x)( xd ) 的零点(2) 几个等价关系方程 f ( x)0 有实数根函数 yf ( x) 的图象与 x 轴有交点函数 yf (x) 有零点(3) 函数零点的判定 (零点存在性定理 )如 果 函 数 y f ( x) 在 区 间 a, b 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ， 并 且 有.f ( a)f (b) 0 ，那么，函数yf ( x) 在区间 (a, b) 内有零点，即存在c (a, b) ，使得f (c)0 ，这个 c 也就是方程f ( x)0 的根【例题解析】考点一函数图象

3、变换【例 1 】画出下列函数的图像，并说明它们是由函数的。fx2x 的图像经过怎样的变换得到（1 ） y2x 1（ 2 ）（4 ） y2x -1（ 5 ）y2x +1（3 ） y2 xy2x（ 6 ） y2 x【变式训练1 】画出下列函数的图像，并说明它们是由函数fxlog 2 x 的图像经过怎样的变换得到的。（1） ylog 2 (x1)（ 2） ylog 2 x1（ 3） ylog 2 | x |（4） y| log 2 x1|（ 5） ylog 2 x（6） ylog 2 (x)【变式训练2 】函数 yf ( x) 的曲线如图所示，那么方程yf (2x) 的曲线是（）.a bcd答案：

4、d【变式训练x2（）3 】函数 y的图象大致是x1答案： b11解析将 y 的图像向右平移1 个单位，再向上平移一个单位， 即可得到函数y 1 xx1的图像【变式训练4】 (2012湖北 )已知定义在区间 0,2 上的函数 yf ( x) 的图像如图所示，则yf (2x) 的图像为 ().答案b解析当 x 1 时， y f (1) 1 ，排除 a 、c.当 x2 时， y f(0) 0 ，故选 b.考点二函数的零点题型一零点存在性定理【例 2 】下列各种说法中正确的个数有（）函数 yf ( x) 满足 f (a)f (b)0,则函数 yf ( x) 在区间 ( a,b) 内只有一个零点 ;函数

5、 yf ( x) 满足 f (a)f (b)0,则函数 yf ( x) 在区间 a, b 内有零点 ;函数 yf ( x) 满足 f (a)f (b)0,则函数 yf ( x) 在区间 ( a,b) 内没有零点 ;函数 yf ( x) 在 a, b 上连续且单调,并满足 f (a)f (b)0,则函数 yf ( x) 在区间(a,b) 内只有一个零点 ;函数 f ( x)x22x3的零点是 (3,0)与 (1,0) .a 0 个b 1个c 2 个d 3 个答案： b【例 3 】 (2013重庆高考数学 (理 )若 a bc ,则函数 f xx a x bxb x cxcx a 的两个零点分别位

6、于区间（）.a a, b 和 b,cb,a 和 a,bc b,c和 c,d ,a 和 c,答案： f (a) (ab)(ac)0,f (b)(bc)(ba) 0 , f (c) ( c a)(cb)0 ,所以 f (a) f (b)0 , f (b) f ( c)0,所以函数的两个零点分别在(a, b) 和 (b, c) 内 ,选 a 【例 4 】函数f (x)ax12a在区间 (1,1) 上存在一个零点,则实数 a 的取值范围是_答案： ( 1,1) 【解析】当 a0 时,函数 f ( x)1在 (1,1)上没有零点 ,所以 a0 ,所以根3据根的存在定理可得f ( 1) f (1)0 ,即

7、 ( 3a1)(1 a) 0,所以 (a1)(3a1)0 ,解得1a1 ,所以实数 a 的取值范围是 (1 ,1)33【变式训练5 】函数 f (x)3xlog2(x) 的零点所在区间是（）a.5 ,2b.2,1c. 1,2d.2, 522答案： b【例 5 】已知二次函数f ( x) ax 2bxc, 满足 acb 且 c0 ，则含有 f ( x) 零点的一42个区间是（）a2,0b1,0c01，d 0，2答案： a【变式训练7 】根据表格中的数椐， 可以判断 f ( x)exx 2 的一个零点属于区间 （）x-10123ex0.3712,727.3920.09x+212345a.1,0b.

8、 0,1c.1,2d. 2,3答案： c.考点三函数与方程题型二方程 f ( x)m 的根的问题【例 6 】若方程f ( x)20 在 (,0) 内有解 ,则 yf ( x) 的图象是答案： d14( x4),k 有两个不同的实【例 7 】已知函数 f ( x)x若关于 x 的方程 f ( x)log 2 x, (0x4)根 ,则实数 k 的取值范围是 _.答案： (1,2)| lg x |, x0,则函数 yf x 3 的零点的个数为【变式训练9 】已知函数 f (x)4), xx( x0,a 1b 2c 3d 4答案： d题型四方程 f ( x)g( x) 型问题|lg x |,0x10,

9、【例 8 】已知函数 f ( x)16, x若 a,b,c 互不相等， 且 f (a) f (b)f ( c), 则x10.2abc 的取值范围是（）a (1,10)b (5,6)c (10,12)d (20,24)答案： c【变式训练 10 】函数 f ( x) 2x | log 0.5 x |1 的零点个数为（）a 1b 2c 3d 4.答案： b在同一坐标系中作出f (x) ( 1 )x 与 y| log0.5x |。2【变式训练11 】函数 fx 2ln x 的图像与函数 g xx24x 5 的图像的交点个数为a 3b 2c 1d 0答案： b【变式训练12 】函数 f (x)x 的函

10、数值表示不超过x 的最大整数，例如， - 3.5-4 ，2.1 2 ，当 x3,4.5时 ， f ( x)x ，的解集为（）a 3,4b 4c 3d (3,4.5答案： b【变式训练13 】x 表示不超过 x 的最大整数， 定义函数fxxx 则下列结论中正确的有 _.函数函数答案：fx 的值域为 0,1方程fx 的图像是一条直线函数1fx有无数个解2fx 是 r 上的增函数【变式训练 14 】（2015-2016 武汉重点中学期中联考）定义函数f x xg x ，其中 x表示不超过 x 的最大整数，如：1.5 1， 1.32，当 x 0, n) ， n n时，设函数f x 的值域为 a ，记集

11、合 a 中的元素个数为t ，则 t 为（）a n2n 1b n2nc n2n1d n2n22222答案： c题型五复合函数零点问题.【例 9 】已知定义在 2, 2 上的函数yf (x) 和 yg( x) ，其图象如下图所示：给出下列四个命题：方程 f g ( x)0 有且仅有 6 个根方程方程 f f ( x)0 有且仅有 5 个根方程g f ( x)0 有且仅有 3 个根g g( x)0 有且仅有 4 个根其中正确命题的序号（）a b. c. d. 答案： d【例 10 】设函数 f2xx01 的零点个数为 _.x，函数 y f f xlog 2 xx0【变式训练15 】（2015-201

12、6武汉 14 中期中）对实数a 和 b ，定义运算“”：aba, ab1,2) ( xx2 ) ， x r ，若函数b, ab设函数 f (x) ( x21yf (x) c 的图像与 x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（）a (, 2 u ( 1, 3)b (, 2 u ( 1, 3)24.c ( 1, 1 ) u ( 1 , )d ( 1, 3) u 1 ,)4444答案： b【变式训练16 】定义域和值域均为a, a （常数 a0 ）的函数 yf x 和 yg x 的图像如图所示，给出下列四个命题：（1）方程 fgx0有且仅有三个解；（2）方程 gfx0有且仅有三个解；（3）方程

13、 ffx0有且仅有九个解；（4）方程 g g x0 有且仅有一个解。那么，其中正确命题的个数是。答案：（1 ）（ 4 ）【2015 高考真题】1.【2015高考湖南，文14 】若函数 f ( x) | 2x2|b 有两个零点，则实数b 的取值范围是_.【答案】0 b2【解析】由函数f (x)| 2x2 | b 有两个零点，可得| 2x2| b 有两个不等的根，从而可得函数 y | 2x2| 函数 yb 的图象有两个交点，结合函数的图象可得，0b 2 ，故答案为： 0b2 .【考点定位】函数零点.【名师点睛】已知函数有零点(方程有根 )求参数取值范围常用的方法(1) 直接法：直接根据题设条件构建

14、关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解2.【 2015 高考安徽， 文 14 】在平面直角坐标系xoy 中，若直线 y2a 与函数 y | x a | 1的图像只有一个交点，则a 的值为.1【答案】2【解析】在同一直角坐标系内，作出y2a与 yxa1的大致图像，如下图：由题意，可知2a1a12【考点定位】本题主要靠数形结合思想，函数与方程、零点等基础知识.【名师点睛】 本题根据题意作出函数yxa1的大致图象是解决本题的关键，本题主要考查

15、学生的数形结合的能力.【期中期末考试真题】1.（ 2015-2016武汉重点中学期中联考）16 2x 的零点一定位于区间 （）函数 f ( x)xa. (3,4)b. (2,3)c. (1,2)d. (5,6)答案： b.2（. 2015-2016武汉外校期中） 已知 x0 是函数 f (x) 2x1的一个零点， 若 x1(1, x0 ) ，1xx2( x0 ,) ，则（）a. f (x1) 0 ， f (x2 ) 0b. f ( x1 )0 ， f ( x2 ) 0c. f ( x1) 0 ， f (x2 ) 0d. f ( x1 )0 ， f (x2 ) 0答案： bx14.（2015-2016武汉 191x3 的解 ,则 x0 属于区间（中期中）若 x0 是方程）2a .2 ,1b.1 , 2c.1