公开课用向量的方法求二面角.ppt

1、课题：利用法向量求二面角,证大中学：何金晶,四、教学过程的设计与实施,2、如何作二面角l的平面角？,从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做 ，这条直线叫做 ， 这两个半平面叫做 .,二面角,二面角的棱,二面角的面,1、二面角的定义：,与面,如图， 是直角梯形，,所成的二面角的余弦值。,求面,你能找到所求二面角的棱吗？,异面直线所成的角,四、教学过程的设计与实施,直线与平面所成的角,如何用向量法求面面所成角呢,探究新知,问题：二面角的平面角与两个半平面的法向量的夹角有没有关系？,探究新知,探究新知,问题：法向量的夹角与二面角的大小是相等或互补。,探究新知,细心想一想， 你将有新发现！,注意

2、法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角,尝试：已知两平面的法向量分别为m=（0，1，0）， n=（0，1，1）,则两平面所成的二面角为( ) A.45 B.135 C.45或135 D.90 解析 即m,n=45，其补角为135. 两平面所成二面角为45或135.,C,练一练,与面,如图， 是直角梯形，,所成的锐二面角的余弦值。,求面,例题精讲,【审题指导】本题是求二面角的余弦值，可重点关注向量法求二面角的余弦值.本题的特点是图中没有出现两个平面的交线，不能直接利用二面角的平面角或者垂直于棱的向量的夹角解决，利用法向量的夹角解决体现了向量求解立体几

3、何问题的优越性,解：,则,建立如图所示的空间直角坐标系,则,启示：,求二面角的平面角可转化为求两法向量的夹角。,是平面SAB的法向量，,就是二面角的平面角，,所求锐二面角的余弦值为：,令z=1解之得,四、教学过程的设计与实施,例2：,在正方体,中，求二面角,的余弦值。,法一、法二、法三,利用法向量求二面角的平面角避免了繁难的作、证二面角的过程。解题的关键是确定相关平面的法向量，如果图中的法向量没有直接给出，那么必须先创设法向量。,利用法向量求二面角的平面角的一般步骤：,建立坐标系,巩固练习（2009天津理，19） 如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD，ADBCFE，AB AD，M为

4、EC的中点，AF=AB=BC=FE= . (1)求异面直线BF与DE所成的角的大小； (2)证明：平面AMD平面CDE; (3)求二面角ACDE的余弦值. (1)解 如图所示，建立空间直 角坐标系，点A为坐标原点，设 AB=1，依题意得B(1,0,0), C(1,1,0)，D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1)，,所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60.,(2)证明,又AMAD=A，故CE平面AMD.而CE平面 CDE，所以平面AMD平面CDE.,(3)解 设平面CDE的法向量为u=（x,y,z)， 令x=1,可得u=(1,1,1). 又由题设，平面ACD的一个法向量v=(0,0,1). 因为二面角ACDE为锐角，所以其余弦值为,小结：,1.利用法向量求二面角大小的优势：,避免了繁难的作、证二面角的过程，将几何问题转化为数