高中数学人教A浙江一轮参考课件48解三角形应用举例

1、4.8解三角形应用举例,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.,-4-,知识梳理,双击自测,2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方的角叫做仰角,目标视线在水平视线下方的角叫做俯角(如图). (2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30、北偏西45、西偏北60等. (3)方位角:指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为(如图). (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.,-5-,

2、知识梳理,双击自测,3.解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.,-6-,知识梳理,双击自测,1.如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,ACB=45,CAB=105后,就可以计算出A,B两点的距离为(),A,-7-,知识梳理,双击自测,2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A

3、在观察站南偏西40,灯塔B在观察站南偏东60,则灯塔A在灯塔B的() A.北偏东10 B.北偏西10 C.南偏东80 D.南偏西80,D,解析:由条件及图可知,A=CBD=40, 又BCD=60,所以CBD=30.所以DBA=10. 因此灯塔A在灯塔B南偏西80.,-8-,知识梳理,双击自测,3.一架飞机在海拔800 m的高度飞行,在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别为30和45,则这个海岛的宽度为.,4.若海上有A,B,C三个小岛,测得A,B两岛相距10海里, BAC=60,ABC=75,则B,C间的距离是.,-9-,知识梳理,双击自测,5.飞机的航线和山顶C在同一个铅垂平面内,已知飞机的高

4、度保持在海拔h(km),飞行员先在点A处看到山顶的俯角为,继续飞行a(km)后在点B处看到山顶的俯角为,试用h,a,表示山顶的海拔高度为.,-10-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.仰角与俯角是相对水平视线而言的,而方位角是相对于正北方向而言的. 2.利用方位角(或方向角)和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置. 3.“方位角”与“方向角”的区别:方位角大小的范围是0,2),方向角大小的范围是,-11-,考点一,考点二,考点三,测量距离问题(考点难度) 例1(1)为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km)如图所示,且B+D=180,则

5、AC的长为 km.,7,解析:在ABC中,由余弦定理得AC2=82+52-285cos B, 在ACD中,由余弦定理得AC2=32+52-235cos D, 由cos D=-cos B并消去AC2得cos B= ,所以AC=7.,-12-,考点一,考点二,考点三,(2)如图所示,有两座建筑物AB和CD都在河的对岸(不知道它们的高度,且不能到达对岸),某人想测量两座建筑物尖顶A,C之间的距离,但只有卷尺和测量仪两种工具.若此人在地面上选一条基线EF,用卷尺测得EF的长度为a,并用测角仪测量了一些角度:AEF=, AFE=,CEF=,CFE=,AEC=.请你用文字和公式写出计算A,C之间距离的步骤

6、和结果.,-13-,考点一,考点二,考点三,-14-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题,一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题,从而运用正弦定理解决. 2.测量两个不可到达的点之间的距离问题,一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题.然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题,然后运用正弦定理解决. 3.选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.,-15-,考点一,考点二,考点三,对点训练某高速公路旁边B处有一

7、栋楼房,某人在距地面100 m的32楼阳台A处,用望远镜观测路上的车辆,上午11时测得一客车位于楼房北偏东15方向上,且俯角为30的C处,10 s后测得该客车位于楼房北偏西75方向上,且俯角为45的D处(假设客车匀速行驶). (1)如果此高速路段限速80 km/h,试问该客车是否超速? (2)又经过一段时间后,客车到达楼房的正西方向E处,问此时客车距离楼房多远?,-16-,考点一,考点二,考点三,-17-,考点一,考点二,考点三,测量高度问题(考点难度) 例2(1)如图所示,当测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,现测得BCD=,BDC=,CD=s,并在点C处测

8、得塔顶A的仰角为,求塔高AB. (2)某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40 m后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔顶的最大仰角为30,求塔高.,-18-,考点一,考点二,考点三,-19-,考点一,考点二,考点三,方法总结求解高度问题首先应分清: (1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念; (2)准确理解题意,分清已知条件与所求,画出示意图; (3)运用正弦定理、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题,注意数形结合思想的运用.,-20-,考点一,考点二,考点三,对点训练如图,测量河对岸的旗杆高AB时,选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得BCD=75,BDC=60, CD=

9、a,并在点C测得旗杆顶A的仰角为60,则旗杆高AB为.,-21-,考点一,考点二,考点三,-22-,考点一,考点二,考点三,-23-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.对于和航行有关的问题,要抓住时间和路程两个关键量,解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件求解. 2.根据示意图,把所求量放在有关三角形中,有时直接解此三角形解不出来,需要先在其他三角形中求解相关量.,-24-,考点一,考点二,考点三,对点训练某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小

10、艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.,-25-,考点一,考点二,考点三,-26-,考点一,考点二,考点三,-27-,思想方法函数思想在解三角形中的应用 三角形在实际中的应用问题有很多是求距离最短、用时最少、速度最大等最值问题,这需要建立有关量的函数关系式,通过求函数最值的方法来解决.函数思想在解三角形实际问题中的应用,经常与正弦定理、余弦定理相结合,此类问题综合性较强,能力要求较高,要有一定的分析问题、解决问题的能力.,典例如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角的大小.若AB=15 m,AC=25 m,BCM=30,则tan 的最大值是.(仰角为直线AP与平面ABC所成角),-30-,高分策略1.解三角形实际应用问题的一般步骤是:审题建模(准确地画出图形)求解检验作答. 2