高中数学人教A选修11配套课件231抛物线及其标准方程

1、2.3抛物线 2.3.1抛物线及其标准方程,主题1抛物线的定义 1.我们在黑板上画一条直线l,然后取一个三角板,将一条拉链上边一半的一端N固定在三角板的一条直角边上,并将拉链下边一半的一端固定在F点,将三角板的另一条直角边贴在直线l上,在拉锁P处放置一支粉笔,上下拖动三角板,粉笔会画出什么图形?,提示:如图所示,会得到一条抛物线.,2.通过作图探究你发现了抛物线的哪些结论? 用文字语言描述:_ _. 用符号语言描述:_.,动点P到定直线l的距离等于它到定,点F的距离,|PF|=|PN|,结论:抛物线的定义: 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)_ _的点的轨迹叫做抛物线._叫做抛物

2、线的焦点, _叫做抛物线的准线.,距离,相等,点F,直线l,主题2抛物线的标准方程 根据抛物线的几何特征,对于开口向右的抛物线如何借助坐标法求出抛物线的方程?,提示:如图,建立直角坐标系xOy,使x轴经过点F且垂直于直线l,垂足为K,并使原点与线段KF的中点重合,依据抛物线的定义,利用直接法即可求出抛物线的标准方程.,结论:,y2=2px(p0),y2=-2px(p0),x2=2py(p0),x2=-2py(p0),【微思考】 1.抛物线的开口方向与哪个量有关系? 提示:抛物线的开口方向与一次项及其系数的正负有关系.,2.抛物线的标准方程中,参数p的几何意义是什么? 提示:p的值等于抛物线的焦

3、点到准线的距离.,3.要确定抛物线的解析式,需要确定的量是什么? 提示:需要确定焦点的位置及2p的值.,【预习自测】 1.若动点P到定点F(-4,0)的距离与到直线x=4的距离相等,则P点的轨迹是() A.抛物线B.线段C.直线D.射线 【解析】选A.动点P的条件满足抛物线的定义.,2.已知曲线C:y2=2px上一点P的横坐标为4,P到焦点的距离为5,则曲线C的焦点到准线的距离为() A. B.1C.2D.4 【解析】选C.由抛物线的定义知,P到准线的距离为5,又P的横坐标为4,故 =1,曲线C的焦点到准线的距离为2.,3.设a0,aR,则抛物线y=-4ax2的焦点坐标为 () A.(a,0)

4、B.(-a,0) C. D.,【解析】选D.x2= y, 所以焦点坐标为 .,4.过(2,4)点,顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线的标准方程为_. 【解析】由已知可设抛物线方程为x2=my,将点(2,4)代入得4=4m,所以m=1,故抛物线的标准方程为x2=y.,答案:x2=y,类型一抛物线的定义及应用 【典例1】(1)(2016四川高考)抛物线y2=4x的焦点坐标是() A.(0,2)B.(0,1) C.(2,0)D.(1,0),(2)若点P到定点F(4,0)的距离比它到定直线x+5=0的距离小1,则点P的轨迹方程是() A.y2=-16xB.y2=-32x C.y2=16xD.y2=16x

5、或y=0(x0),【解题指南】(1)根据抛物线的标准方程求解. (2)点P到F的距离比它到定直线x+5=0的距离小1,那么点P到F的距离与它到定直线x+4=0的距离相等,故利用抛物线的定义求解.,【解析】(1)选D.由题意,y2=4x的焦点坐标为(1,0). (2)选C.因为点F(4,0)在直线x+5=0的右侧,且点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,所以点P到F(4,0)的距离与它到直线x+4=0的距离相等.故P点的轨迹为抛物线,且顶点在原点,开口向右,p=8,故点P的轨迹方程为y2=16x.,【方法总结】抛物线定义的应用要点 (1)根据抛物线的定义,抛物线上的任意一点到

6、焦点的距离等于它到准线的距离,因此,抛物线定义的功能是可以把点点距转化为点线距,从而使有关的运算问题变得简单、快捷.,(2)抛物线标准方程中的p的几何意义是:焦点到准线的距离. (3)对于动点到定点的距离比此动点到定直线的距离大多少或小多少的问题,实际上也是抛物线问题.,【巩固训练】(2016浙江高考)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是_. 【解题指南】根据抛物线的定义求解.,【解析】xM+1=10 xM=9. 答案:9,【补偿训练】若动圆与圆(x-2)2+y2=1外切,又与直线x+1=0相切,则动圆圆心的轨迹方程是() A.y2=8xB.y2=-8x C.y2=

7、4xD.y2=-4x,【解析】选A.由题意,动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x+1=0的距离大1,故动圆圆心的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,其方程为y2=8x.,类型二求抛物线的标准方程 【典例2】求适合下列条件的顶点在原点(0,0)处的抛物线的标准方程: (1)过点(-3,2). (2)焦点在直线x-2y-4=0上.,【解题指南】设出抛物线方程的标准形式,依据条件求出p的值. 【解析】(1)设抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p0), 则将点(-3,2)代入方程得2p= ,或2p= , 故抛物线方程为y2=- x,或x2= y.,(2)令x=0,由方程x-2y-

8、4=0得y=-2. 所以抛物线的焦点为F(0,-2). 设抛物线方程为x2=-2py,则由 =2,得2p=8. 所以所求的抛物线方程为x2=-8y.,令y=0,由x-2y-4=0,得x=4. 所以抛物线的焦点为F(4,0). 设抛物线方程为y2=2px,由 =4,得2p=16. 所以所求抛物线方程为y2=16x.,【方法总结】 1.抛物线的“一动三定” 抛物线的定义可归为“一动三定”,即“一个动点M”“一个定点F”“一条定直线l”“一个定值”.其中“定点”为抛物线的焦点,“定直线”为抛物线的准线,“定值”指点M到点F的距离与它到定直线l(准线)的距离之比等于1.,2.抛物线标准方程的特征 (1

9、)等号的一边是某变量的完全平方,另一边是另一变量的一次项. (2)当对称轴为x轴时,方程中的一次项就是x的一次项,且符号指明了抛物线的开口方向:x的系数为正时开口向右,为负时开口向左.,(3)当对称轴为y轴时,方程中的一次项就是y的一次项,且符号指明了抛物线的开口方向:y的系数为正时开口向上,为负时开口向下.,【巩固训练】根据下列条件,求顶点在原点(0,0)处的抛物线的标准方程. (1)焦点为(-2,0). (2)准线为y=-1. (3)焦点到准线的距离是4. (4)过点(1,2).,【解析】(1)焦点在x轴的负半轴上, =2,即p=4,所以抛物线的方程是y2=-8x. (2)焦点在y轴正半轴

10、上, =1,即p=2,所以抛物线的方程是x2=4y. (3)p=4,抛物线的方程有四种形式:y2=8x,y2=-8x,x2=8y, x2=-8y.,(4)点(1,2)在第一象限,要分两种情形: 当抛物线的焦点在x轴上时,设抛物线的方程为 y2=2px(p0),则22=2p1,解得p=2,抛物线方程为y2=4x; 当抛物线的焦点在y轴上时,设抛物线的方程为x2=2py (p0),则12=2p2,解得p= ,抛物线方程为 x2= y.,类型三抛物线的实际应用 【典例3】河上有抛物线形拱桥,当水面距拱顶5米时,水面宽为8米,一小船宽4米,高2米,载货后船露出水面的部分高 米,问水面上涨到与抛物线拱顶

11、相距多少米时,小船开始不能通航?,【解题指南】,【解析】如图,建立坐标系,设拱桥抛物线方程为 x2=-2py(p0),由题意,将B(4,-5)代入方程得p= ,所以抛物线方程为x2= y. 因为当船的两侧和拱桥接触时船不能通航; 设此时船面宽为AA,则A(2,yA), 由22= yA,得yA= .,又知船露出水面的部分高 米,设水面与抛物线拱顶相距为h,则h=|yA|+ =2(米),即水面上涨到距抛物线拱顶2米时,小船开始不能通航.,【方法总结】抛物线应用题的解法 (1)抛物线应用题的解题关键:把实际问题转化为数学问题,利用数学模型,通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题

12、. (2)建立抛物线的标准方程的方法:以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立坐标系.,【巩固训练】某抛物线形拱桥跨度是20米,拱桥高度是4米,在建桥时,每4米需用一根支柱支撑,求其中最长支柱的长. 【解析】如图,建立直角坐标系,设抛物线方程为x2= -2py(p0),依题意知,点P(10,-4)在抛物线上,所以100=-2p(-4),2p=25,即抛物线方程为x2=-25y.,因为每4米需用一根支柱支撑, 所以支柱横坐标分别为-6,-2,2,6. 由图知,AB是最长的支柱之一,点B的坐标为(2,yB),代入x2=-25y,得yB=- ,所以|AB|=4- =3.84,即最长支柱的长为

13、3.84米.,【补偿训练】如图所示,一隧道内设双行线公路,其截 面由长方形的三条边和抛物线的一段构成,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米. (1)以抛物线的顶点为原点O,其对称轴所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图),求该抛物线的方程.,(2)若行车道总宽度AB为7米,请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米).,【解析】如图所示,(1)依题意,设该抛物线的方程为x2=-2py(p0), 因为点C(5,-5)在抛物线上,所以25=10p,p=2.5, 所以该抛物线的方程为x2=-5y.,(2)设车辆高h,则|DB|=h+0.5, 故D(3.5,h-6.5), 代入方程x2=-5y,解得h=4.05, 所以通过隧道的车辆限制高度