高中不等式例题(超全超经典)

1、.一不等式的性质 ：二不等式大小比较的常用方法：1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2作商（常用于分数指数幂的代数式） ； 3分析法； 4平方法； 5分子（或分母）有理化；6利用函数的单调性； 7寻找中间量或放缩法 ；8图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。三重要不等式221. （ 1）若 a,bR ，则 a 2b 22ab(2)若 a, bR ，则 abab （当且仅当 ab 时取“ =”）22. (1)若a, b*，则abab(2)若a, bR*，则 ab2 ab（当且仅当a b时取“ ”）R2=a2*，则 abb(当且仅当 ab 时取“ =”）(3) 若

2、 a, b R23. 若 x0 ，则x12 (当且仅当x1时取“ ”）;x=1若 x0 ，则x2 (当且仅当x1时取“ ”）x=若 ab0 ，则 ab2 (当且仅当 ab 时取“ =”）ba224. 若 a,bR ，则 ( a2ab （当且仅当 ab 时取“ =”）b )22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” （ 2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用a2+b22aba+ba+b ab 2 2应用一：

3、求最值例 1：求下列函数的值域（1）y3x 2 12（ ）x12x2 yx解题技巧：技巧一：凑项例 1：已知 x5，求函数 y4 x1的最大值。424x5评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例 1. 当时，求 y x(82x) 的最大值。技巧三： 分离例 3.求 yx27x 10 ( x1)的值域。x 1技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。y(t 1)27(t）= t25t4t451 +10ttt当, 即 t=时 ,y2 t49（当t=2即 时取“”号）。5x 1t.技巧五：注意：在应用最值定理求最值

4、时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f ( x)xa 的单x调性。 例：求函数 yx25的值域。x24解：令x24 t(t2) ，则 yx25x241t1x2x2(t 2)44t因 t 0, t11 ，但 t1 解得 t1不在区间 2,，故等号不成立，考虑单调性。tt因为 yt1 在区间 1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故 y5 。t2所以，所求函数的值域为5 ,。22已知 0x 1，求函数 yx(1x) 的最大值 .； 3 0 x2 ，求函数 y x(23x) 的最大值 .3条件求最值1. 若实数满足 a b2 ，则 3a3b 的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程

5、，而且3a 3b 定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：3a 和3b 都是正数， 3a3b 2 3a3b2 3a b6当 3a3b 时等号成立，由 ab 2 及 3a3b 得 a b1即当 ab 1时， 3a3b 的最小值是 6变式：若 log 4 x log 4 y112，求的最小值 .并求 x,y 的值xy技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知 x0, y0 ，且 191，求 x y 的最小值。xy应用二：利用基本不等式证明不等式1已知 a,b, c 为两两不相等的实数，求证：a 2b2c2abbcca1）正数 a，b，c 满足 a

6、 b c 1，求证： (1a)(1b)(1c)8abc例 6：已知 a、 b、 cR ，且 ab c1 。求证：1111118abc分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又111 ab c2 bc ，可由此变形入手。aaaa解： Q a、b、cR ， ab c1。1 11 abc2bc 。同理 112 ac ， 1 12 ab 。aaaabbcc.上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得111 1112bc g2ac g2ab8 。当且仅当 abc1 时取等号。abcabc3应用三：基本不等式与恒成立问题例：已知 x0, y0 且 191，求使不等式

7、xym 恒成立的实数 m 的取值范围。xy解：令 xyk, x0, y0, 191，xy9 x9y1.10y9x1xykxkykkxky1102 3。 k 16， m,16k k应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若 ab 1, Plg a lg b,Q1(lg alg b), R lg(a b ) ，则 P, Q, R 的大小关系是.21 （ lg a2分析： ab1 lg a0,lg b0 Qlg b)lg a lg b pR lg( ab )1 lg ab2lgabQRQ22四不等式的解法 .1.一元一次不等式的解法。2.一元二次不等式的解法3.简单的一元高次不等式的解法 ：标根法：

8、其步骤是：（ 1）分解成若干个一次因式的积， 并使每一个因式中最高次项的系数为正 ；（ 2）将每一个一次因式的根标在数轴上， 从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意 奇穿过偶弹回 ；（ 3）根据曲线显现 f (x) 的符号变化规律，写出不等式的解集。 如（1）解不等式 ( x1)(x2) 20 。（答： x | x1或 x2 ）；（2）不等式 ( x2)x22x3 0 的解集是 _（答： x | x3或 x1 ）；（3）设函数 f ( x) 、 g( x) 的定义域都是 R，且 f ( x)0 的解集为 x |1x 2 ， g ( x) 0的解集为，则不等式 f ( x)gg( x)0

9、的解集为 _（答： (,1) U 2,) ）；（4）要使满足关于 x 的不等式 2x29x a 0 （解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式x 24x 3 0和 x 26x80 中的一个，则实数 a 的取值范围是.（答： 7, 81) ）84分式不等式的解法 ：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式， 并使每一个因式中最高次项的系数为正 ，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如（1）解不等式5x1x22 x 3（答： (1,1)U (2,3) ）；（ 2）关于 x 的不等式 axb 0 的解集为 (1,) ，则

10、关于 x 的不等式 axb0 的解集为x2._（答： (, 1)(2,) ）.5. 指数和对数不等式。6绝对值不等式的解法：（1）含绝对值的不等式 |x| a 与|x| a 的解集（2）|ax+b| c(c 0) 和|ax+b| c(c 0) 型不等式的解法|ax+b| c-c ax+bc; | ax+b| cax+b c 或 ax+b -c.（3）|x-a|+|x-b| c(c 0) 和|x-a|+|x-b|c(c 0) 型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，

11、体现了函数与方程的思想。方法四：两边平方。例 1：解下列不等式：(1). x22xx(2). -3 1 x 或 x2-2x3 或 x0 或 0x1原不等式的解集为 x x0 或 0x3解法 2（数形结合法）作出示意图，易观察原不等式的解集为xx0 或 0x3第（ 1）题图第（ 2）题图【解析】：此题若直接求解分式不等式组，略显复杂，且容易解答错误；若能结合反比例函数图象，则解集为x | x1 或x- 1 , 结果一目了然。2 3例 2：解不等式： | x | 1x.1【解析】作出函数 f(x)=|x|和函数 g(x)= x 的 象，（ ，0） 1， ）易知解集 解不等式 . | x 1| |

12、x31|例 3：2。【解法 1】令2( x1)g( x)| x 1| x1|2x(1 x1)2( x1)h( x)32 ，分 作出函数 g(x) 和 h(x)令的 象，知原不等式的解集 3 ,)4【解法 2】原不等式等价于| x 1| 3 | x 1|2g( x)| x1|, h(x) | x 1|32令( 3 , 7)分 作出函数 g(x) 和 h(x) 的 象，易求出 g（x）和 h（x）的 象的交点坐 44| x 1| x33)1| ,所以不等式2 的解集 4| x1| x 1|32 的几何意 可 1（，），（，），（ x，y），【解法 3】 由MF1 MF232 ，可知的 迹是以 1、

13、 2 焦点的双曲 的右支，其中右 点 （若，），由双曲 的 象和 x+1 x-1 知 x.7含参不等式的解法 ：求解的通法是“定 域 前提，函数增减性 基 ，分 是关 ” 注意解完之后要写上： “ 上，原不等式的解集是” 。注意 ：按参数 ，最后 按参数取 分 明其解集；但若按未知数 ，最后 求并集 . 如（1）若 loga21， a 的取 范 是 _（答： a1 或 0 a2 ）；33（2）解不等式 ax2x(a R)ax1.（答： a0 时， x | x0 ； a0 时， x | x1 或 x 0 ； a 0 时， x | 1 x 0 或 x 0 ）aa提醒：（ 1）解不等式是求不等式的解

14、集，最后务必有集合的形式表示；（ 2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于 x 的不等式 axb0 的解集为 (,1) ，则不等式x20 的解集为 _（答：（ 1,2）axb例 2.(1) 求函数 yx3x1 的最大和最小值；(2) 设 aR ，函数 f xax2xa( 1x1) .若 a1，求 f x 的最大值例 3. 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第 20km处. 现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区， 每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次 . 要使两个施工队每天往返的路程之和最小

15、，生活区应该建于何处？七证明不等式的方法 ：比较法、分析法、综合法和放缩法 (比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与 1 的大小，然后作出结论。 ).常用的放缩技巧有： 1111111n n 1 n(n 1) n2n( n 1) n 1 nk 1k111kk1k1k2kk1k如（ 1）已知 abc ，求证： a2 bb2 cc2 aab 2bc 2ca 2；(2)已知 a,b,cR，求证： a 2b 2b2 c 2c2 a2abc( abc) ；（ 3）已知 a,b, x, yR，且 11 , x y ，求证：xyy；abxab(4)若 a、b、c 是不全相

16、等的正数，求证： lg ablg bclg calg a lg b lg c ；222（ 5）已知 a,b,cR ，求证： a2 b2b2c2c2 a2abc(abc) ；(6)若 n N *，求证：(n 1)21(n 1)n21n ；(7)已知 | a |b | ，求证： | a |b | a | b | ；| ab | ab |（ 8）求证： 111L12。2232n2八不等式的恒成立 , 能成立 , 恰成立等问题 ：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1). 恒成立问题若不等式 fxA 在区间

17、D 上恒成立 , 则等价于在区间D 上 fx minA若不等式 fxB 在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间D 上 fx maxB如（ 1）设实数 x, y 满足 x2( y1)21，当 xyc0 时， c 的取值范围是 _（答：21,）；（ 2）不等式 x4x3a 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围 _.m(x2（答： a1 ）；（ 3）若不等式 2x11) 对满足 m2 的所有 m 都成立，则 x 的取值范围 _（答：（ 7 1,31 ）；1) n 122（ 4）若不等式 ( 1) n a2(对于任意正整数 n 恒成立，则实数 a 的取值范围是 _n（答： 2,3) ）；（ 5）若不等式 x222mx 2m10 对 0 x1的所有实数 x 都成立，求 m 的取值范围 .x2loga x, 对x(0, 1)恒成立，则实数 a 的取值范围是 若不等式2此题直接求解无从着手，结合函数y x2及 y= log a x在（ 0, 1）上的图象 2易知， a 只需满足条件：log a11 即可a 1 ,1)0 a 1，且24从而解得162).能成立问题若在区间 D 上存在实数若在区间 D 上存在实数已知不等式x4x33).恰成立问题x 使不等式 f xA 成立 , 则等价于在区